1
00:00:00,526 --> 00:00:01,573
Hola a todos

2
00:00:01,573 --> 00:00:03,683
Lo que quisiera hacer aquí es describir

3
00:00:03,683 --> 00:00:06,220
cómo pensamos sobre gráficos de tres dimensiones.

4
00:00:06,220 --> 00:00:08,858
Los gráficos de tres dimensiones son una manera que representamos

5
00:00:08,858 --> 00:00:10,255
ciertos tipos de funciones multi-variables

6
00:00:10,255 --> 00:00:12,156
que tienen 2 entradas,

7
00:00:12,156 --> 00:00:14,539
o mejor dicho, una entrada de dos dimensiones,

8
00:00:14,539 --> 00:00:17,003
y luego una salida de una dimensión de algún tipo.

9
00:00:17,003 --> 00:00:19,302
Lo que tengo graficado aquí

10
00:00:19,302 --> 00:00:23,733
si f de (x, y) es igual a: 'x' al cuadrado más 'y' al cuadrado

11
00:00:23,733 --> 00:00:26,618
Y antes de hablar exactamente acerca de este gráfico,

12
00:00:26,618 --> 00:00:28,463
creo que sería de ayuda, por analogía,

13
00:00:28,463 --> 00:00:30,380
que demos un vistazo a las gráficas de dos dimensiones y

14
00:00:30,380 --> 00:00:32,580
recordemos cómo funcionan,

15
00:00:32,580 --> 00:00:36,562
qué es lo que hacemos, porque, es bastante

16
00:00:36,562 --> 00:00:38,876
parecido en tres dimensiones

17
00:00:38,876 --> 00:00:41,148
pero requiere un poco más de visualización

18
00:00:41,148 --> 00:00:43,365
Entonces, los gráficos de dos dimensiones

19
00:00:43,365 --> 00:00:45,559
tienen algún tipo de función,

20
00:00:45,559 --> 00:00:49,726
veamos, teniendo f de x es igual a: 'x' al cuadrado,

21
00:00:51,086 --> 00:00:54,000
y cada vez que visualizar una función, tratas de

22
00:00:54,000 --> 00:00:55,554
entender la relación entre

23
00:00:55,554 --> 00:00:57,154
valores de entrada y de salida.

24
00:00:57,154 --> 00:00:59,032
Y aquí ambos son sólo números,

25
00:00:59,032 --> 00:01:00,873
entonces sabemos que al ingresar un número como: dos,

26
00:01:00,873 --> 00:01:03,646
y el valor que vamos a obtener es 4,

27
00:01:03,646 --> 00:01:07,351
Sabes que al ingresar uno negativo (-1), obtendras uno (1).

28
00:01:07,351 --> 00:01:09,638
Y estás tratando de entender todas las posibilidades

29
00:01:09,638 --> 00:01:11,506
parejas de entradas y salidas

30
00:01:11,506 --> 00:01:13,089
Y de hecho podemos hacerlo,

31
00:01:13,089 --> 00:01:17,571
que podemos obtener una sensasión inuitiva bastante buena respecto

32
00:01:17,571 --> 00:01:21,376
a cada pareja entrada-salida posible es muy increible,

33
00:01:21,376 --> 00:01:24,476
la manera que iremos respecto a esto con las grpaficas, es como piensas

34
00:01:24,476 --> 00:01:26,492
solo punteamos esos valores, ¿correcto?

35
00:01:26,492 --> 00:01:30,189
Entonces, van a poner el punto, digamos vamos a

36
00:01:30,189 --> 00:01:34,306
colocar el punto (2,4), de tal manera que podamos marcar nuestra grafica

37
00:01:34,306 --> 00:01:36,973
dos (2) aqui, uno (1), dos (2), tres (3), cuatro (4),

38
00:01:39,221 --> 00:01:43,261
asi que vas a marcar por aqui (2,4)

39
00:01:43,261 --> 00:01:45,862
y lo que represta es un par entrada-salida.

