Magia liczb Fibonacciego

Matematyka jest logiczna, funkcjonalna i... po prostu niesamowita. Matemagik Artur Benjamin bada ukryte własności ciągu Fibonacciego, tego dziwnego i wspaniałego zbioru liczb. (I przypomina, że matematyka może też być źródłem inspiracji!)

Dlaczego uczymy się matematyki?

Są trzy zasadnicze powody:

obliczenia,

zastosowanie,

i, na szarym końcu

jeżeli chodzi o poświęcany czas,

inspiracja.

Matematyka jest nauką wzorców.

Uczy nas myśleć logicznie,

krytycznie i twórczo.

Ale matematyce nauczanej w szkole

brakuje właściwej motywacji,

a kiedy uczniowie pytają

"Po co się tego uczymy?",

często słyszą, że będzie im to potrzebne

na kolejnych lekcjach albo egzaminach.

Ale czy nie byłoby wspaniale

zajmować się czasem matematyką

tylko dlatego, że jest fajna albo piękna,

albo dlatego, że pobudza umysł?

Wiele osób nie miało okazji

zobaczyć tego w praktyce,

podam wam więc szybki przykład

mojego ulubionego zbioru liczb,

liczby Fibonacciego. (Brawa)

Super! Fani Fibonacciego już tu są.

To świetnie.

Te liczby można doceniać

na wiele sposobów.

Jeśli chodzi o obliczenia,

są tak łatwe do zrozumienia

jak 1 + 1 = 2.

Potem 1 + 2 = 3.

2 + 3 = 5
3 + 5 = 8

i tak dalej.

Człowiek, którego nazywamy Fibonaccim,

naprawdę nazywał się Leonardo z Pizy,

a liczby zjawiają się w jego książce
"Liber Abaci",

która tłumaczyła Zachodowi

zasady współczesnej arytmetyki.

Jeśli chodzi o zastosowania,

liczby Fibonacciego występują w naturze

zaskakująco często.

Liczba płatków kwiatu

zazwyczaj jest liczbą Fibonacciego,

tak, jak liczba spiral w słoneczniku

albo ananasie,

które zwykle też są liczbami Fibonacciego.

Liczby te mają znacznie więcej zastosowań,

ale chyba najbardziej inspirują w nich

piękne wzory liczbowe.

Pokażę jeden z moich ulubionych.

Załóżmy, że lubicie
podnosić liczby do kwadratu,

a kto nie lubi? (Śmiech)

Spójrzmy na kwadraty

kilku pierwszych liczb Fibonacciego.

Jeden do kwadratu = 1

dwa do kwadratu = 4, trzy- 9,

pięć- 25 i tak dalej.

To żadna niespodzianka,

że po dodaniu dwóch kolejnych
liczb Fibonacciego

dostaniecie kolejny. Prawda?

Tak się je właśnie tworzy.

Ale nieoczekiwanie
dzieje się coś szczególnego,

gdy dodacie do siebie ich kwadraty.

Spójrzcie na to.

1 + 1 = 2,

1 + 4 = 5,

4 + 9 = 13,

9 + 25 = 34

i wzór działa także dalej.

Jest nawet jeszcze jeden.

Gdyby pododawać

kwadraty kilku pierwszych
liczb Fibonacciego

do czego nas to doprowadzi?

1 + 1 + 4 = 6.

6 + 9 = 15.

15 + 25 = 40

40 + 64 = 104.

Spójrzcie teraz na te liczby.

To nie są liczby Fibonacciego,

ale jeśli przyjrzycie im się uważnie,

zobaczycie, że liczby Fibonacciego

są w nich ukryte.

Widzicie to? Pokażę wam.

6 = 2 x 3,
15 = 3 x 5,

40 = 5 x 8.

2, 3, 5, 8 - komu to zawdzięczamy?

(Śmiech)

Oczywiście Fibonacciemu!

Odkrywanie tych wzorów to świetna zabawa,

ale jeszcze większą satysfakcję

przynosi rozumienie, dlaczego występują.

Spójrzmy na ostatnie równanie.

Dlaczego 1, 1, 2, 3, 5, i 8 do kwadratu

miałyby dać w sumie 8 x 13?

Pokażę wam to na prostym rysunku.

Zaczniemy od kwadratu jeden na jeden,

obok umieścimy drugi taki sam.

Razem stworzą prostokąt jeden na dwa.

Poniżej umieszczę kwadrat dwa na dwa,

obok kwadrat trzy na trzy,

a poniżej kwadraty pięć na pięć

i osiem na osiem,

tworząc jeden wielki prostokąt.

Pozwólcie, że zadam proste pytanie:

jakie jest pole tego prostokąta?

Z jednej strony

to suma pól powierzchni

tworzących go kwadratów, prawda?

W ten sposób go stworzyliśmy.

Jeden do kwadratu plus jeden do kwadratu,

plus dwa kwadrat, plus trzy kwadrat,

plus pięć kwadrat plus osiem kwadrat.

Tyle wynosi pole powierzchni.

Ponieważ to prostokąt, jego powierzchnia

jest równa wysokości
pomnożonej przez podstawę.

Wysokość to oczywiście osiem,

a baza to 5 + 8,

czyli kolejna liczba Fibonacciego, 13.

Czyli pole powierzchni to 8 x 13.

Skoro poprawnie obliczyliśmy
pole powierzchni

na dwa różne sposoby,

to musimy otrzymać te same liczby,

i dlatego kwadraty 1, 1, 2, 3, 5 i 8

sumują się do 8 x 13.

Kontynuując ten proces,

stworzymy prostokąty o wymiarach
13 na 21,

21 na 34, i tak dalej.

Teraz patrzcie na to.

Jeśli podzielicie 13 przez 8,

dostaniecie 1,625.

Dzieląc kolejne większe liczby
przez mniejsze,

otrzymamy proporcje
coraz bardziej zbliżone

do 1,618,

liczby znanej jako złoty podział.

Liczba ta fascynuje matematyków,

naukowców i artystów od wieków.

Pokazuję to wszystko, bo obawiam się

że pięknu tego

i wielu innych aspektów matematyki

poświęca się w szkołach

za mało uwagi.

Spędzamy mnóstwo czasu ucząc się liczyć,

ale nie zapominajmy o zastosowaniach,

łącznie z chyba najważniejszym z nich,

czyli nauce myślenia.

Gdybym mógł podsumować to
w jednym zdaniu,

brzmiałoby ono tak:

W matematyce nie chodzi
tylko o szukanie x,

ale też zrozumienie, po co to robimy.

Dziękuję bardzo.

(Brawa)