1
00:00:00,000 --> 00:00:00,520
-

2
00:00:00,520 --> 00:00:04,360
ในวิดีโอก่อนๆ, ผมได้กล่าวไว้ว่าแรงค์ของ

3
00:00:04,360 --> 00:00:08,280
เมทริกซ์ A เท่ากับแรงค์ของทรานสโพสของมัน

4
00:00:08,280 --> 00:00:09,910
และผมให้เหตุผลแบบลวกๆ ไป

5
00:00:09,910 --> 00:00:12,310
มันคือตอนจบของวิดีโอ, และผมเหนื่อยแล้ว

6
00:00:12,310 --> 00:00:13,710
ที่จริงมันตอนท้ายของวันแล้ว

7
00:00:13,710 --> 00:00:16,810
และผมว่ามันมีค่าที่จะพูดถึง

8
00:00:16,810 --> 00:00:17,300
มันอีกหน่อย

9
00:00:17,300 --> 00:00:18,620
เพราะมันเป็นบทเรียนที่สำคัญ

10
00:00:18,620 --> 00:00:21,550
มันจะช่วยให้เราเข้าใจทุกอย่างเที่เราเรียน

11
00:00:21,550 --> 00:00:23,200
ได้ดีขึ้น

12
00:00:23,200 --> 00:00:25,560
ลองมาเข้าใจ -- ผมจะเริ่มต้นด้วย

13
00:00:25,560 --> 00:00:26,830
แรงค์ของ A ทรานสโพสก่อน

14
00:00:26,830 --> 00:00:31,630
-

15
00:00:31,630 --> 00:00:37,080
แรงค์ของ A ทรานสโพส เท่ากับมิติของ

16
00:00:37,080 --> 00:00:40,020
สเปซคอลัมน์ของ A ทรานสโพส

17
00:00:40,020 --> 00:00:42,690
นั่นคือนิยามของแรงค์

18
00:00:42,690 --> 00:00:46,810
มิติของสเปซคอลัมน์ของ A ทรานสโพส

19
00:00:46,810 --> 00:00:53,950
คือจำนวนเวกเตอร์ฐานสำหรับ

20
00:00:53,950 --> 00:00:55,330
สเปซคอลัมน์ของ A ทรานสโพส

21
00:00:55,330 --> 00:00:56,810
นั่นคิอมิติ

22
00:00:56,810 --> 00:00:59,900
สำหรับสับสเปซใดๆ, คุณหาได้ว่ามีเวกเตอร์ฐานกี่ตัวที่

23
00:00:59,900 --> 00:01:01,910
คุณจำเป็นต้องใช้ในสับสเปซ, และคุณนับมัน

24
00:01:01,910 --> 00:01:02,830
นั่นก็คือมิติของคุณ

25
00:01:02,830 --> 00:01:07,180
มันก็คือจำนวนเวกเตอร์ฐานของสเปซคอลัมน์

26
00:01:07,180 --> 00:01:10,150
ของ A ทรานสโพส, ซึ่งก็เหมือนกันแน่นอน

27
00:01:10,150 --> 00:01:12,530
สิ่งนี้เราเห็นมาหลายครั้งแล้ว, มันเหมือนกับ

28
00:01:12,530 --> 00:01:13,780
สเปซแถวของ A

29
00:01:13,780 --> 00:01:17,690
-

30
00:01:17,690 --> 00:01:17,950
จริงไหม?

31
00:01:17,950 --> 00:01:20,220
คอลัมน์ของ A ทรานสโพสนั้นเหมือนกับ

32
00:01:20,220 --> 00:01:21,785
แถวของ A

33
00:01:21,785 --> 00:01:24,310
เพราะคุณสลับแถวกับคอลัมน์กัน

34
00:01:24,310 --> 00:01:27,480
ทีนี้, เราจะหาจำนวนของเวกเตอร์ฐาน

35
00:01:27,480 --> 00:01:30,390
ที่เราต้องใช้สำหรับสเปซคอลัมน์ของ A ทรานสโพส, หรือ

36
00:01:30,390 --> 00:01:32,040
สเปซแถวของ A ได้อย่างไร?

