Proof - Opposite Sides of Parallelogram Congruent
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0:01 - 0:04在這個影片裏我們將要證明一些
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0:04 - 0:07比較簡單的關於平行四邊形的問題
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0:07 - 0:09第一條題目說
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0:09 - 0:11"如果我們有這麽一個平行四邊形ABCD
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0:11 - 0:14讓我們來證明平行四邊形的對邊長度相等"
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0:14 - 0:20所以我麽要證明AB等於DC以及AD等於BC
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0:20 - 0:22先讓我在這畫條對角線
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0:22 - 0:24我畫了條對角線
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0:25 - 0:28這條對角線取決於你怎麽看它 它和兩組
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0:28 - 0:31平行線相交所以你也可以稱它爲
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0:31 - 0:32一條截線
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0:32 - 0:34算了讓我重畫一條整潔一點的對角線
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0:34 - 0:35我能畫的比這個更好
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0:36 - 0:38好吧這條線並不比前一條畫的好
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0:38 - 0:41我只能畫成這樣了
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0:41 - 0:45所以我們可以把對角線DB
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0:45 - 0:49看成平行線AB和DC的截線
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0:49 - 0:54如果你這麽看你可以發現角ABD
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0:54 - 0:56等於
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0:56 - 0:58所以這裡這個角ABD
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0:58 - 1:03將會等於角BDC 因爲他們是內錯角
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1:03 - 1:05現在這裡有條截線還有平行線
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1:05 - 1:11因此我們知道角ABD等於
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1:11 - 1:14角BDC
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1:16 - 1:20現在你還可以把對角線DB
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1:20 - 1:22看成這兩條平行線的截線
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1:22 - 1:27就是另外這對平行線AD和BC
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1:27 - 1:31如果你這麽看你會立即發現那個角
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1:31 - 1:41就是角DBC等於
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1:41 - 1:50角ADB 理由和前面一樣它們是截線和平行線相交
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1:50 - 1:53形成的內錯角
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1:53 - 1:54所以我可以這麽寫
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1:54 - 2:03當截線和平行線相交的時候
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2:03 - 2:06所形成的內錯角是相等的
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2:07 - 2:10我們也可以發現這兩個三角形
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2:10 - 2:16三角形ADB和三角形CDB共享一條邊
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2:16 - 2:18因此這條邊肯定是相等的
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2:18 - 2:20這點爲什麽有用呢
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2:20 - 2:23好吧也許你已經意識到了我們剛剛展示了這兩個
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2:23 - 2:27三角形它們粉色的角和這條邊都是
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2:27 - 2:29相等的還有綠色的角所以
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2:29 - 2:33粉色的角這條邊還有綠色的角都是相等的
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2:33 - 2:36因此我們剛剛通過角邊角定理證明了
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2:36 - 2:38這兩個三角形是全等的
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2:38 - 2:39讓我把它寫下來
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2:39 - 2:44我們已經證明了三角形就是這個由無標記的點和粉色點
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2:44 - 2:50還有綠色點圍成的三角形ADB和這個三角形全等
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2:50 - 3:00就是這個由無標記點 粉點還有綠點圍成的三角形CBD
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3:00 - 3:03同樣也是通過角邊角全等證明的
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3:03 - 3:09所以這是角邊角全等定理
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3:09 - 3:11好吧這對我們有什麽用呢
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3:11 - 3:15如果兩個三角形全等那它們所有相應的
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3:15 - 3:18角和邊都會相等
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3:18 - 3:24比如DC邊對應的是BA邊
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3:24 - 3:28底下這個三角形的DC邊對應
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3:28 - 3:29頂上三角形的BA邊
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3:29 - 3:31所以他們一定相等
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3:31 - 3:32所以DC
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3:32 - 3:39沒錯我們得到DC等於BA因爲
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3:39 - 3:47他們是全等三角形的對應邊
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3:47 - 3:51所以同理可得這個等於那個
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3:51 - 3:55AD對應的是CB
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3:58 - 4:03同理可得AD等於CB
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4:03 - 4:05就因爲它們是對應邊
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4:05 - 4:06現在我們已經完成了證明
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4:07 - 4:10我們證明了平行四邊形的對邊相等
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4:10 - 4:11現在讓我們換個思路
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4:13 - 4:16比如說我們知道有一種四邊形
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4:16 - 4:19它的對邊是相等的
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4:19 - 4:22我們能不能夠證明它是一個平行四邊形呢
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4:22 - 4:25好吧這個證明的方法和前面類似只是過程相反
