WEBVTT

00:00:00.610 --> 00:00:04.350
在這個影片裏我們將要證明一些

00:00:04.360 --> 00:00:07.440
比較簡單的關於平行四邊形的問題

00:00:07.450 --> 00:00:08.750
第一條題目說

00:00:08.760 --> 00:00:10.870
"如果我們有這麽一個平行四邊形ABCD

00:00:10.880 --> 00:00:13.970
讓我們來證明平行四邊形的對邊長度相等"

00:00:13.980 --> 00:00:19.570
所以我麽要證明AB等於DC以及AD等於BC

00:00:19.580 --> 00:00:21.760
先讓我在這畫條對角線

00:00:21.770 --> 00:00:24.160
我畫了條對角線

00:00:24.590 --> 00:00:27.580
這條對角線取決於你怎麽看它 它和兩組

00:00:27.590 --> 00:00:31.010
平行線相交所以你也可以稱它爲

00:00:31.020 --> 00:00:32.340
一條截線

00:00:32.350 --> 00:00:34.170
算了讓我重畫一條整潔一點的對角線

00:00:34.180 --> 00:00:35.390
我能畫的比這個更好

00:00:35.760 --> 00:00:37.960
好吧這條線並不比前一條畫的好

00:00:38.450 --> 00:00:40.840
我只能畫成這樣了

00:00:41.120 --> 00:00:44.970
所以我們可以把對角線DB

00:00:44.980 --> 00:00:48.880
看成平行線AB和DC的截線

00:00:48.890 --> 00:00:54.340
如果你這麽看你可以發現角ABD

00:00:54.350 --> 00:00:55.600
等於

00:00:55.610 --> 00:00:58.430
所以這裡這個角ABD

00:00:58.440 --> 00:01:03.400
將會等於角BDC 因爲他們是內錯角

00:01:03.410 --> 00:01:05.320
現在這裡有條截線還有平行線

00:01:05.330 --> 00:01:10.640
因此我們知道角ABD等於

00:01:10.650 --> 00:01:13.620
角BDC

00:01:15.950 --> 00:01:19.730
現在你還可以把對角線DB

00:01:19.740 --> 00:01:22.430
看成這兩條平行線的截線

00:01:22.440 --> 00:01:27.360
就是另外這對平行線AD和BC

00:01:27.370 --> 00:01:31.260
如果你這麽看你會立即發現那個角

00:01:31.270 --> 00:01:40.520
就是角DBC等於

00:01:40.530 --> 00:01:49.650
角ADB 理由和前面一樣它們是截線和平行線相交

00:01:49.660 --> 00:01:52.860
形成的內錯角

00:01:53.190 --> 00:01:54.260
所以我可以這麽寫

00:01:54.270 --> 00:02:03.080
當截線和平行線相交的時候

00:02:03.090 --> 00:02:06.410
所形成的內錯角是相等的

00:02:06.720 --> 00:02:09.630
我們也可以發現這兩個三角形

00:02:09.640 --> 00:02:16.120
三角形ADB和三角形CDB共享一條邊

00:02:16.130 --> 00:02:18.020
因此這條邊肯定是相等的

00:02:18.030 --> 00:02:20.030
這點爲什麽有用呢

00:02:20.040 --> 00:02:23.250
好吧也許你已經意識到了我們剛剛展示了這兩個

00:02:23.260 --> 00:02:26.780
三角形它們粉色的角和這條邊都是

00:02:26.790 --> 00:02:28.860
相等的還有綠色的角所以

00:02:28.870 --> 00:02:32.510
粉色的角這條邊還有綠色的角都是相等的

00:02:32.520 --> 00:02:35.830
因此我們剛剛通過角邊角定理證明了

00:02:35.840 --> 00:02:37.910
這兩個三角形是全等的

00:02:37.920 --> 00:02:39.450
讓我把它寫下來

00:02:39.460 --> 00:02:44.160
我們已經證明了三角形就是這個由無標記的點和粉色點

