Introduction to 3d graphs | Multivariable calculus | Khan Academy

Hola a todos

Lo que quisiera hacer aquí es describir

cómo pensamos sobre gráficos de tres dimensiones.

Los gráficos de tres dimensiones son una manera que representamos

ciertos tipos de funciones multi-variables

que tienen 2 entradas,

o mejor dicho, una entrada de dos dimensiones,

y luego una salida de una dimensión de algún tipo.

Lo que tengo graficado aquí

si f de (x, y) es igual a: 'x' al cuadrado más 'y' al cuadrado

Y antes de hablar exactamente acerca de este gráfico,

creo que sería de ayuda, por analogía,

que demos un vistazo a las gráficas de dos dimensiones y

recordemos cómo funcionan,

qué es lo que hacemos, porque, es bastante

parecido en tres dimensiones

pero requiere un poco más de visualización

Entonces, los gráficos de dos dimensiones

tienen algún tipo de función,

veamos, teniendo f de x es igual a: 'x' al cuadrado,

y cada vez que visualizar una función, tratas de

entender la relación entre

valores de entrada y de salida.

Y aquí ambos son sólo números,

entonces sabemos que al ingresar un número como: dos,

y el valor que vamos a obtener es 4,

Sabes que al ingresar uno negativo (-1), obtendras uno (1).

Y estás tratando de entender todas las posibilidades

parejas de entradas y salidas

Y de hecho podemos hacerlo,

que podemos obtener una sensasión inuitiva bastante buena respecto

a cada pareja entrada-salida posible es muy increible,

la manera que iremos respecto a esto con las grpaficas, es como piensas

solo punteamos esos valores, ¿correcto?

Entonces, van a poner el punto, digamos vamos a

colocar el punto (2,4), de tal manera que podamos marcar nuestra grafica

dos (2) aqui, uno (1), dos (2), tres (3), cuatro (4),

asi que vas a marcar por aqui (2,4)

y lo que represta es un par entrada-salida.

Y si eso lo haces con, sabes, uno negativo (-1) y uno (1)

vamos con uno negativo (-1) y uno (1)

Y cuando haces esto para cada par entrada-salida posible

al final lo que vas a obtener, puede no dibujarse super bien,

es una especia de curva suave.

La implicación de hacer esto es que pensamos comunente que

es en el eje-x donde viven las intradas,

sabes, esto podría ser, creemos que la entrada uno (1)

y esto es la entrada (2), y asi,

y entonces crees que la salida podría ser la altura

de cada punto en la gráfica de arriba

Pero este tipo de consecuencia, de hecho,

solo estamos enlistado todos los pares aqui.

Ahora, si vamos al mundo de las funciones multi-variables

sabes, no va a mostrar la grafica de inmediato,

solo pensemos que tenemos un espacio de tres-dimensiones

a nuestra disposición para hacer lo que queramos

Queremos entender la relación entre

entradas y salidas de este amigo, pero éste caso,

las entradas son algo que creemos como un par de puntos

podemos tener un par de puntos como (1, 2),

y la salida podria ser

uno (1) al cuadrado, más dos (2) al cuadrado, y que su resultado sea cinco (5)

Entonces ¿como visualisaremos eso?

Bueno, si vamos a hacer pareja esas dos cosas, la manera natural

de hacerlo es pensar en una tripleta de algún tipo.

Asi que, en éste caso, vas a juntar la tripleta (1, 2, 5)

y para hacer eso en tres-dimensiones

daremos un vistazo aqui, donde creemos que va el uno (1)

en la dirección X, éste eje donde está el eje-x

asi que, queremos mover la distancia uno (1) ahi

y queremos ir dos (2) en la dirección 'y'

Asi que, pensemos en una especie de tipo de distancia dos (2) ahí.

y después cinco (5) arriba, y entonces

ésto nos dará una especie de punto, ¿correcto?

Entonces, pensamos este punto en el espacio

y ello es una par entrada-salida dado.