37
00:01:32,040 --> 00:01:34,160
ลองคิดถึงสเปซคอลัมน์ของ A

38
00:01:34,160 --> 00:01:36,330
ทรานสโพสว่ามันบอกอะไรเรา

39
00:01:36,330 --> 00:01:38,290
มันก็เท่ากับ -- สมมุติว่า, ขอผม

40
00:01:38,290 --> 00:01:39,690
วาด A แบบนี้นะ

41
00:01:39,690 --> 00:01:43,400
-

42
00:01:43,400 --> 00:01:44,420
นั่นคือเมทริกซ์ A

43
00:01:44,420 --> 00:01:47,160
สมมุติว่ามันคือเมทริกซ์ขนาด m คูณ n

44
00:01:47,160 --> 00:01:49,210
ขอผมเขียนมันเป็นเวกเตอร์แถวหลายๆ ตัวนะ

45
00:01:49,210 --> 00:01:51,040
ผมสามารถเขียนมันเป็นเวกเตอร์คอลัมน์หลายๆ ตัว, แต่

46
00:01:51,040 --> 00:01:53,150
ตรงนี้ลองใช้เวกเตอร์แถวกัน

47
00:01:53,150 --> 00:01:55,420
เรามีแถวที่ 1

48
00:01:55,420 --> 00:01:57,420
ทรานสโพสของเวกเตอร์คอลัมน์

49
00:01:57,420 --> 00:02:02,460
นั่นคือแถว 1, และเราจะมีแถว 2, และ

50
00:02:02,460 --> 00:02:05,710
เราก็ไปจนถึงแถวที่ m

51
00:02:05,710 --> 00:02:06,010
จริงไหม?

52
00:02:06,010 --> 00:02:06,970
มันคือเมทริกซ์ขนาด m คูณ n

53
00:02:06,970 --> 00:02:10,289
เวกเตอร์แต่ลตัวนี้ จะเป็นสมาชิกของ rn, เพราะพวกมัน

54
00:02:10,289 --> 00:02:11,690
จะมีค่า n ค่าในนั้น

55
00:02:11,690 --> 00:02:13,800
เพราะเรามี n คอลัมน์

56
00:02:13,800 --> 00:02:15,730
แล้ว, A จะเป็นอย่างไร

57
00:02:15,730 --> 00:02:17,050
A จะเป็นแบบนั้น

58
00:02:17,050 --> 00:02:20,660
แล้ว A ทรานสโพส, แถวพวกนี้ทั้งหมด

59
00:02:20,660 --> 00:02:22,480
จะเป็นคอลัมน์

60
00:02:22,480 --> 00:02:27,670
A ทรานสโพสจะเป็นแบบนี้. r1, r2,

61
00:02:27,670 --> 00:02:30,890
ไปจนถึง rm

62
00:02:30,890 --> 00:02:33,880
และนี่แน่นอนจะเป็นเมทริกซ์ขนาด n คูณ m

63
00:02:33,880 --> 00:02:35,485
คุณสลับพวกนี้ไปได้

64
00:02:35,485 --> 00:02:38,670
แล้วแถวพวกนี้ทั้งหมดจะเป็นคอลัมน์

65
00:02:38,670 --> 00:02:39,650
จริงไหม?

66
00:02:39,650 --> 00:02:41,590
และแน่นอน สเปซคอลัมน์ -- มันอาจไม่

67
00:02:41,590 --> 00:02:47,350
ชัดเท่าไหร่ -- สเปซคอลัมน์ของ A ทรานสโพส เท่ากับ

68
00:02:47,350 --> 00:02:56,270
สแปนของ r1, r2 ไปจนถึง rm

69
00:02:56,270 --> 00:02:56,900
จริงไหม?

70
00:02:56,900 --> 00:02:58,390
มันเท่ากับสแปนของเจ้าพวกนี้

71
00:02:58,390 --> 00:03:00,780
หรือคุณอาจบอกได้เช่นกันว่า, มันเท่ากับสเแปน

72
00:03:00,780 --> 00:03:01,470
ของแถวของ A

73
00:03:01,470 --> 00:03:03,740
นั่นคือสาเหตุที่มันเรียกว่าสเปซแถว

74
00:03:03,740 --> 00:03:12,560
นี่เท่ากับสแปนของแถวของ A

75
00:03:12,560 --> 00:03:14,530
สองอย่างนี้เหมือนกัน

76
00:03:14,530 --> 00:03:16,100
ทีนี้, พวกนี้คือสแปน

77
00:03:16,100 --> 00:03:18,260
นั่นหมายความว่า นี่คือสับสเปซ คือผลรวม

78
00:03:18,260 --> 00:03:20,700
เชิงเส้นของคอลัมน์เหล่านี้ทั้งหมด, หรือผลรวม

79
00:03:20,700 --> 00:03:22,090
เชิงเส้นของแถวเหล่านี้ทั้งหมด

80
00:03:22,090 --> 00:03:26,030
ถ้าเราอยากได้ฐานของมัน, เราก็ต้องหาเซตที่เล็กที่สุด