00:02:44.170 --> 00:02:50.030
還有綠色點圍成的三角形ADB和這個三角形全等

00:02:50.040 --> 00:03:00.240
就是這個由無標記點 粉點還有綠點圍成的三角形CBD

00:03:00.450 --> 00:03:03.160
同樣也是通過角邊角全等證明的

00:03:03.410 --> 00:03:09.340
所以這是角邊角全等定理

00:03:09.350 --> 00:03:10.940
好吧這對我們有什麽用呢

00:03:10.950 --> 00:03:14.790
如果兩個三角形全等那它們所有相應的

00:03:14.800 --> 00:03:17.960
角和邊都會相等

00:03:17.970 --> 00:03:24.280
比如DC邊對應的是BA邊

00:03:24.290 --> 00:03:27.940
底下這個三角形的DC邊對應

00:03:27.950 --> 00:03:28.950
頂上三角形的BA邊

00:03:28.960 --> 00:03:31.040
所以他們一定相等

00:03:31.050 --> 00:03:32.420
所以DC

00:03:32.430 --> 00:03:39.070
沒錯我們得到DC等於BA因爲

00:03:39.080 --> 00:03:46.990
他們是全等三角形的對應邊

00:03:47.000 --> 00:03:51.300
所以同理可得這個等於那個

00:03:51.310 --> 00:03:54.920
AD對應的是CB

00:03:58.440 --> 00:04:02.730
同理可得AD等於CB

00:04:02.740 --> 00:04:05.140
就因爲它們是對應邊

00:04:05.150 --> 00:04:06.270
現在我們已經完成了證明

00:04:06.590 --> 00:04:09.670
我們證明了平行四邊形的對邊相等

00:04:09.680 --> 00:04:11.340
現在讓我們換個思路

00:04:13.240 --> 00:04:16.410
比如說我們知道有一種四邊形

00:04:16.420 --> 00:04:18.890
它的對邊是相等的

00:04:18.900 --> 00:04:22.130
我們能不能夠證明它是一個平行四邊形呢

00:04:22.140 --> 00:04:24.530
好吧這個證明的方法和前面類似只是過程相反

00:04:24.540 --> 00:04:26.740
首先我們先在這畫一條對角線

00:04:26.750 --> 00:04:28.870
這麽做是因爲我們對三角形比較了解

00:04:28.880 --> 00:04:30.700
所以讓我們來畫

00:04:31.630 --> 00:04:33.120
讓我們開始吧

00:04:34.020 --> 00:04:35.650
這是最難的一個環節讓我們拭目以待

00:04:35.660 --> 00:04:37.830
畫的還不錯

00:04:37.840 --> 00:04:38.590
好的

00:04:38.600 --> 00:04:42.420
所以很明顯CB和它自己相等

00:04:42.430 --> 00:04:44.080
所以我要這樣畫

00:04:44.090 --> 00:04:46.860
這個很明顯因爲這是同一條線

00:04:46.870 --> 00:04:48.460
然後這裡有些有意思的事

00:04:48.470 --> 00:04:53.110
我們已經把這個四邊形分成了兩個三角形 即ABC

00:04:53.120 --> 00:04:56.410
和三角形DBC

00:04:56.420 --> 00:05:00.530
注意這兩個三角形的三組對應邊

00:05:00.540 --> 00:05:01.750
都是相等的

00:05:01.760 --> 00:05:04.890
所以通過邊邊邊定理我們可以知道它們是全等的

00:05:04.900 --> 00:05:11.790
我們知道三角形 我從A點開始

00:05:11.800 --> 00:05:21.650
到另一半 所以三角形ACB和三角形DBC全等

00:05:24.000 --> 00:05:30.550
這是通過邊邊邊定理來證明全等

00:05:30.560 --> 00:05:32.320
好吧這又對我們有什麽用呢

00:05:32.330 --> 00:05:34.720
這告訴了我們所有相對應的角的

00:05:34.730 --> 00:05:36.130
