Proof - Opposite Sides of Parallelogram Congruent
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0:01 - 0:04在这个视频里我们将要证明一些
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0:04 - 0:07比较简单的关于平行四边形的问题
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0:07 - 0:09第一条题目说
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0:09 - 0:11"如果我们有这么一个平行四边形ABCD
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0:11 - 0:14让我们来证明平行四边形的对边长度相等"
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0:14 - 0:20所以我么要证明AB等于DC以及AD等于BC
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0:20 - 0:22先让我在这画条对角线
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0:22 - 0:24我画了条对角线
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0:25 - 0:28这条对角线取决于你怎么看它 它和两组
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0:28 - 0:31平行线相交所以你也可以称它为
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0:31 - 0:32一条截线
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0:32 - 0:34算了让我重画一条整洁一点的对角线
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0:34 - 0:35我能画的比这个更好
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0:36 - 0:38好吧这条线并不比前一条画的好
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0:38 - 0:41我只能画成这样了
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0:41 - 0:45所以我们可以把对角线DB
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0:45 - 0:49看成平行线AB和DC的截线
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0:49 - 0:54如果你这么看你可以发现角ABD
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0:54 - 0:56等于
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0:56 - 0:58所以这里这个角ABD
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0:58 - 1:03将会等于角BDC 因为他们是内错角
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1:03 - 1:05现在这里有条截线还有平行线
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1:05 - 1:11因此我们知道角ABD等于
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1:11 - 1:14角BDC
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1:16 - 1:20现在你还可以把对角线DB
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1:20 - 1:22看成这两条平行线的截线
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1:22 - 1:27就是另外这对平行线AD和BC
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1:27 - 1:31如果你这么看你会立即发现那个角
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1:31 - 1:41就是角DBC等于
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1:41 - 1:50角ADB 理由和前面一样它们是截线和平行线相交
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1:50 - 1:53形成的内错角
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1:53 - 1:54所以我可以这么写
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1:54 - 2:03当截线和平行线相交的时候
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2:03 - 2:06所形成的内错角是相等的
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2:07 - 2:10我们也可以发现这两个三角形
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2:10 - 2:16三角形ADB和三角形CDB共享一条边
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2:16 - 2:18因此这条边肯定是相等的
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2:18 - 2:20这点为什么有用呢
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2:20 - 2:23好吧也许你已经意识到了我们刚刚展示了这两个
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2:23 - 2:27三角形它们粉色的角和这条边都是
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2:27 - 2:29相等的还有绿色的角所以
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2:29 - 2:33粉色的角这条边还有绿色的角都是相等的
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2:33 - 2:36因此我们刚刚通过角边角定理证明了
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2:36 - 2:38这两个三角形是全等的
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2:38 - 2:39让我把它写下来
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2:39 - 2:44我们已经证明了三角形就是这个由无标记的点和粉色点
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2:44 - 2:50还有绿色点围成的三角形ADB和这个三角形全等
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2:50 - 3:00就是这个由无标记点 粉点还有绿点围成的三角形CBD
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3:00 - 3:03同样也是通过角边角全等证明的
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3:03 - 3:09所以这是角边角全等定理
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3:09 - 3:11好吧这对我们有什么用呢
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3:11 - 3:15如果两个三角形全等那它们所有相应的
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3:15 - 3:18角和边都会相等
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3:18 - 3:24比如DC边对应的是BA边
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3:24 - 3:28底下这个三角形的DC边对应
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3:28 - 3:29顶上三角形的BA边
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3:29 - 3:31所以他们一定相等
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3:31 - 3:32所以DC
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3:32 - 3:39没错我们得到DC等于BA因为
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3:39 - 3:47他们是全等三角形的对应边
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3:47 - 3:51所以同理可得这个等于那个
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3:51 - 3:55AD对应的是CB
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3:58 - 4:03同理可得AD等于CB
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4:03 - 4:05就因为它们是对应边
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4:05 - 4:06现在我们已经完成了证明
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4:07 - 4:10我们证明了平行四边形的对边相等
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4:10 - 4:11现在让我们换个思路
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4:13 - 4:16比如说我们知道有一种四边形
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4:16 - 4:19它的对边是相等的
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4:19 - 4:22我们能不能够证明它是一个平行四边形呢
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4:22 - 4:25好吧这个证明的方法和前面类似只是过程相反