81
00:03:26,030 --> 00:03:29,280
ของเวกเตอร์อิสระเชิงเส้น ที่เราสามารถใช้มัน

82
00:03:29,280 --> 00:03:30,880
สร้างคอลัมน์ใดๆ พวกนี้

83
00:03:30,880 --> 00:03:34,830
หรือเราสามารถสร้างแถวใดๆ เหล่านี้, ตรงนี้

84
00:03:34,830 --> 00:03:37,270
ทีนี้, เกิดอะไรขึ้นเมื่อเราทำ A ในลักษณะ

85
00:03:37,270 --> 00:03:40,070
ขั้นบันไดลดรูปตามแถว?

86
00:03:40,070 --> 00:03:46,290
เราทำการดำเนินการแถวหลายๆ ครั้ง เพื่อให้มี

87
00:03:46,290 --> 00:03:49,020
ลักษณะขั้นบันไดลดรูปตามแถว

88
00:03:49,020 --> 00:03:49,140
จริงไหม?

89
00:03:49,140 --> 00:03:52,150
ดำเนินการแถวไปเรื่อยๆ, และคุณได้อะไร

90
00:03:52,150 --> 00:03:53,050
แบบนี้

91
00:03:53,050 --> 00:03:57,410
คุณจะได้ขั้นบันไดลดรูปตามแถวของ A

92
00:03:57,410 --> 00:03:59,610
ขั้นบันไดลดรูปตามแถวของ A จะเป็น

93
00:03:59,610 --> 00:04:00,840
แบบนี้

94
00:04:00,840 --> 00:04:04,180
คุณจะได้แถวจุดหมุน, แถวที่

95
00:04:04,180 --> 00:04:05,650
มีค่าจุดหมุน

96
00:04:05,650 --> 00:04:08,010
สมมุติว่านั่นคือตัวหนึ่ง

97
00:04:08,010 --> 00:04:08,980
สมมุติว่านั่นคือตัวหนึ่ง

98
00:04:08,980 --> 00:04:11,390
นี่จะมี 0 ลงไปเรื่อยๆ

99
00:04:11,390 --> 00:04:12,770
อันนี้จะมี 0

100
00:04:12,770 --> 00:04:14,760
ค่าจุดหมุนของคุณต้องไม่ใช่ศูนย์

101
00:04:14,760 --> 00:04:16,180
ในคอลัมน์ของมัน

102
00:04:16,180 --> 00:04:18,220
และทุกอย่างไปทางซ้ายของมันต้องเป็น 0

103
00:04:18,220 --> 00:04:19,790
สมมุติว่าอันนี้ไม่ใช่

104
00:04:19,790 --> 00:04:21,360
มีค่าที่ไม่ใช่ 0 อยู่

105
00:04:21,360 --> 00:04:22,600
พวกนี้คือ 0

106
00:04:22,600 --> 00:04:24,690
เรามีค่าจุดหมุนอีกตัวตรงนี้

107
00:04:24,690 --> 00:04:25,340
อย่างอื่นเป็น 0 หมด

108
00:04:25,340 --> 00:04:29,350
สมมุติว่าทุกอย่างที่เหลือไม่ใช่ค่าจุดหมุน

109
00:04:29,350 --> 00:04:32,510
แล้วคุณมาตรงนี้ และคุณมีแถวจุดหมุน

110
00:04:32,510 --> 00:04:35,350
หลายๆ ตัว, หรือค่าจุดหมุนจำนวนหนึ่ง, จริงไหม?

