在這個影片裏我們將要證明一些

比較簡單的關於平行四邊形的問題

第一條題目說

"如果我們有這麽一個平行四邊形ABCD

讓我們來證明平行四邊形的對邊長度相等"

所以我麽要證明AB等於DC以及AD等於BC

先讓我在這畫條對角線

我畫了條對角線

這條對角線取決於你怎麽看它 它和兩組

平行線相交所以你也可以稱它爲

一條截線

算了讓我重畫一條整潔一點的對角線

我能畫的比這個更好

好吧這條線並不比前一條畫的好

我只能畫成這樣了

所以我們可以把對角線DB

看成平行線AB和DC的截線

如果你這麽看你可以發現角ABD

等於

所以這裡這個角ABD

將會等於角BDC 因爲他們是內錯角

現在這裡有條截線還有平行線

因此我們知道角ABD等於

角BDC

現在你還可以把對角線DB

看成這兩條平行線的截線

就是另外這對平行線AD和BC

如果你這麽看你會立即發現那個角

就是角DBC等於

角ADB 理由和前面一樣它們是截線和平行線相交

形成的內錯角

所以我可以這麽寫

當截線和平行線相交的時候

所形成的內錯角是相等的

我們也可以發現這兩個三角形

三角形ADB和三角形CDB共享一條邊

因此這條邊肯定是相等的

這點爲什麽有用呢

好吧也許你已經意識到了我們剛剛展示了這兩個

三角形它們粉色的角和這條邊都是

相等的還有綠色的角所以

粉色的角這條邊還有綠色的角都是相等的

因此我們剛剛通過角邊角定理證明了

這兩個三角形是全等的

讓我把它寫下來

我們已經證明了三角形就是這個由無標記的點和粉色點

還有綠色點圍成的三角形ADB和這個三角形全等

就是這個由無標記點 粉點還有綠點圍成的三角形CBD

同樣也是通過角邊角全等證明的

所以這是角邊角全等定理

好吧這對我們有什麽用呢

如果兩個三角形全等那它們所有相應的

角和邊都會相等

比如DC邊對應的是BA邊

底下這個三角形的DC邊對應

頂上三角形的BA邊

所以他們一定相等

所以DC

沒錯我們得到DC等於BA因爲

他們是全等三角形的對應邊

所以同理可得這個等於那個

AD對應的是CB

同理可得AD等於CB

就因爲它們是對應邊

現在我們已經完成了證明

我們證明了平行四邊形的對邊相等

現在讓我們換個思路

比如說我們知道有一種四邊形

它的對邊是相等的

我們能不能夠證明它是一個平行四邊形呢

好吧這個證明的方法和前面類似只是過程相反

首先我們先在這畫一條對角線

這麽做是因爲我們對三角形比較了解

所以讓我們來畫

讓我們開始吧

這是最難的一個環節讓我們拭目以待

畫的還不錯

好的

所以很明顯CB和它自己相等

所以我要這樣畫

這個很明顯因爲這是同一條線

然後這裡有些有意思的事

我們已經把這個四邊形分成了兩個三角形 即ABC

和三角形DBC

注意這兩個三角形的三組對應邊

都是相等的

所以通過邊邊邊定理我們可以知道它們是全等的

我們知道三角形 我從A點開始

到另一半 所以三角形ACB和三角形DBC全等

這是通過邊邊邊定理來證明全等

好吧這又對我們有什麽用呢

這告訴了我們所有相對應的角的

角度都是相等的

所以比如說角ABC和

讓我給它做個記號 角ABC和

你可以看到和角DCB是相等的

和角DCB相等

因爲它們是全等三角形裏的對應角

我在這因爲要節省時間所以寫的比較簡略

因爲三角形ABC和三角形DCB全等

所以這兩個角相等

這非常有意思因爲在這有一條長長的線

它和AB還有CD相交而且我們可以清楚地看見

這些內錯角

是相等的

也正因爲我們有這些相等的內錯角

我們可以知道AB和CD平行

所以這條邊肯定和那條邊平行

所以通過內錯角相等我們知道AB和CD平行

內錯角是截線和平行線相交形成的

現在根據同理

我們也可以知道那個角

角ACB和角DBC相等

我們知道全等三角形的對應角的

角度是相等的

所以這個角等於那個角

好吧它們可能是內錯角

它們看起是因爲這有一條截線

而這有兩條線但我們不確定它們是不是平行的

但是因爲內錯角相等

我們可以知道這兩條線實際上是平行的

所以這條邊和那條邊平行

所以因爲內錯角相等我們知道AC和BD平行

這樣就證好了

所以這題還是挺有趣的

我們已經證明了平行四邊形的對邊

長度是相等的

然後如果對邊的長度是一樣的

那這就是一個平行四邊形

所以實際上我們從兩個方向證明了這一點

所以我們作了一個被你們稱爲

若且唯若的陳述句

你可以說"如果四邊形的對邊平行"

或者你可以說"四邊形的對邊平行

若且唯若它們的長度相等"

你可以說若且唯若

所以如果它們平行你就可以說它們的長度相等

同時只有當它們的長度相同時它們才會平行

我們已經從兩個方向證明了這一點