角度都是相等的

00:05:36.350 --> 00:05:42.150
所以比如說角ABC和

00:05:42.160 --> 00:05:49.240
讓我給它做個記號 角ABC和

00:05:49.250 --> 00:05:52.860
你可以看到和角DCB是相等的

00:05:54.490 --> 00:06:02.600
和角DCB相等

00:06:02.610 --> 00:06:06.790
因爲它們是全等三角形裏的對應角

00:06:06.800 --> 00:06:08.980
我在這因爲要節省時間所以寫的比較簡略

00:06:08.990 --> 00:06:12.280
因爲三角形ABC和三角形DCB全等

00:06:12.290 --> 00:06:15.180
所以這兩個角相等

00:06:15.190 --> 00:06:18.230
這非常有意思因爲在這有一條長長的線

00:06:18.240 --> 00:06:23.030
它和AB還有CD相交而且我們可以清楚地看見

00:06:23.040 --> 00:06:26.770
這些內錯角

00:06:26.780 --> 00:06:27.760
是相等的

00:06:27.770 --> 00:06:30.840
也正因爲我們有這些相等的內錯角

00:06:30.850 --> 00:06:33.950
我們可以知道AB和CD平行

00:06:33.960 --> 00:06:36.830
所以這條邊肯定和那條邊平行

00:06:36.840 --> 00:06:47.490
所以通過內錯角相等我們知道AB和CD平行

00:06:47.500 --> 00:06:51.530
內錯角是截線和平行線相交形成的

00:06:51.540 --> 00:06:53.870
現在根據同理

00:06:53.880 --> 00:06:57.010
我們也可以知道那個角

00:06:57.020 --> 00:07:04.590
角ACB和角DBC相等

00:07:09.390 --> 00:07:12.890
我們知道全等三角形的對應角的

00:07:14.040 --> 00:07:18.630
角度是相等的

00:07:18.640 --> 00:07:22.320
所以這個角等於那個角

00:07:22.330 --> 00:07:25.480
好吧它們可能是內錯角

00:07:25.490 --> 00:07:27.460
它們看起是因爲這有一條截線

00:07:27.470 --> 00:07:29.960
而這有兩條線但我們不確定它們是不是平行的

00:07:29.970 --> 00:07:33.110
但是因爲內錯角相等

00:07:33.120 --> 00:07:34.700
我們可以知道這兩條線實際上是平行的

00:07:34.710 --> 00:07:36.960
所以這條邊和那條邊平行

00:07:36.970 --> 00:07:44.510
所以因爲內錯角相等我們知道AC和BD平行

00:07:48.630 --> 00:07:49.550
這樣就證好了

00:07:49.560 --> 00:07:51.430
所以這題還是挺有趣的

00:07:51.440 --> 00:07:55.630
我們已經證明了平行四邊形的對邊

00:07:55.640 --> 00:07:57.440
長度是相等的

00:07:57.450 --> 00:08:00.130
然後如果對邊的長度是一樣的

00:08:00.140 --> 00:08:01.160
那這就是一個平行四邊形

00:08:01.170 --> 00:08:03.540
所以實際上我們從兩個方向證明了這一點

00:08:03.550 --> 00:08:04.730
所以我們作了一個被你們稱爲

00:08:04.740 --> 00:08:06.880
若且唯若的陳述句

00:08:06.890 --> 00:08:11.720
你可以說"如果四邊形的對邊平行"

00:08:11.730 --> 00:08:15.750
或者你可以說"四邊形的對邊平行

00:08:15.760 --> 00:08:18.780
若且唯若它們的長度相等"

00:08:18.790 --> 00:08:20.050
你可以說若且唯若

00:08:20.060 --> 00:08:23.100
所以如果它們平行你就可以說它們的長度相等

00:08:23.110 --> 00:08:26.680
同時只有當它們的長度相同時它們才會平行

00:08:26.690 --> 00:08:29.010
我們已經從兩個方向證明了這一點