111
00:04:35,350 --> 00:04:37,630
และคุณได้อันนี้มาจากการดำเนินการแถว

112
00:04:37,630 --> 00:04:38,880
เชิงเส้นกับเจ้าพวกนี้

113
00:04:38,880 --> 00:04:41,670
แล้วการดำเนินการแถวเชิงเส้้นเหล่านี้ -- คุณก็รู้, ผมหา

114
00:04:41,670 --> 00:04:44,655
3 คูณแถวที่สอง, และผมบวกมันกับแถวที่ 1, นั่นจะ

115
00:04:44,655 --> 00:04:45,790
กลายเป็นแถวที่สองอันใหม่ของผม

116
00:04:45,790 --> 00:04:47,840
แล้วคุณก็ทำไป แล้วคุณได้พวกนี้ตรงนี้

117
00:04:47,840 --> 00:04:49,170
สิ่งเหล่านี้ตรงนี้คือผลรวม

118
00:04:49,170 --> 00:04:50,890
เชิงเส้นของเจ้าพวกนั้น

119
00:04:50,890 --> 00:04:52,830
หรือวิธีทำอีกอย่างคือ, คุณย้อนการดำเนินการ

120
00:04:52,830 --> 00:04:53,380
แถวเหล่านั้น

121
00:04:53,380 --> 00:04:56,170
ผมสามารถเริ่มด้วยเจ้านี่ตรงนี้

122
00:04:56,170 --> 00:04:58,990
และเราสามารถทำการย้อนการดำเนินการ

123
00:04:58,990 --> 00:05:00,420
แถวได้ง่ายๆ

124
00:05:00,420 --> 00:05:02,470
การดำเนินการเชิงเส้นใด, คุณสามารถทำการย้อนได้

125
00:05:02,470 --> 00:05:04,040
เราเห็นมาหลายครั้งแล้ว

126
00:05:04,040 --> 00:05:09,690
คุณสามารถดำเนินการแถวกับเจ้าพวกนี้ เพื่อ

127
00:05:09,690 --> 00:05:11,420
ให้ได้เจ้าพวกนี้ทั้งหมดได้

128
00:05:11,420 --> 00:05:15,070
หรือวิธีมองอีกอย่างคือว่า, เวกเตอร์พวกนี้ตรงนี้, แถว

129
00:05:15,070 --> 00:05:20,400
พวกนี้ตรงนี้, พวกมันสแปนทั้งหมดนี่ -- หรือเวกเตอร์แถว

130
00:05:20,400 --> 00:05:23,170
ทั้งหมดนี้สามารถแทนได้ด้วยผลรวมเชิงเส้นของ

131
00:05:23,170 --> 00:05:24,190
แถวจุดหมุนตรงนี้

132
00:05:24,190 --> 00:05:29,280
แน่นอน, แถวที่ไม่ใช่จุดหมุนของคุณ จะเป็น 0 หมด

133
00:05:29,280 --> 00:05:31,380
และพวกนี้จะไม่มีความหมาย

134
00:05:31,380 --> 00:05:33,670
แต่, แถวจุดหมุนของคุณ, ถ้าคุณหาผลรวมเชิงเส้น

135
00:05:33,670 --> 00:05:37,870
ของพวกมัน, คุณจะย้อนลักษณะขั้นบันไดแล้ว

136
00:05:37,870 --> 00:05:39,190
ได้เมทริกซ์ของคุณกลับมา

137
00:05:39,190 --> 00:05:41,280
ดังนั้น, เจ้าพวกนี้ทั้งหมดสามารถแทนได้ด้วย

138
00:05:41,280 --> 00:05:42,730
ผลรวมเชิงเส้นของพวกมัน

139
00:05:42,730 --> 00:05:47,140
และค่าจุดหมุนทั้งหมดนี้ ตามนิยามแล้ว -- อืม

140
00:05:47,140 --> 00:05:48,590
เกือบตามนิยามแล้ว -- พวกมันเป็น

141
00:05:48,590 --> 00:05:49,900
อิสระเชิงเส้น, จริงไหม?

142
00:05:49,900 --> 00:05:50,970
เพราะผมมี 1 ตรงนี้

143
00:05:50,970 --> 00:05:53,320
ไม่มีตัวไหนมี 1 ตรงนี้

144
00:05:53,320 --> 00:05:55,880
เจ้านี่จึงไม่สามารถแทนได้ด้วยผลรวม

145
00:05:55,880 --> 00:05:57,990
เชิงเส้นของตัวอื่น

146
00:05:57,990 --> 00:06:00,710
ทำไมผมถึงทำแบบฝึกหัดนี้ด้วย?

