1
00:00:01,062 --> 00:00:03,636
Ово овде је слика Ренеа Декарта.

2
00:00:03,636 --> 00:00:05,698
Још једном један од великих умова,

3
00:00:05,698 --> 00:00:07,554
у математици и филозофији.

4
00:00:07,554 --> 00:00:09,923
И мислим да ћете видети део мале тенденције овде

5
00:00:09,923 --> 00:00:13,190
да су велики филозофи били такође велики математичари

6
00:00:13,190 --> 00:00:15,200
и обрнуто

7
00:00:15,200 --> 00:00:17,021
и он је био донекле савременик Галилеа

8
00:00:17,021 --> 00:00:18,733
био је 32 године млађи.

9
00:00:18,733 --> 00:00:21,706
иако је умро убрзо након Галилејеве смрти.

10
00:00:21,706 --> 00:00:23,467
Овај момак је умро у много млађем добу.

11
00:00:23,467 --> 00:00:25,400
Галилео је био добро у његовим 70 им

12
00:00:25,400 --> 00:00:28,067
Декарт је умро већ са, само 54 године.

13
00:00:28,067 --> 00:00:30,867
И он је вероватно најпознатији у популарној култури,

14
00:00:30,867 --> 00:00:32,733
због овог цитата.

15
00:00:32,733 --> 00:00:33,800
Веома филозофски цитат.

16
00:00:33,800 --> 00:00:35,867
"Мислим, дакле постојим"

17
00:00:35,867 --> 00:00:37,467
али сам такође желео да га убацим,

18
00:00:37,467 --> 00:00:38,867
и ово није толико повезано са алгебром,

19
00:00:38,867 --> 00:00:40,733
али сам помислио да је заиста користан цитат.

20
00:00:40,733 --> 00:00:42,800
Вероватно његов најмање познат цитат.

21
00:00:42,800 --> 00:00:44,467
Управо овај овде.

22
00:00:44,467 --> 00:00:46,800
И свиђа ми се само зато што је врло практичан

23
00:00:46,800 --> 00:00:48,852
и чини да схватите да су ови велики умови

24
00:00:48,852 --> 00:00:51,113
ови стубови филозофије и математике

25
00:00:51,113 --> 00:00:52,282
на крају дана,

26
00:00:52,282 --> 00:00:54,467
били само људска бића.

27
00:00:54,467 --> 00:00:56,498
и рекао је, " Само настави да гураш.

28
00:00:56,498 --> 00:00:58,133
Само настави да гураш,

29
00:00:58,133 --> 00:01:00,015
Направио сам сваку грешку која је могла бити направљена.

30
00:01:00,015 --> 00:01:02,031
Али сам стално гурао. "

31
00:01:02,031 --> 00:01:05,267
Што мислим да је врло врло добар животни савет.

32
00:01:05,267 --> 00:01:07,733
Сада, учинио је многе ствари

33
00:01:07,733 --> 00:01:09,077
у филозофији и математици

34
00:01:09,077 --> 00:01:11,062
али разлог зашто га спомињем овде

35
00:01:11,062 --> 00:01:12,933
док градимо темеље алгебре

36
00:01:12,933 --> 00:01:15,600
јесте што је он појединац

37
00:01:15,600 --> 00:01:18,800
најзаслуженији за много јаку везу

38
00:01:18,800 --> 00:01:21,425
између алгебре и геометрије.

39
00:01:21,425 --> 00:01:22,898
Дакле, овде лево

40
00:01:22,898 --> 00:01:24,752
имате свет алгебре.

41
00:01:24,752 --> 00:01:26,415
Мало смо о томе разговарали.

