WEBVTT

00:00:00.610 --> 00:00:04.350
在这个视频里我们将要证明一些

00:00:04.360 --> 00:00:07.440
比较简单的关于平行四边形的问题

00:00:07.450 --> 00:00:08.750
第一条题目说

00:00:08.760 --> 00:00:10.870
"如果我们有这么一个平行四边形ABCD

00:00:10.880 --> 00:00:13.970
让我们来证明平行四边形的对边长度相等"

00:00:13.980 --> 00:00:19.570
所以我么要证明AB等于DC以及AD等于BC

00:00:19.580 --> 00:00:21.760
先让我在这画条对角线

00:00:21.770 --> 00:00:24.160
我画了条对角线

00:00:24.590 --> 00:00:27.580
这条对角线取决于你怎么看它 它和两组

00:00:27.590 --> 00:00:31.010
平行线相交所以你也可以称它为

00:00:31.020 --> 00:00:32.340
一条截线

00:00:32.350 --> 00:00:34.170
算了让我重画一条整洁一点的对角线

00:00:34.180 --> 00:00:35.390
我能画的比这个更好

00:00:35.760 --> 00:00:37.960
好吧这条线并不比前一条画的好

00:00:38.450 --> 00:00:40.840
我只能画成这样了

00:00:41.120 --> 00:00:44.970
所以我们可以把对角线DB

00:00:44.980 --> 00:00:48.880
看成平行线AB和DC的截线

00:00:48.890 --> 00:00:54.340
如果你这么看你可以发现角ABD

00:00:54.350 --> 00:00:55.600
等于

00:00:55.610 --> 00:00:58.430
所以这里这个角ABD

00:00:58.440 --> 00:01:03.400
将会等于角BDC 因为他们是内错角

00:01:03.410 --> 00:01:05.320
现在这里有条截线还有平行线

00:01:05.330 --> 00:01:10.640
因此我们知道角ABD等于

00:01:10.650 --> 00:01:13.620
角BDC

00:01:15.950 --> 00:01:19.730
现在你还可以把对角线DB

00:01:19.740 --> 00:01:22.430
看成这两条平行线的截线

00:01:22.440 --> 00:01:27.360
就是另外这对平行线AD和BC

00:01:27.370 --> 00:01:31.260
如果你这么看你会立即发现那个角

00:01:31.270 --> 00:01:40.520
就是角DBC等于

00:01:40.530 --> 00:01:49.650
角ADB 理由和前面一样它们是截线和平行线相交

00:01:49.660 --> 00:01:52.860
形成的内错角

00:01:53.190 --> 00:01:54.260
所以我可以这么写

00:01:54.270 --> 00:02:03.080
当截线和平行线相交的时候

00:02:03.090 --> 00:02:06.410
所形成的内错角是相等的

00:02:06.720 --> 00:02:09.630
我们也可以发现这两个三角形

00:02:09.640 --> 00:02:16.120
三角形ADB和三角形CDB共享一条边

00:02:16.130 --> 00:02:18.020
因此这条边肯定是相等的

00:02:18.030 --> 00:02:20.030
这点为什么有用呢

00:02:20.040 --> 00:02:23.250
好吧也许你已经意识到了我们刚刚展示了这两个

00:02:23.260 --> 00:02:26.780
三角形它们粉色的角和这条边都是

00:02:26.790 --> 00:02:28.860
相等的还有绿色的角所以

00:02:28.870 --> 00:02:32.510
粉色的角这条边还有绿色的角都是相等的

00:02:32.520 --> 00:02:35.830
因此我们刚刚通过角边角定理证明了

00:02:35.840 --> 00:02:37.910
这两个三角形是全等的

00:02:37.920 --> 00:02:39.450
让我把它写下来

00:02:39.460 --> 00:02:44.160
我们已经证明了三角形就是这个由无标记的点和粉色点

00:02:44.170 --> 00:02:50.030
还有绿色点围成的三角形ADB和这个三角形全等

00:02:50.040 --> 00:03:00.240
就是这个由无标记点 粉点还有绿点围成的三角形CBD

00:03:00.450 --> 00:03:03.160
同样也是通过角边角全等证明的

00:03:03.410 --> 00:03:09.340
所以这是角边角全等定理

00:03:09.350 --> 00:03:10.940
好吧这对我们有什么用呢

00:03:10.950 --> 00:03:14.790
如果两个三角形全等那它们所有相应的

00:03:14.800 --> 00:03:17.960
角和边都会相等

00:03:17.970 --> 00:03:24.280
比如DC边对应的是BA边

00:03:24.290 --> 00:03:27.940
底下这个三角形的DC边对应

00:03:27.950 --> 00:03:28.950
顶上三角形的BA边

00:03:28.960 --> 00:03:31.040
所以他们一定相等

00:03:31.050 --> 00:03:32.420
所以DC

00:03:32.430 --> 00:03:39.070
没错我们得到DC等于BA因为

00:03:39.080 --> 00:03:46.990
他们是全等三角形的对应边

00:03:47.000 --> 00:03:51.300
所以同理可得这个等于那个

00:03:51.310 --> 00:03:54.920
AD对应的是CB

00:03:58.440 --> 00:04:02.730
同理可得AD等于CB

00:04:02.740 --> 00:04:05.140
就因为它们是对应边

00:04:05.150 --> 00:04:06.270
现在我们已经完成了证明

00:04:06.590 --> 00:04:09.670
我们证明了平行四边形的对边相等

00:04:09.680 --> 00:04:11.340
现在让我们换个思路

00:04:13.240 --> 00:04:16.410
比如说我们知道有一种四边形

00:04:16.420 --> 00:04:18.890
它的对边是相等的

00:04:18.900 --> 00:04:22.130