147
00:06:00,710 --> 00:06:02,300
ตรงนี้, เราเริ่มต้นบอกว่า เราอยากหา

148
00:06:02,300 --> 00:06:05,470
ฐานของสเปซแถว

149
00:06:05,470 --> 00:06:09,600
เราอยากได้เซตที่เล็กที่สุดของเวกเตอร์อิสระเชิงเส้น

150
00:06:09,600 --> 00:06:12,610
ที่สแปนทุกอย่างที่เจ้าพวกนี้สแปนได้

151
00:06:12,610 --> 00:06:14,920
ทีนี้, ถ้าเจ้าพวกนี้ทั้งหมด สามารถแทนได้ด้วย

152
00:06:14,920 --> 00:06:17,660
ผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์แถวเหล่านี้ในลักษณะขั้นบันไดลดรูป

153
00:06:17,660 --> 00:06:23,090
ตามแถว -- หรือแถวจุดหมุนในลักษณะขั้นบันไดลดรูปตามแถว --

154
00:06:23,090 --> 00:06:25,910
เจ้าพวกนี้จะเป็นอิสระเชิงส้นทั้งหมด, แล้วพวกมัน

155
00:06:25,910 --> 00:06:27,980
จะเป็นฐานที่เข้าท่า

156
00:06:27,980 --> 00:06:30,810
แถวจุดหมุนเหล่านี้ตรงนี้, นั่นคือตัวหนึ่ง, นี่

157
00:06:30,810 --> 00:06:33,750
คือตัวที่สอง, นี่คือตัวที่สาม, บางทีพวกมัน

158
00:06:33,750 --> 00:06:34,380
อาจมีแค่สาม

159
00:06:34,380 --> 00:06:36,050
นี่คือตัวอย่างเฉพาะขอผม

160
00:06:36,050 --> 00:06:38,715
มันจะเป็นฐานที่เหมาะสมสำหรับสเปซแถว

161
00:06:38,715 --> 00:06:40,520
ขอผมเขียนนี่ลงไปนะ

162
00:06:40,520 --> 00:06:57,480
แถวจุดหมุนในลักษณะขั้นบันไดลดรูปตามแถวของ A เป็นฐาน

163
00:06:57,480 --> 00:07:03,470
ของสเปซว่างของ A

164
00:07:03,470 --> 00:07:07,180
แล้วสเปซแถวของ A, หรือสเปซ

165
00:07:07,180 --> 00:07:08,230
คอลัมน์ของ A ทรานสโพสก็เหมือนกัน

166
00:07:08,230 --> 00:07:10,370
สเปซแถวของ A เหมือนกับ

167
00:07:10,370 --> 00:07:11,490
สเปซคอลัมน์ของ A ทรานสโพส

168
00:07:11,490 --> 00:07:13,150
เราเห็นมาหลายครั้งแล้ว

169
00:07:13,150 --> 00:07:16,870
ทีนี้, ถ้าเราอยากรู้มิติของสเปซ

170
00:07:16,870 --> 00:07:20,770
คอลัมน์คุณ, เราก็แค่นับจำนวนแถวจุดหมุนที่คุณมี

171
00:07:20,770 --> 00:07:22,530
คุณก็แค่นับจำนวนแถวจุดหมุน

172
00:07:22,530 --> 00:07:25,740
แล้วมิติของสเปซแถวคุณ, ซึ่งก็เหมือนกับ

173
00:07:25,740 --> 00:07:28,360
สเปซคอลัมน์ของ A ทรานสโพส, จะ

174
00:07:28,360 --> 00:07:32,420
เป็นจำนวนของแถวจุดหมุน ที่คุณมีในลักษณะขั้นบันไดลดรูปตามแถว

175
00:07:32,420 --> 00:07:35,010
หรือ, ถ้าให้ง่ายกว่านั้น, คือจำนวนค่าจุดหมุนที่คุณมี

176
00:07:35,010 --> 00:07:37,430
เพราะค่าจุดหมุนทุกค่ามีแถวจุดหมุน

177
00:07:37,430 --> 00:07:46,760
แล้วเราสามารถเขียนได้ว่า แรงค์ของ A ทรานสโพส

178
00:07:46,760 --> 00:07:57,180
เท่ากับจำนวนค่าจุดหมุนของลักษณะขั้นบันไดลดรูปตามแถวของ A

179
00:07:57,180 --> 00:07:57,490
จริงไหม?