42
00:01:26,415 --> 00:01:28,477
Имате једначине које се баве симболима

43
00:01:28,477 --> 00:01:30,236
и ови симболи су у суштини,

44
00:01:30,236 --> 00:01:31,933
могу узимати вредност

45
00:01:31,933 --> 00:01:32,800
тако да можете имати нешто као

46
00:01:32,800 --> 00:01:37,677
y = 2 x - 1

47
00:01:37,677 --> 00:01:39,267
то нам даје везу

48
00:01:39,267 --> 00:01:40,733
између вредности х

49
00:01:40,733 --> 00:01:42,133
и вредности у.

50
00:01:42,133 --> 00:01:44,333
можемо чак поставити и табелу овде.

51
00:01:44,333 --> 00:01:46,733
и одабрати вредност за х.

52
00:01:46,733 --> 00:01:48,292
и видети колика ће вредност у бити.

53
00:01:48,292 --> 00:01:51,652
Могу узети насумице вредност за х

54
00:01:51,652 --> 00:01:53,133
а онда израчунати колико износи у.

55
00:01:53,133 --> 00:01:55,000
али ћу изабрати релативно једноставне вредности

56
00:01:55,000 --> 00:01:57,662
тако да математика не постане сувише комликована.

57
00:01:57,662 --> 00:01:59,252
тако на пример,

58
00:01:59,252 --> 00:02:00,533
ако је х једнако - 2

59
00:02:00,533 --> 00:02:03,600
онда ће у бити 2 пута - 2 минус 1

60
00:02:03,600 --> 00:02:06,513
2 пута - 2 минус 1

61
00:02:06,513 --> 00:02:10,113
што је - 4 - 1

62
00:02:10,113 --> 00:02:12,267
што је - 5

63
00:02:12,267 --> 00:02:14,785
ако х је - 1

64
00:02:14,785 --> 00:02:20,452
онда ће у бити 2 пута - 1 минус 1

65
00:02:20,452 --> 00:02:21,733
што је једнако са

66
00:02:21,733 --> 00:02:24,554
- 2 - 1 па је -3

67
00:02:24,554 --> 00:02:28,725
ако је х = 0

68
00:02:28,725 --> 00:02:32,590
онда ће у бити 2 пута 0 - 1

69
00:02:32,600 --> 00:02:35,667
2 пута 0 је 0 - 1 даје -1

70
00:02:35,667 --> 00:02:37,333
Урадићу још неколико.

71
00:02:37,333 --> 00:02:38,282
ако је х једнако 1

72
00:02:38,282 --> 00:02:39,421
и могао сам узети било које вредности овде

73
00:02:39,421 --> 00:02:40,352
и могао бих рећи ста се дешава

74
00:02:40,352 --> 00:02:42,005
ако је х негативни квадратни корен од 2

75
00:02:42,005 --> 00:02:45,067
или шта се дешава ако х је - 5 половина

76
00:02:45,067 --> 00:02:47,867
или шест седмина.

77
00:02:47,867 --> 00:02:49,000
али сам ја баш узео ове бројеве

78
00:02:49,000 --> 00:02:50,600
зато што то чини математику много лакшом.

79
00:02:50,600 --> 00:02:52,600
кад сам покушао да израчунам колико ће у износити.

80
00:02:52,600 --> 00:02:54,133
али кад х је 1

81
00:02:54,133 --> 00:02:57,338
у ће бити 2(1) - 1

82
00:02:57,338 --> 00:02:59,733
2 пута 1 је 2 - 1 даје 1

83
00:02:59,733 --> 00:03:03,052
и урадићу још један.

84
00:03:03,052 --> 00:03:05,133
урадићу још једна у боји коју још нисам користио.

85
00:03:05,133 --> 00:03:06,667
Да видимо љубичасту.

86
00:03:06,667 --> 00:03:08,041
ако х је 2

87
00:03:08,041 --> 00:03:09,333
онда ће у бити

88
00:03:09,333 --> 00:03:14,005
2(2) - 1 ( сада х је 2)

89
00:03:14,005 --> 00:03:16,615
па је 4 - 1, једнако 3

90
00:03:16,615 --> 00:03:17,800
Дакле поштено,

91
00:03:17,800 --> 00:03:19,548
Ја сам пробао ову везу.

