-
ในวิดีโอก่อนๆ, ผมได้กล่าวไว้ว่าแรงค์ของ
เมทริกซ์ A เท่ากับแรงค์ของทรานสโพสของมัน
และผมให้เหตุผลแบบลวกๆ ไป
มันคือตอนจบของวิดีโอ, และผมเหนื่อยแล้ว
ที่จริงมันตอนท้ายของวันแล้ว
และผมว่ามันมีค่าที่จะพูดถึง
มันอีกหน่อย
เพราะมันเป็นบทเรียนที่สำคัญ
มันจะช่วยให้เราเข้าใจทุกอย่างเที่เราเรียน
ได้ดีขึ้น
ลองมาเข้าใจ -- ผมจะเริ่มต้นด้วย
แรงค์ของ A ทรานสโพสก่อน
-
แรงค์ของ A ทรานสโพส เท่ากับมิติของ
สเปซคอลัมน์ของ A ทรานสโพส
นั่นคือนิยามของแรงค์
มิติของสเปซคอลัมน์ของ A ทรานสโพส
คือจำนวนเวกเตอร์ฐานสำหรับ
สเปซคอลัมน์ของ A ทรานสโพส
นั่นคิอมิติ
สำหรับสับสเปซใดๆ, คุณหาได้ว่ามีเวกเตอร์ฐานกี่ตัวที่
คุณจำเป็นต้องใช้ในสับสเปซ, และคุณนับมัน
นั่นก็คือมิติของคุณ
มันก็คือจำนวนเวกเตอร์ฐานของสเปซคอลัมน์
ของ A ทรานสโพส, ซึ่งก็เหมือนกันแน่นอน
สิ่งนี้เราเห็นมาหลายครั้งแล้ว, มันเหมือนกับ
สเปซแถวของ A
-
จริงไหม?
คอลัมน์ของ A ทรานสโพสนั้นเหมือนกับ
แถวของ A
เพราะคุณสลับแถวกับคอลัมน์กัน
ทีนี้, เราจะหาจำนวนของเวกเตอร์ฐาน
ที่เราต้องใช้สำหรับสเปซคอลัมน์ของ A ทรานสโพส, หรือ
สเปซแถวของ A ได้อย่างไร?
ลองคิดถึงสเปซคอลัมน์ของ A
ทรานสโพสว่ามันบอกอะไรเรา
มันก็เท่ากับ -- สมมุติว่า, ขอผม
วาด A แบบนี้นะ
-
นั่นคือเมทริกซ์ A
สมมุติว่ามันคือเมทริกซ์ขนาด m คูณ n
ขอผมเขียนมันเป็นเวกเตอร์แถวหลายๆ ตัวนะ
ผมสามารถเขียนมันเป็นเวกเตอร์คอลัมน์หลายๆ ตัว, แต่
ตรงนี้ลองใช้เวกเตอร์แถวกัน
เรามีแถวที่ 1
ทรานสโพสของเวกเตอร์คอลัมน์
นั่นคือแถว 1, และเราจะมีแถว 2, และ
เราก็ไปจนถึงแถวที่ m
จริงไหม?
มันคือเมทริกซ์ขนาด m คูณ n
เวกเตอร์แต่ลตัวนี้ จะเป็นสมาชิกของ rn, เพราะพวกมัน
จะมีค่า n ค่าในนั้น
เพราะเรามี n คอลัมน์
แล้ว, A จะเป็นอย่างไร
A จะเป็นแบบนั้น
แล้ว A ทรานสโพส, แถวพวกนี้ทั้งหมด
จะเป็นคอลัมน์
A ทรานสโพสจะเป็นแบบนี้. r1, r2,
ไปจนถึง rm
และนี่แน่นอนจะเป็นเมทริกซ์ขนาด n คูณ m
คุณสลับพวกนี้ไปได้
แล้วแถวพวกนี้ทั้งหมดจะเป็นคอลัมน์
จริงไหม?
และแน่นอน สเปซคอลัมน์ -- มันอาจไม่
ชัดเท่าไหร่ -- สเปซคอลัมน์ของ A ทรานสโพส เท่ากับ
สแปนของ r1, r2 ไปจนถึง rm
จริงไหม?