180
00:07:57,490 --> 00:07:59,950
เพราะค่าจุดหมุนทุกจุดตรงกับแถวจุดหมุน

181
00:07:59,950 --> 00:08:03,840
แถวจุดหมุนเหล่านั้น เป็นฐานที่เหมาะสมสำหรับสเปซ

182
00:08:03,840 --> 00:08:06,260
แถวทั้งหมด, เพราะทุกแถวสามารถสร้างได้จาก

183
00:08:06,260 --> 00:08:07,910
ผลรวมเชิงเส้นของเจ้าพวกนี้

184
00:08:07,910 --> 00:08:10,270
และเนื่องจากทั้งหมดนี้สามารถ, อะไรก็ตามที่เจ้าพวกนี้

185
00:08:10,270 --> 00:08:12,970
สร้างได้, เจ้าพวกนี้ก็สร้างได้

186
00:08:12,970 --> 00:08:13,930
ใช้ได้

187
00:08:13,930 --> 00:08:16,350
ทีนี้, แรงค์ของ A คืออะไร?

188
00:08:16,350 --> 00:08:18,160
นี่คือแรงค์ของ A ทรานสโพส ที่เรา

189
00:08:18,160 --> 00:08:20,440
ทำมาถึงตอนนี้

190
00:08:20,440 --> 00:08:30,350
แรงค์ของ A เท่ากับมิติของ

191
00:08:30,350 --> 00:08:32,620
สเปซคอลัมน์ของ A

192
00:08:32,620 --> 00:08:41,669
หรือ, คุณบอกได้ว่า มันคือจำนวนเวกเตอร์ในฐาน

193
00:08:41,669 --> 00:08:44,450
สำหรับสเปซคอลัมน์ของ A

194
00:08:44,450 --> 00:08:50,910
แล้วถ้าเราเอาเมทริกซ์ A เดิมที่เราใช้บนนี้มา, และเรา

195
00:08:50,910 --> 00:08:55,860
เขียนมันเป็นเวกเตอร์คอลัมน์หลายๆ ตัวแทน, ได้ c1, c2,

196
00:08:55,860 --> 00:08:57,720
ไปจนถึง cn

197
00:08:57,720 --> 00:09:00,440
เรามี n คอลัมน์ตรงนี้

198
00:09:00,440 --> 00:09:02,490
สเปซคอลัมน์ก็คือสับสเปซ

199
00:09:02,490 --> 00:09:05,150
ที่สแปนโดยเจ้าพวกนี้ทั้งหมดตรงนี้, จริงไหม?

200
00:09:05,150 --> 00:09:06,790
สแปนโดยเวกเตอร์คอลัมน์พวกนี้แต่ลตัว

201
00:09:06,790 --> 00:09:13,810
แล้วสเปซคอลัมน์ของ A เท่ากับสแปนของ c1, c2

202
00:09:13,810 --> 00:09:15,810
ไปจนถึง cn

203
00:09:15,810 --> 00:09:17,410
นั่นคือนิยามของมัน

204
00:09:17,410 --> 00:09:19,280
แต่เราอยากรู้จำนวนของเวกเตอร์ฐาน

205
00:09:19,280 --> 00:09:23,020
และเราเห็นมาก่อนแล้ว -- เราทำมาหลายครั้งแล้ว --

206
00:09:23,020 --> 00:09:25,170
เวกเตอร์ฐานที่เหมาะสมคืออะไร

207
00:09:25,170 --> 00:09:28,800
ถ้าเราเขียนมันในลักษณะขั้นบันไดลดรูปตามแถว, และคุณมี

208
00:09:28,800 --> 00:09:33,480
ค่าจุดหมุน และคอลัมน์จุดหมุนที่ตรงกัน,

209
00:09:33,480 --> 00:09:35,820
ค่าจุดหมุน กับคอลัมน์จุดหมุนที่ตรงกัน

210
00:09:35,820 --> 00:09:37,380
ของพวกมันแบบนั้น

211
00:09:37,380 --> 00:09:41,540
บางทีอันนั้นเป็นแบบนั้น, แล้วอันนี้ไม่ใช่,

212
00:09:41,540 --> 00:09:42,620
แล้วอันนี้ใช่

213
00:09:42,620 --> 00:09:44,210
คุณก็จะได้เวกเตอร์จุดหมุนจำนวนหนึ่งมา

214
00:09:44,210 --> 00:09:47,040
-

215
00:09:47,040 --> 00:09:49,450
ขอผมใช้อีกสีหนึ่งตรงนี้นะ

216
00:09:49,450 --> 00:09:53,190
เมื่อคุณเขียน A ในลักษณะขั้นบันไดลดรูปตามแถว, เรา