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4:25 - 4:27首先我们先在这画一条对角线
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4:27 - 4:29这么做是因为我们对三角形比较了解
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4:29 - 4:31所以让我们来画
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4:32 - 4:33让我们开始吧
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4:34 - 4:36这是最难的一个环节让我们拭目以待
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4:36 - 4:38画的还不错
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4:38 - 4:39好的
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4:39 - 4:42所以很明显CB和它自己相等
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4:42 - 4:44所以我要这样画
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4:44 - 4:47这个很明显因为这是同一条线
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4:47 - 4:48然后这里有些有意思的事
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4:48 - 4:53我们已经把这个四边形分成了两个三角形 即ABC
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4:53 - 4:56和三角形DBC
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4:56 - 5:01注意这两个三角形的三组对应边
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5:01 - 5:02都是相等的
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5:02 - 5:05所以通过边边边定理我们可以知道它们是全等的
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5:05 - 5:12我们知道三角形 我从A点开始
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5:12 - 5:22到另一半 所以三角形ACB和三角形DBC全等
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5:24 - 5:31这是通过边边边定理来证明全等
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5:31 - 5:32好吧这又对我们有什么用呢
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5:32 - 5:35这告诉了我们所有相对应的角的
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5:35 - 5:36角度都是相等的
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5:36 - 5:42所以比如说角ABC和
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5:42 - 5:49让我给它做个记号 角ABC和
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5:49 - 5:53你可以看到和角DCB是相等的
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5:54 - 6:03和角DCB相等
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6:03 - 6:07因为它们是全等三角形里的对应角
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6:07 - 6:09我在这因为要节省时间所以写的比较简略
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6:09 - 6:12因为三角形ABC和三角形DCB全等
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6:12 - 6:15所以这两个角相等
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6:15 - 6:18这非常有意思因为在这有一条长长的线
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6:18 - 6:23它和AB还有CD相交而且我们可以清楚地看见
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6:23 - 6:27这些内错角
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6:27 - 6:28是相等的
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6:28 - 6:31也正因为我们有这些相等的内错角
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6:31 - 6:34我们可以知道AB和CD平行
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6:34 - 6:37所以这条边肯定和那条边平行
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6:37 - 6:47所以通过内错角相等我们知道AB和CD平行
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6:48 - 6:52内错角是截线和平行线相交形成的
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6:52 - 6:54现在根据同理
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6:54 - 6:57我们也可以知道那个角
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6:57 - 7:05角ACB和角DBC相等
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7:09 - 7:13我们知道全等三角形的对应角的
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7:14 - 7:19角度是相等的
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7:19 - 7:22所以这个角等于那个角
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7:22 - 7:25好吧它们可能是内错角
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7:25 - 7:27它们看起是因为这有一条截线
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7:27 - 7:30而这有两条线但我们不确定它们是不是平行的
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7:30 - 7:33但是因为内错角相等
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7:33 - 7:35我们可以知道这两条线实际上是平行的
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7:35 - 7:37所以这条边和那条边平行
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7:37 - 7:45所以因为内错角相等我们知道AC和BD平行
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7:49 - 7:50这样就证好了
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7:50 - 7:51所以这题还是挺有趣的
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7:51 - 7:56我们已经证明了平行四边形的对边
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7:56 - 7:57长度是相等的
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7:57 - 8:00然后如果对边的长度是一样的
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8:00 - 8:01那这就是一个平行四边形
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8:01 - 8:04所以实际上我们从两个方向证明了这一点
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8:04 - 8:05所以我们作了一个被你们称为
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8:05 - 8:07当且仅当的陈述句
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8:07 - 8:12你可以说"如果四边形的对边平行"
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8:12 - 8:16或者你可以说"四边形的对边平行
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8:16 - 8:19当且仅当它们的长度相等"
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8:19 - 8:20你可以说当且仅当
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8:20 - 8:23所以如果它们平行你就可以说它们的长度相等
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8:23 - 8:27同时只有当它们的长度相同时它们才会平行
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8:27 - 8:29我们已经从两个方向证明了这一点
- Title:
- Proof - Opposite Sides of Parallelogram Congruent
- Description:
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- Video Language:
- English
- Team:
Khan Academy
- Duration:
- 08:30
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Jenny_Zhang edited Chinese, Simplified subtitles for Proof - Opposite Sides of Parallelogram Congruent |