92
00:03:19,548 --> 00:03:22,533
Али сам рекао да је у реду да ово описује општи однос

93
00:03:22,533 --> 00:03:25,200
између променљиве у и променљиве х

94
00:03:25,200 --> 00:03:26,908
и онда сам направио мало конкретније.

95
00:03:26,908 --> 00:03:28,000
Рекао сам у реду онда

96
00:03:28,000 --> 00:03:29,882
ако је х једна од тих променљивих.

97
00:03:29,882 --> 00:03:31,200
за сваки од тих променљивих х,

98
00:03:31,200 --> 00:03:33,800
која би била одговарајућа вредност за у?

99
00:03:33,800 --> 00:03:35,698
И оно што је Декарт схватио је

100
00:03:35,717 --> 00:03:37,467
да бисте могли визуализовати ово.

101
00:03:37,467 --> 00:03:40,405
Шта можете визуализовати је индивидуална ствар.

102
00:03:40,405 --> 00:03:42,667
Али вам то може уопштено помоћи

103
00:03:42,667 --> 00:03:45,800
за визуализацију ове везе.

104
00:03:45,800 --> 00:03:47,333
дакле оно што је у суштини урадио је

105
00:03:47,333 --> 00:03:52,329
да је спојио светове ове некако врло абстрактне симболичке алгебре.

106
00:03:52,329 --> 00:03:55,200
са геометријом која се бавила

107
00:03:55,200 --> 00:03:57,600
са облицима и величинама и угловима,

108
00:03:57,600 --> 00:04:02,933
тако да овде имате свет геометрије.

109
00:04:02,933 --> 00:04:04,887
и очигледно су људи кроз историју

110
00:04:04,887 --> 00:04:07,067
можда многи људи које је историја можда заборавила

111
00:04:07,067 --> 00:04:09,067
који су се бавили површно овим.

112
00:04:09,067 --> 00:04:12,467
Али пре него што је Декарт генерално посматрао.

113
00:04:12,467 --> 00:04:14,800
ова геометрија је била Еуклидеан геометрија.

114
00:04:14,800 --> 00:04:16,133
и то је бит геометрије

115
00:04:16,133 --> 00:04:17,533
који сте студирали на часу геометрије

116
00:04:17,533 --> 00:04:20,333
у 8-ом или 9-ом или 10-ом разреду.

117
00:04:20,333 --> 00:04:22,533
у традиционалном средњошколском наставном програму.

118
00:04:22,533 --> 00:04:24,200
и то је студирање геометрије

119
00:04:24,200 --> 00:04:28,554
везе између троуглова, и њихових углова.

120
00:04:28,554 --> 00:04:30,667
и везе између кругова.

121
00:04:30,667 --> 00:04:33,887
и имате радијане и онда имате троуглове

122
00:04:33,887 --> 00:04:36,200
уписаним у круговима и свему осталом

123
00:04:36,200 --> 00:04:37,190
и ићемо у неку дубину

124
00:04:37,190 --> 00:04:39,667
у тој геометријској плеј листи.

125
00:04:39,667 --> 00:04:42,938
Али Декарт каже, ' па мислим да могу ово визуелно представити

126
00:04:42,938 --> 00:04:46,581
на исти начин на који је Еуклид студирао ове троуглове и ове кругове '

127
00:04:46,581 --> 00:04:48,299
рекао је ' зашто не !? '

128
00:04:48,299 --> 00:04:50,575
ако погледамо парче папира.

129
00:04:50,575 --> 00:04:52,339
ако мислимо о дводимензионалној равни.

130
00:04:52,339 --> 00:04:53,825
можете видети парче папира

131
00:04:53,825 --> 00:04:55,915
као врсту одељка дводимензионалне равни.

