1
00:00:00,610 --> 00:00:04,350
在這個影片裏我們將要證明一些

2
00:00:04,360 --> 00:00:07,440
比較簡單的關於平行四邊形的問題

3
00:00:07,450 --> 00:00:08,750
第一條題目說

4
00:00:08,760 --> 00:00:10,870
"如果我們有這麽一個平行四邊形ABCD

5
00:00:10,880 --> 00:00:13,970
讓我們來證明平行四邊形的對邊長度相等"

6
00:00:13,980 --> 00:00:19,570
所以我麽要證明AB等於DC以及AD等於BC

7
00:00:19,580 --> 00:00:21,760
先讓我在這畫條對角線

8
00:00:21,770 --> 00:00:24,160
我畫了條對角線

9
00:00:24,590 --> 00:00:27,580
這條對角線取決於你怎麽看它 它和兩組

10
00:00:27,590 --> 00:00:31,010
平行線相交所以你也可以稱它爲

11
00:00:31,020 --> 00:00:32,340
一條截線

12
00:00:32,350 --> 00:00:34,170
算了讓我重畫一條整潔一點的對角線

13
00:00:34,180 --> 00:00:35,390
我能畫的比這個更好

14
00:00:35,760 --> 00:00:37,960
好吧這條線並不比前一條畫的好

15
00:00:38,450 --> 00:00:40,840
我只能畫成這樣了

16
00:00:41,120 --> 00:00:44,970
所以我們可以把對角線DB

17
00:00:44,980 --> 00:00:48,880
看成平行線AB和DC的截線

18
00:00:48,890 --> 00:00:54,340
如果你這麽看你可以發現角ABD

19
00:00:54,350 --> 00:00:55,600
等於

20
00:00:55,610 --> 00:00:58,430
所以這裡這個角ABD

21
00:00:58,440 --> 00:01:03,400
將會等於角BDC 因爲他們是內錯角

22
00:01:03,410 --> 00:01:05,320
現在這裡有條截線還有平行線

23
00:01:05,330 --> 00:01:10,640
因此我們知道角ABD等於

24
00:01:10,650 --> 00:01:13,620
角BDC

25
00:01:15,950 --> 00:01:19,730
現在你還可以把對角線DB

26
00:01:19,740 --> 00:01:22,430
看成這兩條平行線的截線

27
00:01:22,440 --> 00:01:27,360
就是另外這對平行線AD和BC

28
00:01:27,370 --> 00:01:31,260
如果你這麽看你會立即發現那個角

29
00:01:31,270 --> 00:01:40,520
就是角DBC等於

30
00:01:40,530 --> 00:01:49,650
角ADB 理由和前面一樣它們是截線和平行線相交

31
00:01:49,660 --> 00:01:52,860
形成的內錯角

32
00:01:53,190 --> 00:01:54,260
所以我可以這麽寫

33
00:01:54,270 --> 00:02:03,080
當截線和平行線相交的時候

34
00:02:03,090 --> 00:02:06,410
所形成的內錯角是相等的

35
00:02:06,720 --> 00:02:09,630
我們也可以發現這兩個三角形

36
00:02:09,640 --> 00:02:16,120
三角形ADB和三角形CDB共享一條邊

37
00:02:16,130 --> 00:02:18,020
因此這條邊肯定是相等的

38
00:02:18,030 --> 00:02:20,030
這點爲什麽有用呢

39
00:02:20,040 --> 00:02:23,250
好吧也許你已經意識到了我們剛剛展示了這兩個

40
00:02:23,260 --> 00:02:26,780
三角形它們粉色的角和這條邊都是

41
00:02:26,790 --> 00:02:28,860
相等的還有綠色的角所以

42
00:02:28,870 --> 00:02:32,510
粉色的角這條邊還有綠色的角都是相等的

43
00:02:32,520 --> 00:02:35,830
因此我們剛剛通過角邊角定理證明了

44
00:02:35,840 --> 00:02:37,910
這兩個三角形是全等的

45
00:02:37,920 --> 00:02:39,450
讓我把它寫下來

46
00:02:39,460 --> 00:02:44,160
我們已經證明了三角形就是這個由無標記的點和粉色點

47
00:02:44,170 --> 00:02:50,030
