在这个视频里我们将要证明一些

比较简单的关于平行四边形的问题

第一条题目说

"如果我们有这么一个平行四边形ABCD

让我们来证明平行四边形的对边长度相等"

所以我么要证明AB等于DC以及AD等于BC

先让我在这画条对角线

我画了条对角线

这条对角线取决于你怎么看它 它和两组

平行线相交所以你也可以称它为

一条截线

算了让我重画一条整洁一点的对角线

我能画的比这个更好

好吧这条线并不比前一条画的好

我只能画成这样了

所以我们可以把对角线DB

看成平行线AB和DC的截线

如果你这么看你可以发现角ABD

等于

所以这里这个角ABD

将会等于角BDC 因为他们是内错角

现在这里有条截线还有平行线

因此我们知道角ABD等于

角BDC

现在你还可以把对角线DB

看成这两条平行线的截线

就是另外这对平行线AD和BC

如果你这么看你会立即发现那个角

就是角DBC等于

角ADB 理由和前面一样它们是截线和平行线相交

形成的内错角

所以我可以这么写

当截线和平行线相交的时候

所形成的内错角是相等的

我们也可以发现这两个三角形

三角形ADB和三角形CDB共享一条边

因此这条边肯定是相等的

这点为什么有用呢

好吧也许你已经意识到了我们刚刚展示了这两个

三角形它们粉色的角和这条边都是

相等的还有绿色的角所以

粉色的角这条边还有绿色的角都是相等的

因此我们刚刚通过角边角定理证明了

这两个三角形是全等的

让我把它写下来

我们已经证明了三角形就是这个由无标记的点和粉色点

还有绿色点围成的三角形ADB和这个三角形全等

就是这个由无标记点 粉点还有绿点围成的三角形CBD

同样也是通过角边角全等证明的

所以这是角边角全等定理

好吧这对我们有什么用呢

如果两个三角形全等那它们所有相应的

角和边都会相等

比如DC边对应的是BA边

底下这个三角形的DC边对应

顶上三角形的BA边

所以他们一定相等

所以DC

没错我们得到DC等于BA因为

他们是全等三角形的对应边

所以同理可得这个等于那个

AD对应的是CB

同理可得AD等于CB

就因为它们是对应边

现在我们已经完成了证明

我们证明了平行四边形的对边相等

现在让我们换个思路

比如说我们知道有一种四边形

它的对边是相等的

我们能不能够证明它是一个平行四边形呢

好吧这个证明的方法和前面类似只是过程相反

首先我们先在这画一条对角线

这么做是因为我们对三角形比较了解

所以让我们来画

让我们开始吧

这是最难的一个环节让我们拭目以待

画的还不错

好的

所以很明显CB和它自己相等

所以我要这样画

这个很明显因为这是同一条线

然后这里有些有意思的事

我们已经把这个四边形分成了两个三角形 即ABC

和三角形DBC

注意这两个三角形的三组对应边

都是相等的

所以通过边边边定理我们可以知道它们是全等的

我们知道三角形 我从A点开始

到另一半 所以三角形ACB和三角形DBC全等

这是通过边边边定理来证明全等

好吧这又对我们有什么用呢

这告诉了我们所有相对应的角的

角度都是相等的

所以比如说角ABC和

让我给它做个记号 角ABC和

你可以看到和角DCB是相等的

和角DCB相等

因为它们是全等三角形里的对应角

我在这因为要节省时间所以写的比较简略

因为三角形ABC和三角形DCB全等

所以这两个角相等

这非常有意思因为在这有一条长长的线

它和AB还有CD相交而且我们可以清楚地看见

这些内错角

是相等的

也正因为我们有这些相等的内错角

我们可以知道AB和CD平行

所以这条边肯定和那条边平行

所以通过内错角相等我们知道AB和CD平行

内错角是截线和平行线相交形成的

现在根据同理

我们也可以知道那个角

角ACB和角DBC相等

我们知道全等三角形的对应角的

角度是相等的

所以这个角等于那个角

好吧它们可能是内错角

它们看起是因为这有一条截线

而这有两条线但我们不确定它们是不是平行的

但是因为内错角相等

我们可以知道这两条线实际上是平行的

所以这条边和那条边平行

所以因为内错角相等我们知道AC和BD平行

这样就证好了

所以这题还是挺有趣的

我们已经证明了平行四边形的对边

长度是相等的

然后如果对边的长度是一样的

那这就是一个平行四边形

所以实际上我们从两个方向证明了这一点

所以我们作了一个被你们称为

当且仅当的陈述句

你可以说"如果四边形的对边平行"

或者你可以说"四边形的对边平行

当且仅当它们的长度相等"

你可以说当且仅当

所以如果它们平行你就可以说它们的长度相等

同时只有当它们的长度相同时它们才会平行

我们已经从两个方向证明了这一点