40
00:01:45,862 --> 00:01:48,300
Y si eso lo haces con, sabes, uno negativo (-1) y uno (1)

41
00:01:48,300 --> 00:01:50,383
vamos con uno negativo (-1) y uno (1)

42
00:01:51,586 --> 00:01:55,302
Y cuando haces esto para cada par entrada-salida posible

43
00:01:55,302 --> 00:01:59,159
al final lo que vas a obtener, puede no dibujarse super bien,

44
00:01:59,159 --> 00:02:01,491
es una especia de curva suave.

45
00:02:01,491 --> 00:02:04,232
La implicación de hacer esto es que pensamos comunente que

46
00:02:04,232 --> 00:02:07,406
es en el eje-x donde viven las intradas,

47
00:02:07,406 --> 00:02:09,813
sabes, esto podría ser, creemos que la entrada uno (1)

48
00:02:09,813 --> 00:02:13,018
y esto es la entrada (2), y asi,

49
00:02:13,018 --> 00:02:17,185
y entonces crees que la salida podría ser la altura

50
00:02:18,828 --> 00:02:21,554
de cada punto en la gráfica de arriba

51
00:02:21,554 --> 00:02:23,272
Pero este tipo de consecuencia, de hecho,

52
00:02:23,272 --> 00:02:26,078
solo estamos enlistado todos los pares aqui.

53
00:02:26,078 --> 00:02:29,149
Ahora, si vamos al mundo de las funciones multi-variables

54
00:02:29,149 --> 00:02:31,905
sabes, no va a mostrar la grafica de inmediato,

55
00:02:31,905 --> 00:02:34,122
solo pensemos que tenemos un espacio de tres-dimensiones

56
00:02:34,122 --> 00:02:37,106
a nuestra disposición para hacer lo que queramos

57
00:02:37,106 --> 00:02:39,010
Queremos entender la relación entre

58
00:02:39,010 --> 00:02:42,653
entradas y salidas de este amigo, pero éste caso,

59
00:02:42,653 --> 00:02:46,820
las entradas son algo que creemos como un par de puntos

60
00:02:47,914 --> 00:02:51,391
podemos tener un par de puntos como (1, 2),

61
00:02:51,391 --> 00:02:53,654
y la salida podria ser

62
00:02:53,654 --> 00:02:57,821
uno (1) al cuadrado, más dos (2) al cuadrado, y que su resultado sea cinco (5)

63
00:03:02,573 --> 00:03:05,328
Entonces ¿como visualisaremos eso?

64
00:03:05,328 --> 00:03:08,053
Bueno, si vamos a hacer pareja esas dos cosas, la manera natural

65
00:03:08,053 --> 00:03:10,813
de hacerlo es pensar en una tripleta de algún tipo.

66
00:03:10,813 --> 00:03:14,980
Asi que, en éste caso, vas a juntar la tripleta (1, 2, 5)

67
00:03:17,268 --> 00:03:19,932
y para hacer eso en tres-dimensiones

68
00:03:19,932 --> 00:03:23,157
daremos un vistazo aqui, donde creemos que va el uno (1)

69
00:03:23,157 --> 00:03:25,938
en la dirección X, éste eje donde está el eje-x

70
00:03:25,938 --> 00:03:28,276
asi que, queremos mover la distancia uno (1) ahi

71
00:03:28,276 --> 00:03:31,700
y queremos ir dos (2) en la dirección 'y'

72
00:03:31,700 --> 00:03:34,610
Asi que, pensemos en una especie de tipo de distancia dos (2) ahí.

73
00:03:34,610 --> 00:03:37,442
y después cinco (5) arriba, y entonces

74
00:03:37,442 --> 00:03:40,120
ésto nos dará una especie de punto, ¿correcto?

75
00:03:40,120 --> 00:03:41,489
Entonces, pensamos este punto en el espacio

76
00:03:41,489 --> 00:03:44,043
y ello es una par entrada-salida dado.