還有綠色點圍成的三角形ADB和這個三角形全等

48
00:02:50,040 --> 00:03:00,240
就是這個由無標記點 粉點還有綠點圍成的三角形CBD

49
00:03:00,450 --> 00:03:03,160
同樣也是通過角邊角全等證明的

50
00:03:03,410 --> 00:03:09,340
所以這是角邊角全等定理

51
00:03:09,350 --> 00:03:10,940
好吧這對我們有什麽用呢

52
00:03:10,950 --> 00:03:14,790
如果兩個三角形全等那它們所有相應的

53
00:03:14,800 --> 00:03:17,960
角和邊都會相等

54
00:03:17,970 --> 00:03:24,280
比如DC邊對應的是BA邊

55
00:03:24,290 --> 00:03:27,940
底下這個三角形的DC邊對應

56
00:03:27,950 --> 00:03:28,950
頂上三角形的BA邊

57
00:03:28,960 --> 00:03:31,040
所以他們一定相等

58
00:03:31,050 --> 00:03:32,420
所以DC

59
00:03:32,430 --> 00:03:39,070
沒錯我們得到DC等於BA因爲

60
00:03:39,080 --> 00:03:46,990
他們是全等三角形的對應邊

61
00:03:47,000 --> 00:03:51,300
所以同理可得這個等於那個

62
00:03:51,310 --> 00:03:54,920
AD對應的是CB

63
00:03:58,440 --> 00:04:02,730
同理可得AD等於CB

64
00:04:02,740 --> 00:04:05,140
就因爲它們是對應邊

65
00:04:05,150 --> 00:04:06,270
現在我們已經完成了證明

66
00:04:06,590 --> 00:04:09,670
我們證明了平行四邊形的對邊相等

67
00:04:09,680 --> 00:04:11,340
現在讓我們換個思路

68
00:04:13,240 --> 00:04:16,410
比如說我們知道有一種四邊形

69
00:04:16,420 --> 00:04:18,890
它的對邊是相等的

70
00:04:18,900 --> 00:04:22,130
我們能不能夠證明它是一個平行四邊形呢

71
00:04:22,140 --> 00:04:24,530
好吧這個證明的方法和前面類似只是過程相反

72
00:04:24,540 --> 00:04:26,740
首先我們先在這畫一條對角線

73
00:04:26,750 --> 00:04:28,870
這麽做是因爲我們對三角形比較了解

74
00:04:28,880 --> 00:04:30,700
所以讓我們來畫

75
00:04:31,630 --> 00:04:33,120
讓我們開始吧

76
00:04:34,020 --> 00:04:35,650
這是最難的一個環節讓我們拭目以待

77
00:04:35,660 --> 00:04:37,830
畫的還不錯

78
00:04:37,840 --> 00:04:38,590
好的

79
00:04:38,600 --> 00:04:42,420
所以很明顯CB和它自己相等

80
00:04:42,430 --> 00:04:44,080
所以我要這樣畫

81
00:04:44,090 --> 00:04:46,860
這個很明顯因爲這是同一條線

82
00:04:46,870 --> 00:04:48,460
然後這裡有些有意思的事

83
00:04:48,470 --> 00:04:53,110
我們已經把這個四邊形分成了兩個三角形 即ABC

84
00:04:53,120 --> 00:04:56,410
和三角形DBC

85
00:04:56,420 --> 00:05:00,530
注意這兩個三角形的三組對應邊

86
00:05:00,540 --> 00:05:01,750
都是相等的

87
00:05:01,760 --> 00:05:04,890
所以通過邊邊邊定理我們可以知道它們是全等的

88
00:05:04,900 --> 00:05:11,790
我們知道三角形 我從A點開始

89
00:05:11,800 --> 00:05:21,650
到另一半 所以三角形ACB和三角形DBC全等

90
00:05:24,000 --> 00:05:30,550
這是通過邊邊邊定理來證明全等

91
00:05:30,560 --> 00:05:32,320
好吧這又對我們有什麽用呢

92
00:05:32,330 --> 00:05:34,720
這告訴了我們所有相對應的角的

93
00:05:34,730 --> 00:05:36,130
角度都是相等的

94
00:05:36,350 --> 00:05:42,150
