TEDxMIA - Scott Rickard - Prekrásna matematika v pozadí najškaredšej hudby

Scott Rickard sa pokúsil vytvoriť najškaredšiu možnú skladbu, úplne bez opakovaní, použitím matematického konceptu, ktorý je známy ako Golombovo pravítko. Vo svojej prednáške prezentuje matematiku v pozadí hudobnej krásy (a v jej opaku).

Čo robí hudbu krásnou?

Nuž, väčšina muzikológov by tvrdila,

že kľúčovým aspektom krásy je opakovanie.

Myšlienka je taká, že vezmeme melódiu, motív a hudobný nápad,

zopakujeme to, vytvoríme očakávanie opakovania,

a potom to buď aj urobíme, alebo opakovanie narušíme.

A to je kľúčový komponent krásy.

Takže ak sú opakovanie a vzorce kľúčom ku kráse,

ako by potom znela absencia týchto vzorcov,

ak by sme zložili skladbu,

ktorá by neobsahovala akékoľvek opakovanie?

Je to vlastne zaujímavá matematická otázka.

Sme schopní zložiť skladbu bez opakovania?

Nie je to o nepravidelnosti. To by bolo ľahké.

Bez opakovaní – ukázalo sa, že je to nesmierne zložité

a jediným dôvodom, prečo to vlastne dokážeme urobiť,

je muž, ktorý pátral po ponorkách.

Ukázalo sa, že chlapík, ktorý sa snažil vyvinúť

najlepší sonarový impulz na svete,

vyriešil problém s písaním hudby bez vzorcov.

A to je aj téma dnešnej prednášky.

Čiže, predstavme si to na sonare.

Máme loď, ktorá vysiela do vody nejaký zvuk

a spätne ho počúva – ozvena.

Zvuk ide pod vodu, odrazí sa späť, ide pod vodu, odrazí sa späť.

Čas, ktorý uplynie pred návratom zvuku, vám prezradí, ako ďaleko je objekt.

Ak sa vráti vo vyššej tónine, znamená to, že objekt sa k vám približuje.

Ak sa vráti v nižšej tónine, tak sa vzďaľuje.

Ako by ste teda navrhli perfektný sonarový impulz?

Nuž, v 60. rokoch pracoval chlapík menom John Costas

na nesmierne drahom sonarovom systéme pre americké námorníctvo.

Nefungoval,

a to preto, že impulz, ktorý používali, nebol dostatočný.

Bol to impulz podobný tomuto,

tu si môžete predstaviť tóny,

a tu čas.

(Hudba)

Čiže toto bol sonarový impulz, ktorý používali: znižovanie tónov.

Ukázalo sa, že je to naozaj zlý impulz.

Prečo? Pretože sa sám sebe javil ako posuny.

Vzťah medzi prvými dvoma tónmi je rovnaký,

ako medzi druhými dvoma a tak ďalej.

Preto navrhol odlišný sonarový impulz,

ktorý vyzerá ako náhodný.

Vyzerá to ako náhodné usporiadanie bodiek, ale nie je.

Ak sa pozriete veľmi pozorne, môžete si všimnúť,

že vzťah medzi každým párom bodiek je iný.

Nič sa nikdy neopakuje.

Prvé dva tóny a každý ďalší pár tónov

majú odlišný vzťah.

Takže to, čo vieme o tomto vzorci je, že je neobyčajný.

Tento vzorec vymyslel John Costas.

Tu je fotka z roku 2006, krátko pred jeho smrťou.

Pracoval ako sonarový inžinier pre americké námorníctvo.

Rozmýšľal o týchto vzorcoch

a bez pomoci prístrojov ich dokázal vytvoriť do veľkosti 12 –

12X12.

Ďalej sa už nevedel posunúť, a preto si myslel,

že už väčšie ako 12 neexistujú.

Preto napísal list matematikovi v strede,

ktorý v tom čase pôsobil ako mladý matematik v Kalifornii,

Solomonovi Golombovi.

Ukázalo sa, že Solomon Golomb bol jedným

z najnadanejších diskrétnych matematikov našej doby.

John požiadal Solomona, aby mu pomohol nájsť odkaz, z ktorého

by sa dozvedel viac o týchto vzorcoch.

Žiadny odkaz neexistoval.

Nik sa predtým nezamýšľal nad

opakovaním, nad štruktúrou bez vzorcov.

Solom Golomb celé leto rozmýšľal o tomto probléme.

Spoľahol sa na výpočty tohto pána,

Evaristu Galoisa.

Galois je veľmi preslávený matematik.

Slávny je vďaka objaveniu celého odboru matematiky,

ktorý sa po ňom volá Galoisova teória polí.

Je to matematika prvočísel.

Taktiež je známy aj vďaka spôsobu svojho úmrtia.

Príbeh hovorí, že sa zastával cti mladej dámy.

Vyzvali ho na duel a on prijal.