132
00:04:55,915 --> 00:04:57,819
ми то зовемо две димензије

133
00:04:57,819 --> 00:04:59,584
јер постоје два правца у која можете ићи.

134
00:04:59,584 --> 00:05:01,256
то је горе доле правац,

135
00:05:01,256 --> 00:05:02,510
то је један правац.

136
00:05:02,510 --> 00:05:04,825
дозволите ми да нацртам ово, урадићу то плавим.

137
00:05:04,841 --> 00:05:06,666
јер покушавамо визуелизацију ствари

138
00:05:06,666 --> 00:05:08,384
дакле урадићу то геометријском бојом.

139
00:05:08,384 --> 00:05:11,827
дакле имате правац горе доле

140
00:05:11,827 --> 00:05:14,139
и имате правац лево десно.

141
00:05:14,139 --> 00:05:16,720
зато га зовемо дво-димензионална раван.

142
00:05:16,720 --> 00:05:18,160
ако користимо три димензије.

143
00:05:18,160 --> 00:05:21,339
имате спољну димензију.

144
00:05:21,339 --> 00:05:23,200
и веома је лако радити са две димензије на екрану

145
00:05:23,200 --> 00:05:25,425
јер је екран дво-димензиоалан.

146
00:05:25,425 --> 00:05:27,071
и рече ' Па, знате

147
00:05:27,071 --> 00:05:29,744
ту су две променљиве и имају добар однос.

148
00:05:29,744 --> 00:05:32,548
Али зашто не повезујем сваки од ових варијабли

149
00:05:32,548 --> 00:05:34,600
са једном од ових димензија овамо? '

150
00:05:34,600 --> 00:05:38,010
и по обичају направимо у променљиву

151
00:05:38,010 --> 00:05:39,421
која је заиста зависна променљива,

152
00:05:39,421 --> 00:05:40,456
Начин на који смо то урадили,

153
00:05:40,456 --> 00:05:41,815
зависи од тога колико износи х.

154
00:05:41,815 --> 00:05:43,605
Дакле ставимо то на вертикалну осу.

155
00:05:43,605 --> 00:05:45,333
и ставимо наше независне варијабле,

156
00:05:45,333 --> 00:05:46,800
оне којима сам насумице одабрао вредности

157
00:05:46,800 --> 00:05:48,348
да видимо колики ће у бити,,

158
00:05:48,348 --> 00:05:50,867
ставимо ово на хоризонталну осу.

159
00:05:50,867 --> 00:05:52,533
и то је заправо Декарт

160
00:05:52,533 --> 00:05:55,600
који је дошао дo погодности коришћења х и у

161
00:05:55,600 --> 00:05:58,600
и видећемо касније z у алгебри, тако интензивно

162
00:05:58,600 --> 00:06:02,098
као непознате променњиве са променњивама са којима манипулишете.

163
00:06:02,098 --> 00:06:03,867
Али он каже ' Ако мислимо о томе на тај начин

164
00:06:03,867 --> 00:06:07,452
ако означимо ове димензије '

165
00:06:07,452 --> 00:06:09,723
дакле урадимо то на х оси

166
00:06:09,723 --> 00:06:15,702
хајде да ставимо овде - 3

167
00:06:15,702 --> 00:06:17,805
овде ставимо - 2

168
00:06:17,805 --> 00:06:19,498
овде -1

169
00:06:19,498 --> 00:06:21,067
овде 0

170
00:06:21,067 --> 00:06:23,800
означио сам х осу

171
00:06:23,800 --> 00:06:25,333
леву страну осе.

