Descartes and Cartesian Coordinates

Ово овде је слика Ренеа Декарта.

Још једном један од великих умова,

у математици и филозофији.

И мислим да ћете видети део мале тенденције овде

да су велики филозофи били такође велики математичари

и обрнуто

и он је био донекле савременик Галилеа

био је 32 године млађи.

иако је умро убрзо након Галилејеве смрти.

Овај момак је умро у много млађем добу.

Галилео је био добро у његовим 70 им

Декарт је умро већ са, само 54 године.

И он је вероватно најпознатији у популарној култури,

због овог цитата.

Веома филозофски цитат.

"Мислим, дакле постојим"

али сам такође желео да га убацим,

и ово није толико повезано са алгебром,

али сам помислио да је заиста користан цитат.

Вероватно његов најмање познат цитат.

Управо овај овде.

И свиђа ми се само зато што је врло практичан

и чини да схватите да су ови велики умови

ови стубови филозофије и математике

на крају дана,

били само људска бића.

и рекао је, " Само настави да гураш.

Само настави да гураш,

Направио сам сваку грешку која је могла бити направљена.

Али сам стално гурао. "

Што мислим да је врло врло добар животни савет.

Сада, учинио је многе ствари

у филозофији и математици

али разлог зашто га спомињем овде

док градимо темеље алгебре

јесте што је он појединац

најзаслуженији за много јаку везу

између алгебре и геометрије.

Дакле, овде лево

имате свет алгебре.

Мало смо о томе разговарали.

Имате једначине које се баве симболима

и ови симболи су у суштини,

могу узимати вредност

тако да можете имати нешто као

y = 2 x - 1

то нам даје везу

између вредности х

и вредности у.

можемо чак поставити и табелу овде.

и одабрати вредност за х.

и видети колика ће вредност у бити.

Могу узети насумице вредност за х

а онда израчунати колико износи у.

али ћу изабрати релативно једноставне вредности

тако да математика не постане сувише комликована.

тако на пример,

ако је х једнако - 2

онда ће у бити 2 пута - 2 минус 1

2 пута - 2 минус 1

што је - 4 - 1

што је - 5

ако х је - 1

онда ће у бити 2 пута - 1 минус 1

што је једнако са

- 2 - 1 па је -3

ако је х = 0

онда ће у бити 2 пута 0 - 1

2 пута 0 је 0 - 1 даје -1

Урадићу још неколико.

ако је х једнако 1

и могао сам узети било које вредности овде

и могао бих рећи ста се дешава

ако је х негативни квадратни корен од 2

или шта се дешава ако х је - 5 половина

или шест седмина.

али сам ја баш узео ове бројеве

зато што то чини математику много лакшом.

кад сам покушао да израчунам колико ће у износити.

али кад х је 1

у ће бити 2(1) - 1

2 пута 1 је 2 - 1 даје 1

и урадићу још један.

урадићу још једна у боји коју још нисам користио.

Да видимо љубичасту.

ако х је 2

онда ће у бити

2(2) - 1 ( сада х је 2)

па је 4 - 1, једнако 3

Дакле поштено,

Ја сам пробао ову везу.

Али сам рекао да је у реду да ово описује општи однос

између променљиве у и променљиве х

и онда сам направио мало конкретније.

Рекао сам у реду онда

ако је х једна од тих променљивих.

за сваки од тих променљивих х,

која би била одговарајућа вредност за у?

И оно што је Декарт схватио је

да бисте могли визуализовати ово.

Шта можете визуализовати је индивидуална ствар.

Али вам то може уопштено помоћи

за визуализацију ове везе.

дакле оно што је у суштини урадио је

да је спојио светове ове некако врло абстрактне симболичке алгебре.

са геометријом која се бавила

са облицима и величинама и угловима,

тако да овде имате свет геометрије.

и очигледно су људи кроз историју

можда многи људи које је историја можда заборавила

који су се бавили површно овим.

Али пре него што је Декарт генерално посматрао.

ова геометрија је била Еуклидеан геометрија.

и то је бит геометрије

који сте студирали на часу геометрије

у 8-ом или 9-ом или 10-ом разреду.

у традиционалном средњошколском наставном програму.

и то је студирање геометрије

везе између троуглова, и њихових углова.

и везе између кругова.

и имате радијане и онда имате троуглове

уписаним у круговима и свему осталом

и ићемо у неку дубину

у тој геометријској плеј листи.

Али Декарт каже, ' па мислим да могу ово визуелно представити

на исти начин на који је Еуклид студирао ове троуглове и ове кругове '

рекао је ' зашто не !? '

ако погледамо парче папира.

ако мислимо о дводимензионалној равни.

можете видети парче папира

као врсту одељка дводимензионалне равни.

ми то зовемо две димензије

јер постоје два правца у која можете ићи.

то је горе доле правац,

то је један правац.

дозволите ми да нацртам ово, урадићу то плавим.

јер покушавамо визуелизацију ствари

дакле урадићу то геометријском бојом.

дакле имате правац горе доле

и имате правац лево десно.

зато га зовемо дво-димензионална раван.

ако користимо три димензије.

имате спољну димензију.

и веома је лако радити са две димензије на екрану

јер је екран дво-димензиоалан.