A krátko pred duelom

zapísal všetky svoje matematické nápady,

poslal listy všetkým priateľom,

kde sa písalo: prosím, prosím, prosím –

bolo to pred 200 rokmi –

prosím, prosím, prosím,

postaraj sa o to, aby tieto veci boli raz publikované.

Potom šiel do duelu, postrelili ho a vo veku 20 rokov zomrel.

Výpočty, ktoré poháňajú vaše mobily, internet –

ktorý nám umožňuje komunikovať – i DVD prehrávače,

to všetko pochádza z nápadov Evaristu Galoisa,

matematika, ktorý zomrel ako 20-ročný.

Keď hovoríme o odkaze, ktorý zanechal,

samozrejme, nemohol nikdy tušiť,

ako sa jeho výpočty budú používať.

Našťastie, jeho myšlienky boli nakoniec publikované.

Solomon Golomb si uvedomil, že tieto výpočty boli

presne také, aké potreboval na vyriešenie problému,

ako vytvoriť štruktúru bez vzorcov.

Takže Johnovi poslal späť list, v ktorom písal, že

môže generovať tieto vzorce pomocou teórie prvočísel.

A John tak urobil a vyriešil problém so sonarom námorníctva.

Ako teda vyzerajú tieto vzorce?

Tu máme jeden.

Je to Costovo pole s veľkosťou 88X88.

Vygeneroval ho veľmi jednoducho.

Na vyriešenie problému stačí matematika zo základnej školy.

Pole je generované opakovaným násobením troma.

1, 3, 9, 27, 81, 243...

Keď sa dostaneme k väčšiemu [číslu], ktoré je väčšie ako 89

a je to prvočíslo,

budeme odpočítavať 89, až kým sa nedostaneme naspäť.

A toto nakoniec vyplní celú mriežku, 88X88.

A na klavíri máme náhodou 88 tónov.

Takže dnes budeme mať svetovú premiéru

úplne prvej klavírnej sonáty bez vzorcov.

Tak späť k otázke hudby.

Čo robí hudbu krásnou?

Zamyslime sa nad najkrajšou skladbou, ktorá bola kedy napísaná,

nad Beethovenovou Piatou symfóniou.

A nad známym motívom "da na na na".

Tento motív sa v symfónii mnohonásobne opakuje –

mnohokrát v prvej vete skladby

a rovnako aj v jej ďalších vetách.

Čiže toto opakovanie, vytvorenie tohto opakovania,

je veľmi dôležité pre krásu.

Ak rozmýšľame o náhodnej hudbe, ako keby to boli len náhodné tóny tu

a tu by bola Piata symfónia v akomsi vzorci,

ak by sme napísali hudbu úplne bez vzorcov,

bola by celkom na chvoste.

V skutočnosti, koniec chvosta hudby

by boli tieto štruktúry bez vzorcov.

Táto hudba, ktorú sme videli pred tým, tie hviezdičky na mriežke,

je veľmi, veľmi, veľmi ďaleko od náhodnej.

Je absolútne bez vzorcov.

Ukázalo sa, že muzikológovia –

slávny skladateľ Arnold Schoenberg –

sa nad tým zamýšľal v 30., 40. a 50. rokoch.

Jeho cieľom ako skladateľa bolo napísať skladbu,

ktorá by oslobodila hudbu od celistvej štruktúry.

Nazval to emancipácia disonancie (oslobodenie nesúzvuku).

Vytvoril tieto štruktúry s názvom tónové rady.

Toto je tretí tónový rad.

Znie to skoro ako Costasovo pole.

Naneštastie zomrel 10 rokov pred tým, než Costas vyriešil problém,

ako matematicky vytvoriť tieto štruktúry.

Dnes si vypočujeme svetovú premiéru perfektného impulzu.

Toto je Costasovo pole veľkosti 88X88,

zaznačené na tóny klavíra,

ktoré sa hrá použitím štruktúry nazvanej Golombovo pravítko rytmu,

čo znamená, že každý počiatočný čas každého páru tónov

je tiež vždy iný.

Je to matematicky takmer nemožné.

Vlastne, výpočtovo, by bolo nemožné vytvoriť to.

Vďaka výpočtom, ktoré boli urobené pred 200 rokmi –

vďaka ďalšiemu matematikovi a inžinierovi z dnešnej doby –

sme schopní toto skomponovať, alebo to vytvoriť,

použitím násobenia číslom 3.

Účelom tejto skladby

nie je byť krásnou.

Mala by to byť tá najškaredšia skladba sveta.

V skutočnosti je to skladba, ktorú dokáže napísať len matematik.

Chcem vás požiadať, aby ste počas počúvania tejto skladby

skúsili nájsť nejaké opakovanie.

Snažte sa nájsť niečo, čo sa vám bude páčiť,

a potom si vychutnajte fakt, že to nenájdete.

Dobre?

Takže bez ďalších okolkov, Michael Linville,

riaditeľ komornej hudby v New World Symphony,

vám predstaví svetovú premiéru perfektného impulzu.

(Hudba)

Ďakujem.

(Potlesk)