172
00:06:25,333 --> 00:06:26,837
сада 1

173
00:06:26,837 --> 00:06:28,338
овде 2

174
00:06:28,338 --> 00:06:30,169
и овде 3

175
00:06:30,169 --> 00:06:32,333
и можемо исто урадити на у оси

176
00:06:32,333 --> 00:06:34,400
па хајде да кренемо, могло би бити

177
00:06:34,400 --> 00:06:40,400
кажемо овде - 5, - 4, - 3

178
00:06:40,400 --> 00:06:42,333
у ствари допустите да урадим мало једноставније од овога

179
00:06:42,333 --> 00:06:45,067
допустите да ово мало средим.

180
00:06:45,067 --> 00:06:47,800
дајте да обришем ово и продужим доле мало

181
00:06:47,800 --> 00:06:49,533
да могу ићи скроз доле до - 5

182
00:06:49,533 --> 00:06:51,867
а да не изгледа превише неуредно.

183
00:06:51,867 --> 00:06:53,410
дакле идемо до краја доле.

184
00:06:53,410 --> 00:06:54,867
па можемо означити

185
00:06:54,867 --> 00:06:58,144
овде 1, овде 2, овде 3,

186
00:06:58,144 --> 00:07:00,867
а овде може - 1

187
00:07:00,867 --> 00:07:02,733
-2 и ово су све уобичајени начини

188
00:07:02,733 --> 00:07:04,067
могло је бити означено на други начин.

189
00:07:04,067 --> 00:07:05,692
могли смо ставити х овде

190
00:07:05,692 --> 00:07:06,733
а у овде

191
00:07:06,733 --> 00:07:07,969
да ово буде позитиван смер

192
00:07:07,969 --> 00:07:09,277
овај негативан

193
00:07:09,277 --> 00:07:11,333
али ово је уобичајен начин и људи су га усвојили

194
00:07:11,333 --> 00:07:12,733
почевши од Декарта.

195
00:07:12,733 --> 00:07:18,062
- 2, - 3, - 4 и - 5

196
00:07:18,062 --> 00:07:20,200
и каже ' Све могу повезати

197
00:07:20,200 --> 00:07:22,667
Могу повезати сваки од ових парова вредности са

198
00:07:22,667 --> 00:07:25,333
са тачком у две димензије.

199
00:07:25,333 --> 00:07:28,467
Могу узети х координату, могу узети вредност са х осе

200
00:07:28,467 --> 00:07:30,333
овде и рећи 'Ок то је - 2

201
00:07:30,333 --> 00:07:34,195
то би било овде дуж леве стране осе,

202
00:07:34,195 --> 00:07:35,831
идем лево јер је тамо негативно.'

203
00:07:35,831 --> 00:07:39,395
и оно је повезано са - 5 на вертикалној оси.

204
00:07:39,395 --> 00:07:41,667
дакле могу рећи да је вредност на у - 5

205
00:07:41,667 --> 00:07:46,400
и ако идем 2 лево и 5 доле

206
00:07:46,400 --> 00:07:49,267
долазим до ове тачке овде.

207
00:07:49,267 --> 00:07:53,518
па каже ' Ове две вредности - 2 и - 5

208
00:07:53,518 --> 00:07:55,733
могу повезати са овом тачком

209
00:07:55,733 --> 00:07:59,133
на овој равни овде, на овој дво-димензијалној равни.

210
00:07:59,133 --> 00:08:02,933
па ћу казати: Ова тачка има координате,

211
00:08:02,933 --> 00:08:06,400
кажите где је тачка ( - 2, - 5 ).

212
00:08:06,400 --> 00:08:08,959
ове координате се зову ' Декартове координате '

213
00:08:08,959 --> 00:08:12,077
назване по Ренеу Декарт

214
00:08:12,077 --> 00:08:13,800
јер он је човек који је досао до њих.

215
00:08:13,800 --> 00:08:15,067
Он је удрузио све одједном те везе

216
00:08:15,067 --> 00:08:17,667
са тачкама у координатном систему.