и рече ' Па, знате

ту су две променљиве и имају добар однос.

Али зашто не повезујем сваки од ових варијабли

са једном од ових димензија овамо? '

и по обичају направимо у променљиву

која је заиста зависна променљива,

Начин на који смо то урадили,

зависи од тога колико износи х.

Дакле ставимо то на вертикалну осу.

и ставимо наше независне варијабле,

оне којима сам насумице одабрао вредности

да видимо колики ће у бити,,

ставимо ово на хоризонталну осу.

и то је заправо Декарт

који је дошао дo погодности коришћења х и у

и видећемо касније z у алгебри, тако интензивно

као непознате променњиве са променњивама са којима манипулишете.

Али он каже ' Ако мислимо о томе на тај начин

ако означимо ове димензије '

дакле урадимо то на х оси

хајде да ставимо овде - 3

овде ставимо - 2

овде -1

овде 0

означио сам х осу

леву страну осе.

сада 1

овде 2

и овде 3

и можемо исто урадити на у оси

па хајде да кренемо, могло би бити

кажемо овде - 5, - 4, - 3

у ствари допустите да урадим мало једноставније од овога

допустите да ово мало средим.

дајте да обришем ово и продужим доле мало

да могу ићи скроз доле до - 5

а да не изгледа превише неуредно.

дакле идемо до краја доле.

па можемо означити

овде 1, овде 2, овде 3,

а овде може - 1

-2 и ово су све уобичајени начини

могло је бити означено на други начин.

могли смо ставити х овде

а у овде

да ово буде позитиван смер

овај негативан

али ово је уобичајен начин и људи су га усвојили

почевши од Декарта.

- 2, - 3, - 4 и - 5

и каже ' Све могу повезати

Могу повезати сваки од ових парова вредности са

са тачком у две димензије.

Могу узети х координату, могу узети вредност са х осе

овде и рећи 'Ок то је - 2

то би било овде дуж леве стране осе,

идем лево јер је тамо негативно.'

и оно је повезано са - 5 на вертикалној оси.

дакле могу рећи да је вредност на у - 5

и ако идем 2 лево и 5 доле

долазим до ове тачке овде.

па каже ' Ове две вредности - 2 и - 5

могу повезати са овом тачком

на овој равни овде, на овој дво-димензијалној равни.

па ћу казати: Ова тачка има координате,

кажите где је тачка ( - 2, - 5 ).

ове координате се зову ' Декартове координате '

назване по Ренеу Декарт

јер он је човек који је досао до њих.

Он је удрузио све одједном те везе

са тачкама у координатном систему.

и онда каже ' па добро, урадимо још једну '

ово је сад друга веза,

кад је х једнак - 1, у = - 3

дакле х је - 1, у је - 3

то је ова тачка.

и опет имамо скуп.

Када тражите координате,

узимате х координату, па онда у координату

и то је оно за ста се људи одлучују да раде.

- 1, - 3 би била тачка ова овде

и онда имамо тачку када х је 0, а у је - 1

када је х овде 0,

што значи да не идемо ни лево ни десно.

у је - 1, што значи да идем 1 доле.

дакле то је тачка ова овде. ( 0, - 1 )

баш овде

могу наставити са овим.

када х је 1, у је 1

када х је 2, у је 3

у ствари допустите да радим ово у истој љубичастој боји

када х је 2, у је 3

2 , 3 а онда овај овде наранџасти је 1, 1

и ово је јасно,

У суштини сам испробао могућности х

али оно што је схватио је

не само да је пробао ове могућности х,

али је стално пробавао х осу,

ако би пробавали међу вредности х осе,

у ствари би завршили цртањем линије.

Дакле ако сте урадили све могућности х

на крају би добили линију

која изгледа нешто као... нешто као ова овде.

и сваки... сваки однос, ако изаберете вредност за х

и вредност за у заиста представља тачку на овој линији,

или ако размишљамо на други начин

било која тачка на овој линији представља

решење за ову једначину овде.

дакле ако узмете ову тачку овде.

која изгледа да х је 1 ипо.

у је 2. Дакле допустите да написем ово

1.5 , 2

ово је решење ове једначине.

када х је 1.5. 2 * 1.5 је 3 - 1 то је 2

то је ово овде.

дакле све неочекивања је био у стању да премости

ту празнину или везу између алгебре и геометрије.

сада можемо представити све х и у парове

то задовољава ову једначину овде.

па је одговоран за успостављање овог моста

и зато координате

које користимо да означимо ове тачке називамо ' Декартове координате '

и као што ћемо видети и први тип једначина

Проучићемо наше једначине у овој овде форми

и у традиционалном наставном плану алгебре.

зову се линеарне једначине...

линеарне једначине.

и можда ћете говорити: па знате, ово је једначина,

видећу да је ово једнако само по себи.

али шта је толико линеарно код њих?

шта чини да изгледа као линија?

да би схватили зашто су линеарна,

морате учинити скок који је Рене Декарт направио.

јер ако си нацртао ово,

користећи декартове координате.

на Еуцлидеан авиону. Добићете линију.

и убудуће ћете је видети

постоје други типови једначина где нећете добити линију.

добићете кривине, или или нешто лудо или функи или необично.