77
00:03:44,043 --> 00:03:45,807
Pero no podemos hacer ésto por mucho, ¿correcto?

78
00:03:45,807 --> 00:03:48,571
un par de direrentes puntos que puedes obtener.

79
00:03:48,571 --> 00:03:51,183
Si empiezas a puntear diferentes unos (1)

80
00:03:51,183 --> 00:03:54,014
parecido a algo así, y por supuesto hay

81
00:03:54,014 --> 00:03:56,244
infinidad de maneras que puedes hacer esto, y te tomaría por siempre.

82
00:03:56,244 --> 00:03:58,926
Si tratas de solo dibujar cada uno (1) en la tercera-dimensión

83
00:03:58,926 --> 00:04:02,042
lo que sería fantástico es que sabes como quitar

84
00:04:02,042 --> 00:04:04,567
esas líneas, si te imaginas haciendolo

85
00:04:04,567 --> 00:04:07,289
para cada par infinito que haya de las salidas

86
00:04:07,289 --> 00:04:11,892
que probablemente haya, terminarias por dibujar una superficie.

87
00:04:11,892 --> 00:04:14,952
Asi que en éste casi el tipo de superficie se parecería a

88
00:04:14,952 --> 00:04:17,215
una parábola tri-dimensional, lo que no es coincidencia.

89
00:04:17,215 --> 00:04:19,038
Tiene que ver con el hecho de que usamos

90
00:04:19,038 --> 00:04:21,331
'x' al cuadrado y 'y' al cuadrado.

91
00:04:21,331 --> 00:04:25,498
Y ahora, los puntos xomo (1, 2) creemos que estarían

92
00:04:27,177 --> 00:04:29,301
en el plano 'xy', ¿correcto?

93
00:04:29,301 --> 00:04:31,658
Asi que, pensamos que los puntos vivien aqui,

94
00:04:31,658 --> 00:04:33,818
y entonces lo que corresponde a la salida es

95
00:04:33,818 --> 00:04:37,463
la altura de una punto dado en la gráfica anterior, ¿cierto?

96
00:04:37,463 --> 00:04:39,564
Entonces es muy similar a las dos-dimensiones, crees,

97
00:04:39,564 --> 00:04:42,084
sabemos, pensamos en las entradas como un solo eje,

98
00:04:42,084 --> 00:04:44,417
y la altura dada es la salida.

99
00:04:44,417 --> 00:04:45,936
Asi que, solo para dar un ejemplo de

100
00:04:45,936 --> 00:04:49,283
la consecuencia de ésto es que, yo quiero pensar sobre que

101
00:04:49,283 --> 00:04:52,522
puede pasar si cambiamos nuestra función multi-variable

102
00:04:52,522 --> 00:04:56,690
un poquito, y multiplicamos todo por la mitad (0.5), ¿correcto?

103
00:04:56,690 --> 00:05:00,857
Entonces, dibujaré un rojo aqui, veamos que tenemos una función

104
00:05:02,178 --> 00:05:06,452
pero voy a cambiarla de tal forma que las salidas sean a la mitad

105
00:05:06,452 --> 00:05:09,227
del 'x' al cuadrado, más 'y' al cuadrado

106
00:05:09,227 --> 00:05:13,394
¿Qué forma tomará la gráfica para ésta función?

107
00:05:14,286 --> 00:05:15,919
Y lo que significa es la altura para cada punto,

108
00:05:15,919 --> 00:05:19,645
arriba de este plano-xy va a hacer cortada a la mitad

109
00:05:19,645 --> 00:05:21,392
De tal forma, es solo una modificación

110
00:05:21,392 --> 00:05:23,420
lo que ya tenemos, pero todo tipo de

111
00:05:23,420 --> 00:05:27,181
ciclo sobre la función será respecto a la mitad de lo que fué

112
00:05:27,181 --> 00:05:29,386
Asi que, en este caso, en lugar de que la altura fuera cinco (5)