我们能不能够证明它是一个平行四边形呢

00:04:22.140 --> 00:04:24.530
好吧这个证明的方法和前面类似只是过程相反

00:04:24.540 --> 00:04:26.740
首先我们先在这画一条对角线

00:04:26.750 --> 00:04:28.870
这么做是因为我们对三角形比较了解

00:04:28.880 --> 00:04:30.700
所以让我们来画

00:04:31.630 --> 00:04:33.120
让我们开始吧

00:04:34.020 --> 00:04:35.650
这是最难的一个环节让我们拭目以待

00:04:35.660 --> 00:04:37.830
画的还不错

00:04:37.840 --> 00:04:38.590
好的

00:04:38.600 --> 00:04:42.420
所以很明显CB和它自己相等

00:04:42.430 --> 00:04:44.080
所以我要这样画

00:04:44.090 --> 00:04:46.860
这个很明显因为这是同一条线

00:04:46.870 --> 00:04:48.460
然后这里有些有意思的事

00:04:48.470 --> 00:04:53.110
我们已经把这个四边形分成了两个三角形 即ABC

00:04:53.120 --> 00:04:56.410
和三角形DBC

00:04:56.420 --> 00:05:00.530
注意这两个三角形的三组对应边

00:05:00.540 --> 00:05:01.750
都是相等的

00:05:01.760 --> 00:05:04.890
所以通过边边边定理我们可以知道它们是全等的

00:05:04.900 --> 00:05:11.790
我们知道三角形 我从A点开始

00:05:11.800 --> 00:05:21.650
到另一半 所以三角形ACB和三角形DBC全等

00:05:24.000 --> 00:05:30.550
这是通过边边边定理来证明全等

00:05:30.560 --> 00:05:32.320
好吧这又对我们有什么用呢

00:05:32.330 --> 00:05:34.720
这告诉了我们所有相对应的角的

00:05:34.730 --> 00:05:36.130
角度都是相等的

00:05:36.350 --> 00:05:42.150
所以比如说角ABC和

00:05:42.160 --> 00:05:49.240
让我给它做个记号 角ABC和

00:05:49.250 --> 00:05:52.860
你可以看到和角DCB是相等的

00:05:54.490 --> 00:06:02.600
和角DCB相等

00:06:02.610 --> 00:06:06.790
因为它们是全等三角形里的对应角

00:06:06.800 --> 00:06:08.980
我在这因为要节省时间所以写的比较简略

00:06:08.990 --> 00:06:12.280
因为三角形ABC和三角形DCB全等

00:06:12.290 --> 00:06:15.180
所以这两个角相等

00:06:15.190 --> 00:06:18.230
这非常有意思因为在这有一条长长的线

00:06:18.240 --> 00:06:23.030
它和AB还有CD相交而且我们可以清楚地看见

00:06:23.040 --> 00:06:26.770
这些内错角

00:06:26.780 --> 00:06:27.760
是相等的

00:06:27.770 --> 00:06:30.840
也正因为我们有这些相等的内错角

00:06:30.850 --> 00:06:33.950
我们可以知道AB和CD平行

00:06:33.960 --> 00:06:36.830
所以这条边肯定和那条边平行

00:06:36.840 --> 00:06:47.490
所以通过内错角相等我们知道AB和CD平行

00:06:47.500 --> 00:06:51.530
内错角是截线和平行线相交形成的

00:06:51.540 --> 00:06:53.870
现在根据同理

00:06:53.880 --> 00:06:57.010
我们也可以知道那个角

00:06:57.020 --> 00:07:04.590
角ACB和角DBC相等

00:07:09.390 --> 00:07:12.890
我们知道全等三角形的对应角的

00:07:14.040 --> 00:07:18.630
角度是相等的

00:07:18.640 --> 00:07:22.320
所以这个角等于那个角

00:07:22.330 --> 00:07:25.480
好吧它们可能是内错角

00:07:25.490 --> 00:07:27.460
它们看起是因为这有一条截线

00:07:27.470 --> 00:07:29.960
而这有两条线但我们不确定它们是不是平行的

00:07:29.970 --> 00:07:33.110
但是因为内错角相等

00:07:33.120 --> 00:07:34.700
我们可以知道这两条线实际上是平行的

00:07:34.710 --> 00:07:36.960
所以这条边和那条边平行

00:07:36.970 --> 00:07:44.510
所以因为内错角相等我们知道AC和BD平行

00:07:48.630 --> 00:07:49.550
这样就证好了

00:07:49.560 --> 00:07:51.430
所以这题还是挺有趣的

00:07:51.440 --> 00:07:55.630
我们已经证明了平行四边形的对边

00:07:55.640 --> 00:07:57.440
长度是相等的

00:07:57.450 --> 00:08:00.130
然后如果对边的长度是一样的

00:08:00.140 --> 00:08:01.160
那这就是一个平行四边形

00:08:01.170 --> 00:08:03.540
所以实际上我们从两个方向证明了这一点

00:08:03.550 --> 00:08:04.730
所以我们作了一个被你们称为

00:08:04.740 --> 00:08:06.880
当且仅当的陈述句

00:08:06.890 --> 00:08:11.720
你可以说"如果四边形的对边平行"

00:08:11.730 --> 00:08:15.750
或者你可以说"四边形的对边平行

00:08:15.760 --> 00:08:18.780
当且仅当它们的长度相等"

00:08:18.790 --> 00:08:20.050
你可以说当且仅当

00:08:20.060 --> 00:08:23.100
所以如果它们平行你就可以说它们的长度相等

00:08:23.110 --> 00:08:26.680
同时只有当它们的长度相同时它们才会平行

00:08:26.690 --> 00:08:29.010
我们已经从两个方向证明了这一点