มันเท่ากับสแปนของเจ้าพวกนี้
หรือคุณอาจบอกได้เช่นกันว่า, มันเท่ากับสเแปน
ของแถวของ A
นั่นคือสาเหตุที่มันเรียกว่าสเปซแถว
นี่เท่ากับสแปนของแถวของ A
สองอย่างนี้เหมือนกัน
ทีนี้, พวกนี้คือสแปน
นั่นหมายความว่า นี่คือสับสเปซ คือผลรวม
เชิงเส้นของคอลัมน์เหล่านี้ทั้งหมด, หรือผลรวม
เชิงเส้นของแถวเหล่านี้ทั้งหมด
ถ้าเราอยากได้ฐานของมัน, เราก็ต้องหาเซตที่เล็กที่สุด
ของเวกเตอร์อิสระเชิงเส้น ที่เราสามารถใช้มัน
สร้างคอลัมน์ใดๆ พวกนี้
หรือเราสามารถสร้างแถวใดๆ เหล่านี้, ตรงนี้
ทีนี้, เกิดอะไรขึ้นเมื่อเราทำ A ในลักษณะ
ขั้นบันไดลดรูปตามแถว?
เราทำการดำเนินการแถวหลายๆ ครั้ง เพื่อให้มี
ลักษณะขั้นบันไดลดรูปตามแถว
จริงไหม?
ดำเนินการแถวไปเรื่อยๆ, และคุณได้อะไร
แบบนี้
คุณจะได้ขั้นบันไดลดรูปตามแถวของ A
ขั้นบันไดลดรูปตามแถวของ A จะเป็น
แบบนี้
คุณจะได้แถวจุดหมุน, แถวที่
มีค่าจุดหมุน
สมมุติว่านั่นคือตัวหนึ่ง
นี่จะมี 0 ลงไปเรื่อยๆ
อันนี้จะมี 0
ค่าจุดหมุนของคุณต้องไม่ใช่ศูนย์
ในคอลัมน์ของมัน
และทุกอย่างไปทางซ้ายของมันต้องเป็น 0
สมมุติว่าอันนี้ไม่ใช่
มีค่าที่ไม่ใช่ 0 อยู่
พวกนี้คือ 0
เรามีค่าจุดหมุนอีกตัวตรงนี้
อย่างอื่นเป็น 0 หมด
สมมุติว่าทุกอย่างที่เหลือไม่ใช่ค่าจุดหมุน
แล้วคุณมาตรงนี้ และคุณมีแถวจุดหมุน
หลายๆ ตัว, หรือค่าจุดหมุนจำนวนหนึ่ง, จริงไหม?
และคุณได้อันนี้มาจากการดำเนินการแถว
เชิงเส้นกับเจ้าพวกนี้
แล้วการดำเนินการแถวเชิงเส้้นเหล่านี้ -- คุณก็รู้, ผมหา
3 คูณแถวที่สอง, และผมบวกมันกับแถวที่ 1, นั่นจะ
กลายเป็นแถวที่สองอันใหม่ของผม
แล้วคุณก็ทำไป แล้วคุณได้พวกนี้ตรงนี้
สิ่งเหล่านี้ตรงนี้คือผลรวม
เชิงเส้นของเจ้าพวกนั้น
หรือวิธีทำอีกอย่างคือ, คุณย้อนการดำเนินการ
แถวเหล่านั้น
ผมสามารถเริ่มด้วยเจ้านี่ตรงนี้
และเราสามารถทำการย้อนการดำเนินการ
แถวได้ง่ายๆ
การดำเนินการเชิงเส้นใด, คุณสามารถทำการย้อนได้
เราเห็นมาหลายครั้งแล้ว
คุณสามารถดำเนินการแถวกับเจ้าพวกนี้ เพื่อ
ให้ได้เจ้าพวกนี้ทั้งหมดได้
หรือวิธีมองอีกอย่างคือว่า, เวกเตอร์พวกนี้ตรงนี้, แถว
พวกนี้ตรงนี้, พวกมันสแปนทั้งหมดนี่ -- หรือเวกเตอร์แถว
ทั้งหมดนี้สามารถแทนได้ด้วยผลรวมเชิงเส้นของ
แถวจุดหมุนตรงนี้
แน่นอน, แถวที่ไม่ใช่จุดหมุนของคุณ จะเป็น 0 หมด
และพวกนี้จะไม่มีความหมาย
แต่, แถวจุดหมุนของคุณ, ถ้าคุณหาผลรวมเชิงเส้น
ของพวกมัน, คุณจะย้อนลักษณะขั้นบันไดแล้ว
ได้เมทริกซ์ของคุณกลับมา
ดังนั้น, เจ้าพวกนี้ทั้งหมดสามารถแทนได้ด้วย
ผลรวมเชิงเส้นของพวกมัน
และค่าจุดหมุนทั้งหมดนี้ ตามนิยามแล้ว -- อืม
เกือบตามนิยามแล้ว -- พวกมันเป็น
อิสระเชิงเส้น, จริงไหม?