217
00:09:53,190 --> 00:09:56,660
รู้ว่าเวกเตอร์ฐาน, หรือคอลัมน์ฐานที่สร้าง

218
00:09:56,660 --> 00:09:59,090
ฐานสำหรับสเปซคอลัมน์ของคุณ, คือคอลัมน์

219
00:09:59,090 --> 00:10:02,000
ที่ตรงกับคอลัมน์จุดหมุน

220
00:10:02,000 --> 00:10:04,750
แล้วคอลัมน์แรกตรงนี้คือคอลัมน์จุดหมุน, แล้วเจ้านี่

221
00:10:04,750 --> 00:10:05,780
จะเป็นเวกเตอร์ฐาน

222
00:10:05,780 --> 00:10:08,010
คอลัมน์ที่สอง, เจ้านี่ก็เป็นเวกเตอร์จุดหมุนด้วย

223
00:10:08,010 --> 00:10:10,720
หรือบางทีตัวที่สี่ตรงนี้, เจ้านี่ก็เป็น

224
00:10:10,720 --> 00:10:11,880
เวกเตอร์จุดหมุนด้วย

225
00:10:11,880 --> 00:10:15,690
ดังนั้นโดยทั่วไป, เราก็บอกว่า เฮ้, ถ้าคุณอยากนับ

226
00:10:15,690 --> 00:10:17,290
จำนวนเวกเตอร์ฐาน -- เพราะเราไม่ต้องรู้

227
00:10:17,290 --> 00:10:18,400
ว่าเวกเตอร์ฐานคืออะไร เวลาหาแรงค์

228
00:10:18,400 --> 00:10:20,230
เราแค่ต้องรู้จำนวนของมัน

229
00:10:20,230 --> 00:10:22,960
แล้วคุณบอกว่า, ทีนี้, สำหรับคอลัมน์จุดหมุนทุกตัวตรงนี้, เราจะ

230
00:10:22,960 --> 00:10:24,530
เวกเตอร์ฐานตรงนี้

231
00:10:24,530 --> 00:10:26,990
เราก็แค่นับจำนวนคอลัมน์จุดหมุน

232
00:10:26,990 --> 00:10:29,510
แต่จำนวนของคอลัมน์จุดหมุน เท่ากับ

233
00:10:29,510 --> 00:10:31,510
จำนวนค่าจุดหมุน ที่เรามี. เพราะค่าจุดหมุน

234
00:10:31,510 --> 00:10:33,200
ทุกค่ามีคอลัมน์ของมันเอง

235
00:10:33,200 --> 00:10:42,220
เราก็บอกได้ว่า แรงค์ของ A เท่ากับจำนวน

236
00:10:42,220 --> 00:10:49,870
ค่าจุดหมุนในลักษณะขั้นบันไดลดรูปตามแถวของ A

237
00:10:49,870 --> 00:10:53,000
และ, อย่างที่คุณเห็นได้ชัดแล้ว, นั่นเหมือนกับ

238
00:10:53,000 --> 00:10:55,940
สิ่งที่เราสรุปไปว่า เท่ากับแรงค์ของ A

239
00:10:55,940 --> 00:10:57,480
ทรานสโพส -- คือมิติของ

240
00:10:57,480 --> 00:10:59,720
สเปซคอลัมน์ของ A ทรานสโพส

241
00:10:59,720 --> 00:11:02,240
หรือมิติของสเปซว่างของ A

242
00:11:02,240 --> 00:11:04,450
เราจึงสามารถเขียนสรุปได้แล้ว

243
00:11:04,450 --> 00:11:11,100
แรงค์ของ A ย่อมเท่ากับแรงค์ของ

244
00:11:11,100 --> 00:11:12,350
A ทรานสโพสแน่นอน

245
00:11:12,350 --> 00:11:13,300
-