所以比如說角ABC和

95
00:05:42,160 --> 00:05:49,240
讓我給它做個記號 角ABC和

96
00:05:49,250 --> 00:05:52,860
你可以看到和角DCB是相等的

97
00:05:54,490 --> 00:06:02,600
和角DCB相等

98
00:06:02,610 --> 00:06:06,790
因爲它們是全等三角形裏的對應角

99
00:06:06,800 --> 00:06:08,980
我在這因爲要節省時間所以寫的比較簡略

100
00:06:08,990 --> 00:06:12,280
因爲三角形ABC和三角形DCB全等

101
00:06:12,290 --> 00:06:15,180
所以這兩個角相等

102
00:06:15,190 --> 00:06:18,230
這非常有意思因爲在這有一條長長的線

103
00:06:18,240 --> 00:06:23,030
它和AB還有CD相交而且我們可以清楚地看見

104
00:06:23,040 --> 00:06:26,770
這些內錯角

105
00:06:26,780 --> 00:06:27,760
是相等的

106
00:06:27,770 --> 00:06:30,840
也正因爲我們有這些相等的內錯角

107
00:06:30,850 --> 00:06:33,950
我們可以知道AB和CD平行

108
00:06:33,960 --> 00:06:36,830
所以這條邊肯定和那條邊平行

109
00:06:36,840 --> 00:06:47,490
所以通過內錯角相等我們知道AB和CD平行

110
00:06:47,500 --> 00:06:51,530
內錯角是截線和平行線相交形成的

111
00:06:51,540 --> 00:06:53,870
現在根據同理

112
00:06:53,880 --> 00:06:57,010
我們也可以知道那個角

113
00:06:57,020 --> 00:07:04,590
角ACB和角DBC相等

114
00:07:09,390 --> 00:07:12,890
我們知道全等三角形的對應角的

115
00:07:14,040 --> 00:07:18,630
角度是相等的

116
00:07:18,640 --> 00:07:22,320
所以這個角等於那個角

117
00:07:22,330 --> 00:07:25,480
好吧它們可能是內錯角

118
00:07:25,490 --> 00:07:27,460
它們看起是因爲這有一條截線

119
00:07:27,470 --> 00:07:29,960
而這有兩條線但我們不確定它們是不是平行的

120
00:07:29,970 --> 00:07:33,110
但是因爲內錯角相等

121
00:07:33,120 --> 00:07:34,700
我們可以知道這兩條線實際上是平行的

122
00:07:34,710 --> 00:07:36,960
所以這條邊和那條邊平行

123
00:07:36,970 --> 00:07:44,510
所以因爲內錯角相等我們知道AC和BD平行

124
00:07:48,630 --> 00:07:49,550
這樣就證好了

125
00:07:49,560 --> 00:07:51,430
所以這題還是挺有趣的

126
00:07:51,440 --> 00:07:55,630
我們已經證明了平行四邊形的對邊

127
00:07:55,640 --> 00:07:57,440
長度是相等的

128
00:07:57,450 --> 00:08:00,130
然後如果對邊的長度是一樣的

129
00:08:00,140 --> 00:08:01,160
那這就是一個平行四邊形

130
00:08:01,170 --> 00:08:03,540
所以實際上我們從兩個方向證明了這一點

131
00:08:03,550 --> 00:08:04,730
所以我們作了一個被你們稱爲

132
00:08:04,740 --> 00:08:06,880
若且唯若的陳述句

133
00:08:06,890 --> 00:08:11,720
你可以說"如果四邊形的對邊平行"

134
00:08:11,730 --> 00:08:15,750
或者你可以說"四邊形的對邊平行

135
00:08:15,760 --> 00:08:18,780
若且唯若它們的長度相等"

136
00:08:18,790 --> 00:08:20,050
你可以說若且唯若

137
00:08:20,060 --> 00:08:23,100
所以如果它們平行你就可以說它們的長度相等

138
00:08:23,110 --> 00:08:26,680
同時只有當它們的長度相同時它們才會平行

139
00:08:26,690 --> 00:08:29,010
我們已經從兩個方向證明了這一點