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4:25 - 4:27首先我們先在這畫一條對角線
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4:27 - 4:29這麽做是因爲我們對三角形比較了解
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4:29 - 4:31所以讓我們來畫
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4:32 - 4:33讓我們開始吧
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4:34 - 4:36這是最難的一個環節讓我們拭目以待
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4:36 - 4:38畫的還不錯
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4:38 - 4:39好的
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4:39 - 4:42所以很明顯CB和它自己相等
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4:42 - 4:44所以我要這樣畫
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4:44 - 4:47這個很明顯因爲這是同一條線
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4:47 - 4:48然後這裡有些有意思的事
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4:48 - 4:53我們已經把這個四邊形分成了兩個三角形 即ABC
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4:53 - 4:56和三角形DBC
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4:56 - 5:01注意這兩個三角形的三組對應邊
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5:01 - 5:02都是相等的
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5:02 - 5:05所以通過邊邊邊定理我們可以知道它們是全等的
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5:05 - 5:12我們知道三角形 我從A點開始
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5:12 - 5:22到另一半 所以三角形ACB和三角形DBC全等
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5:24 - 5:31這是通過邊邊邊定理來證明全等
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5:31 - 5:32好吧這又對我們有什麽用呢
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5:32 - 5:35這告訴了我們所有相對應的角的
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5:35 - 5:36角度都是相等的
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5:36 - 5:42所以比如說角ABC和
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5:42 - 5:49讓我給它做個記號 角ABC和
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5:49 - 5:53你可以看到和角DCB是相等的
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5:54 - 6:03和角DCB相等
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6:03 - 6:07因爲它們是全等三角形裏的對應角
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6:07 - 6:09我在這因爲要節省時間所以寫的比較簡略
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6:09 - 6:12因爲三角形ABC和三角形DCB全等
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6:12 - 6:15所以這兩個角相等
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6:15 - 6:18這非常有意思因爲在這有一條長長的線
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6:18 - 6:23它和AB還有CD相交而且我們可以清楚地看見
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6:23 - 6:27這些內錯角
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6:27 - 6:28是相等的
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6:28 - 6:31也正因爲我們有這些相等的內錯角
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6:31 - 6:34我們可以知道AB和CD平行
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6:34 - 6:37所以這條邊肯定和那條邊平行
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6:37 - 6:47所以通過內錯角相等我們知道AB和CD平行
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6:48 - 6:52內錯角是截線和平行線相交形成的
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6:52 - 6:54現在根據同理
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6:54 - 6:57我們也可以知道那個角
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6:57 - 7:05角ACB和角DBC相等
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7:09 - 7:13我們知道全等三角形的對應角的
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7:14 - 7:19角度是相等的
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7:19 - 7:22所以這個角等於那個角
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7:22 - 7:25好吧它們可能是內錯角
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7:25 - 7:27它們看起是因爲這有一條截線
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7:27 - 7:30而這有兩條線但我們不確定它們是不是平行的
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7:30 - 7:33但是因爲內錯角相等
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7:33 - 7:35我們可以知道這兩條線實際上是平行的
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7:35 - 7:37所以這條邊和那條邊平行
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7:37 - 7:45所以因爲內錯角相等我們知道AC和BD平行
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7:49 - 7:50這樣就證好了
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7:50 - 7:51所以這題還是挺有趣的
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7:51 - 7:56我們已經證明了平行四邊形的對邊
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7:56 - 7:57長度是相等的
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7:57 - 8:00然後如果對邊的長度是一樣的
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8:00 - 8:01那這就是一個平行四邊形
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8:01 - 8:04所以實際上我們從兩個方向證明了這一點
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8:04 - 8:05所以我們作了一個被你們稱爲
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8:05 - 8:07若且唯若的陳述句
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8:07 - 8:12你可以說"如果四邊形的對邊平行"
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8:12 - 8:16或者你可以說"四邊形的對邊平行
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8:16 - 8:19若且唯若它們的長度相等"
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8:19 - 8:20你可以說若且唯若
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8:20 - 8:23所以如果它們平行你就可以說它們的長度相等
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8:23 - 8:27同時只有當它們的長度相同時它們才會平行
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8:27 - 8:29我們已經從兩個方向證明了這一點
- Title:
- Proof - Opposite Sides of Parallelogram Congruent
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- Video Language:
- English
- Team:
Khan Academy
- Duration:
- 08:30
|
Fran Ontanaya edited Chinese (Traditional, Taiwan) subtitles for Proof - Opposite Sides of Parallelogram Congruent |