เพราะผมมี 1 ตรงนี้
ไม่มีตัวไหนมี 1 ตรงนี้
เจ้านี่จึงไม่สามารถแทนได้ด้วยผลรวม
เชิงเส้นของตัวอื่น
ทำไมผมถึงทำแบบฝึกหัดนี้ด้วย?
ตรงนี้, เราเริ่มต้นบอกว่า เราอยากหา
ฐานของสเปซแถว
เราอยากได้เซตที่เล็กที่สุดของเวกเตอร์อิสระเชิงเส้น
ที่สแปนทุกอย่างที่เจ้าพวกนี้สแปนได้
ทีนี้, ถ้าเจ้าพวกนี้ทั้งหมด สามารถแทนได้ด้วย
ผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์แถวเหล่านี้ในลักษณะขั้นบันไดลดรูป
ตามแถว -- หรือแถวจุดหมุนในลักษณะขั้นบันไดลดรูปตามแถว --
เจ้าพวกนี้จะเป็นอิสระเชิงส้นทั้งหมด, แล้วพวกมัน
จะเป็นฐานที่เข้าท่า
แถวจุดหมุนเหล่านี้ตรงนี้, นั่นคือตัวหนึ่ง, นี่
คือตัวที่สอง, นี่คือตัวที่สาม, บางทีพวกมัน
อาจมีแค่สาม
นี่คือตัวอย่างเฉพาะขอผม
มันจะเป็นฐานที่เหมาะสมสำหรับสเปซแถว
ขอผมเขียนนี่ลงไปนะ
แถวจุดหมุนในลักษณะขั้นบันไดลดรูปตามแถวของ A เป็นฐาน
ของสเปซว่างของ A
แล้วสเปซแถวของ A, หรือสเปซ
คอลัมน์ของ A ทรานสโพสก็เหมือนกัน
สเปซแถวของ A เหมือนกับ
สเปซคอลัมน์ของ A ทรานสโพส
เราเห็นมาหลายครั้งแล้ว
ทีนี้, ถ้าเราอยากรู้มิติของสเปซ
คอลัมน์คุณ, เราก็แค่นับจำนวนแถวจุดหมุนที่คุณมี
คุณก็แค่นับจำนวนแถวจุดหมุน
แล้วมิติของสเปซแถวคุณ, ซึ่งก็เหมือนกับ
สเปซคอลัมน์ของ A ทรานสโพส, จะ
เป็นจำนวนของแถวจุดหมุน ที่คุณมีในลักษณะขั้นบันไดลดรูปตามแถว
หรือ, ถ้าให้ง่ายกว่านั้น, คือจำนวนค่าจุดหมุนที่คุณมี
เพราะค่าจุดหมุนทุกค่ามีแถวจุดหมุน
แล้วเราสามารถเขียนได้ว่า แรงค์ของ A ทรานสโพส
เท่ากับจำนวนค่าจุดหมุนของลักษณะขั้นบันไดลดรูปตามแถวของ A
จริงไหม?
เพราะค่าจุดหมุนทุกจุดตรงกับแถวจุดหมุน
แถวจุดหมุนเหล่านั้น เป็นฐานที่เหมาะสมสำหรับสเปซ
แถวทั้งหมด, เพราะทุกแถวสามารถสร้างได้จาก
ผลรวมเชิงเส้นของเจ้าพวกนี้
และเนื่องจากทั้งหมดนี้สามารถ, อะไรก็ตามที่เจ้าพวกนี้
สร้างได้, เจ้าพวกนี้ก็สร้างได้
ใช้ได้
ทีนี้, แรงค์ของ A คืออะไร?