113
00:05:29,386 --> 00:05:31,531
Será dos-punto-cinco (2.5)

114
00:05:31,531 --> 00:05:33,442
Puedes imaginar, digamos que hicimos ésto, sabes,

115
00:05:33,442 --> 00:05:35,823
aún mas extremo, en lugar de decir la mitad

116
00:05:35,823 --> 00:05:38,725
lo recortas por una doceava parte (0.12)

117
00:05:38,725 --> 00:05:42,558
puedo usar el mismo color, por una-doceava

118
00:05:43,440 --> 00:05:45,017
que puede significar que todo, ¿sabes?

119
00:05:45,017 --> 00:05:49,259
circule muy plano, muy plano y cierre el plano-xy

120
00:05:49,259 --> 00:05:51,443
asi que la gráfica al ser cercado al plano-xy como ésto

121
00:05:51,443 --> 00:05:54,909
corresponde a unas salidas muy pequeñas.

122
00:05:54,909 --> 00:05:57,287
Y una cosa que me gustaria advertirte al respecto,

123
00:05:57,287 --> 00:05:59,563
es muy tentador tratar de pensar

124
00:05:59,563 --> 00:06:01,520
en cada función multi-variable como una gráfica,

125
00:06:01,520 --> 00:06:03,687
ya que estamos tan habituados a gráficas de dos-dimensiones

126
00:06:03,687 --> 00:06:06,726
y estamos tan habituados a encontrar analogías

127
00:06:06,726 --> 00:06:09,781
entre dos-dimensiones y tres-dimensiones directamente,

128
00:06:09,781 --> 00:06:12,734
y la razón es que solo trabaja es que

129
00:06:12,734 --> 00:06:15,376
si tomas el número de dimensión en la entrada

130
00:06:15,376 --> 00:06:17,515
dos-dimensiones, y luego el número de dimensiones

131
00:06:17,515 --> 00:06:19,926
en la salida, una-dimensiona, es razonable

132
00:06:19,926 --> 00:06:23,281
hacer coincidir que en tres, que lo podamos hacer.

133
00:06:23,281 --> 00:06:25,104
Pero imagina que tienes una función multi-variable

134
00:06:25,104 --> 00:06:27,044
con una entrada de tres-dimensiones

135
00:06:27,044 --> 00:06:29,156
y una salida de dos-dimensiones, que pueda requerir

136
00:06:29,156 --> 00:06:31,420
una gráfica de cinco-dimensiones, pero no estaremos bien

137
00:06:31,420 --> 00:06:33,899
al tratar de visualizar cosas como esa.

138
00:06:33,899 --> 00:06:35,586
Asi que hay más métodos, y creo

139
00:06:35,586 --> 00:06:37,883
es muy importante que abras tu mente

140
00:06:37,883 --> 00:06:39,752
a aquellas que pueden ser.

141
00:06:39,752 --> 00:06:42,940
En particular, a una que que mostraré pronto,

142
00:06:42,940 --> 00:06:44,613
pensemos en gráficas 3-D pero con

143
00:06:44,613 --> 00:06:46,709
la definición de dos-dimensiones, y vamos a

144
00:06:46,709 --> 00:06:50,093
fijarnos en el espacio de entrada, que se llama mapa de contorno.

145
00:06:50,093 --> 00:06:52,194
Un par de otros, como funciones paramétricas

146
00:06:52,194 --> 00:06:54,216
solo en el espacio de salida

147
00:06:54,216 --> 00:06:55,616
cosas como espacio vectorial

148
00:06:55,616 --> 00:06:59,210
vas a fijarte en el espacio de entrada pero obtendrás todas las salidas

149
00:06:59,210 --> 00:07:00,770
Existen muchas maneras diferentes, las abordaré

150
00:07:00,770 --> 00:07:03,301
en los siguientes videos.

151
00:07:03,301 --> 00:07:05,409
Y estas fueron las gráficas de tres dimensiones (tri-dimensional)