Pero no podemos hacer ésto por mucho, ¿correcto?

un par de direrentes puntos que puedes obtener.

Si empiezas a puntear diferentes unos (1)

parecido a algo así, y por supuesto hay

infinidad de maneras que puedes hacer esto, y te tomaría por siempre.

Si tratas de solo dibujar cada uno (1) en la tercera-dimensión

lo que sería fantástico es que sabes como quitar

esas líneas, si te imaginas haciendolo

para cada par infinito que haya de las salidas

que probablemente haya, terminarias por dibujar una superficie.

Asi que en éste casi el tipo de superficie se parecería a

una parábola tri-dimensional, lo que no es coincidencia.

Tiene que ver con el hecho de que usamos

'x' al cuadrado y 'y' al cuadrado.

Y ahora, los puntos xomo (1, 2) creemos que estarían

en el plano 'xy', ¿correcto?

Asi que, pensamos que los puntos vivien aqui,

y entonces lo que corresponde a la salida es

la altura de una punto dado en la gráfica anterior, ¿cierto?

Entonces es muy similar a las dos-dimensiones, crees,

sabemos, pensamos en las entradas como un solo eje,

y la altura dada es la salida.

Asi que, solo para dar un ejemplo de

la consecuencia de ésto es que, yo quiero pensar sobre que

puede pasar si cambiamos nuestra función multi-variable

un poquito, y multiplicamos todo por la mitad (0.5), ¿correcto?

Entonces, dibujaré un rojo aqui, veamos que tenemos una función

pero voy a cambiarla de tal forma que las salidas sean a la mitad

del 'x' al cuadrado, más 'y' al cuadrado

¿Qué forma tomará la gráfica para ésta función?

Y lo que significa es la altura para cada punto,

arriba de este plano-xy va a hacer cortada a la mitad

De tal forma, es solo una modificación

lo que ya tenemos, pero todo tipo de

ciclo sobre la función será respecto a la mitad de lo que fué

Asi que, en este caso, en lugar de que la altura fuera cinco (5)

Será dos-punto-cinco (2.5)

Puedes imaginar, digamos que hicimos ésto, sabes,

aún mas extremo, en lugar de decir la mitad

lo recortas por una doceava parte (0.12)

puedo usar el mismo color, por una-doceava

que puede significar que todo, ¿sabes?

circule muy plano, muy plano y cierre el plano-xy

asi que la gráfica al ser cercado al plano-xy como ésto

corresponde a unas salidas muy pequeñas.

Y una cosa que me gustaria advertirte al respecto,

es muy tentador tratar de pensar

en cada función multi-variable como una gráfica,

ya que estamos tan habituados a gráficas de dos-dimensiones

y estamos tan habituados a encontrar analogías

entre dos-dimensiones y tres-dimensiones directamente,

y la razón es que solo trabaja es que

si tomas el número de dimensión en la entrada

dos-dimensiones, y luego el número de dimensiones

en la salida, una-dimensiona, es razonable

hacer coincidir que en tres, que lo podamos hacer.

Pero imagina que tienes una función multi-variable

con una entrada de tres-dimensiones

y una salida de dos-dimensiones, que pueda requerir

una gráfica de cinco-dimensiones, pero no estaremos bien

al tratar de visualizar cosas como esa.

Asi que hay más métodos, y creo

es muy importante que abras tu mente

a aquellas que pueden ser.

En particular, a una que que mostraré pronto,

pensemos en gráficas 3-D pero con

la definición de dos-dimensiones, y vamos a

fijarnos en el espacio de entrada, que se llama mapa de contorno.

Un par de otros, como funciones paramétricas

solo en el espacio de salida

cosas como espacio vectorial

vas a fijarte en el espacio de entrada pero obtendrás todas las salidas

Existen muchas maneras diferentes, las abordaré

en los siguientes videos.

Y estas fueron las gráficas de tres dimensiones (tri-dimensional)