นี่คือแรงค์ของ A ทรานสโพส ที่เรา
ทำมาถึงตอนนี้
แรงค์ของ A เท่ากับมิติของ
สเปซคอลัมน์ของ A
หรือ, คุณบอกได้ว่า มันคือจำนวนเวกเตอร์ในฐาน
สำหรับสเปซคอลัมน์ของ A
แล้วถ้าเราเอาเมทริกซ์ A เดิมที่เราใช้บนนี้มา, และเรา
เขียนมันเป็นเวกเตอร์คอลัมน์หลายๆ ตัวแทน, ได้ c1, c2,
ไปจนถึง cn
เรามี n คอลัมน์ตรงนี้
สเปซคอลัมน์ก็คือสับสเปซ
ที่สแปนโดยเจ้าพวกนี้ทั้งหมดตรงนี้, จริงไหม?
สแปนโดยเวกเตอร์คอลัมน์พวกนี้แต่ลตัว
แล้วสเปซคอลัมน์ของ A เท่ากับสแปนของ c1, c2
ไปจนถึง cn
นั่นคือนิยามของมัน
แต่เราอยากรู้จำนวนของเวกเตอร์ฐาน
และเราเห็นมาก่อนแล้ว -- เราทำมาหลายครั้งแล้ว --
เวกเตอร์ฐานที่เหมาะสมคืออะไร
ถ้าเราเขียนมันในลักษณะขั้นบันไดลดรูปตามแถว, และคุณมี
ค่าจุดหมุน และคอลัมน์จุดหมุนที่ตรงกัน,
ค่าจุดหมุน กับคอลัมน์จุดหมุนที่ตรงกัน
ของพวกมันแบบนั้น
บางทีอันนั้นเป็นแบบนั้น, แล้วอันนี้ไม่ใช่,
แล้วอันนี้ใช่
คุณก็จะได้เวกเตอร์จุดหมุนจำนวนหนึ่งมา
-
ขอผมใช้อีกสีหนึ่งตรงนี้นะ
เมื่อคุณเขียน A ในลักษณะขั้นบันไดลดรูปตามแถว, เรา
รู้ว่าเวกเตอร์ฐาน, หรือคอลัมน์ฐานที่สร้าง
ฐานสำหรับสเปซคอลัมน์ของคุณ, คือคอลัมน์
ที่ตรงกับคอลัมน์จุดหมุน
แล้วคอลัมน์แรกตรงนี้คือคอลัมน์จุดหมุน, แล้วเจ้านี่
จะเป็นเวกเตอร์ฐาน
คอลัมน์ที่สอง, เจ้านี่ก็เป็นเวกเตอร์จุดหมุนด้วย
หรือบางทีตัวที่สี่ตรงนี้, เจ้านี่ก็เป็น
เวกเตอร์จุดหมุนด้วย
ดังนั้นโดยทั่วไป, เราก็บอกว่า เฮ้, ถ้าคุณอยากนับ
จำนวนเวกเตอร์ฐาน -- เพราะเราไม่ต้องรู้
ว่าเวกเตอร์ฐานคืออะไร เวลาหาแรงค์
เราแค่ต้องรู้จำนวนของมัน
แล้วคุณบอกว่า, ทีนี้, สำหรับคอลัมน์จุดหมุนทุกตัวตรงนี้, เราจะ
เวกเตอร์ฐานตรงนี้
เราก็แค่นับจำนวนคอลัมน์จุดหมุน
แต่จำนวนของคอลัมน์จุดหมุน เท่ากับ
จำนวนค่าจุดหมุน ที่เรามี. เพราะค่าจุดหมุน
ทุกค่ามีคอลัมน์ของมันเอง
เราก็บอกได้ว่า แรงค์ของ A เท่ากับจำนวน
ค่าจุดหมุนในลักษณะขั้นบันไดลดรูปตามแถวของ A
และ, อย่างที่คุณเห็นได้ชัดแล้ว, นั่นเหมือนกับ
สิ่งที่เราสรุปไปว่า เท่ากับแรงค์ของ A
ทรานสโพส -- คือมิติของ
สเปซคอลัมน์ของ A ทรานสโพส
หรือมิติของสเปซว่างของ A
เราจึงสามารถเขียนสรุปได้แล้ว
แรงค์ของ A ย่อมเท่ากับแรงค์ของ
A ทรานสโพสแน่นอน
-