217
00:08:17,667 --> 00:08:19,800
и онда каже ' па добро, урадимо још једну '

218
00:08:19,800 --> 00:08:21,600
ово је сад друга веза,

219
00:08:21,600 --> 00:08:27,452
кад је х једнак - 1, у = - 3

220
00:08:27,452 --> 00:08:30,031
дакле х је - 1, у је - 3

221
00:08:30,031 --> 00:08:31,544
то је ова тачка.

222
00:08:31,544 --> 00:08:33,333
и опет имамо скуп.

223
00:08:33,333 --> 00:08:34,375
Када тражите координате,

224
00:08:34,375 --> 00:08:36,600
узимате х координату, па онда у координату

225
00:08:36,600 --> 00:08:38,400
и то је оно за ста се људи одлучују да раде.

226
00:08:38,400 --> 00:08:42,067
- 1, - 3 би била тачка ова овде

227
00:08:42,067 --> 00:08:45,933
и онда имамо тачку када х је 0, а у је - 1

228
00:08:45,933 --> 00:08:48,067
када је х овде 0,

229
00:08:48,067 --> 00:08:50,267
што значи да не идемо ни лево ни десно.

230
00:08:50,267 --> 00:08:52,667
у је - 1, што значи да идем 1 доле.

231
00:08:52,667 --> 00:08:56,390
дакле то је тачка ова овде. ( 0, - 1 )

232
00:08:56,390 --> 00:08:57,359
баш овде

233
00:08:57,359 --> 00:08:58,852
могу наставити са овим.

234
00:08:58,852 --> 00:09:03,810
када х је 1, у је 1

235
00:09:03,810 --> 00:09:09,575
када х је 2, у је 3

236
00:09:09,575 --> 00:09:11,733
у ствари допустите да радим ово у истој љубичастој боји

237
00:09:11,733 --> 00:09:15,400
када х је 2, у је 3

238
00:09:15,400 --> 00:09:20,652
2 , 3 а онда овај овде наранџасти је 1, 1

239
00:09:20,652 --> 00:09:22,195
и ово је јасно,

240
00:09:22,195 --> 00:09:24,615
У суштини сам испробао могућности х

241
00:09:24,615 --> 00:09:25,867
али оно што је схватио је

242
00:09:25,867 --> 00:09:27,775
не само да је пробао ове могућности х,

243
00:09:27,775 --> 00:09:29,677
али је стално пробавао х осу,

244
00:09:29,677 --> 00:09:31,318
ако би пробавали међу вредности х осе,

245
00:09:31,318 --> 00:09:34,000
у ствари би завршили цртањем линије.

246
00:09:34,000 --> 00:09:36,067
Дакле ако сте урадили све могућности х

247
00:09:36,067 --> 00:09:38,067
на крају би добили линију

248
00:09:38,067 --> 00:09:44,492
која изгледа нешто као... нешто као ова овде.

249
00:09:44,492 --> 00:09:47,533
и сваки... сваки однос, ако изаберете вредност за х

250
00:09:47,533 --> 00:09:50,867
и вредност за у заиста представља тачку на овој линији,

251
00:09:50,867 --> 00:09:52,400
или ако размишљамо на други начин

252
00:09:52,400 --> 00:09:54,171
било која тачка на овој линији представља

253
00:09:54,171 --> 00:09:57,051
решење за ову једначину овде.

254
00:09:57,051 --> 00:09:58,902
дакле ако узмете ову тачку овде.

255
00:09:58,902 --> 00:10:01,600
која изгледа да х је 1 ипо.

256
00:10:01,600 --> 00:10:03,467
у је 2. Дакле допустите да написем ово

257
00:10:03,467 --> 00:10:07,133
1.5 , 2

258
00:10:07,133 --> 00:10:09,133
ово је решење ове једначине.

259
00:10:09,133 --> 00:10:13,652
када х је 1.5. 2 * 1.5 је 3 - 1 то је 2

260
00:10:13,652 --> 00:10:15,600
то је ово овде.

261
00:10:15,600 --> 00:10:17,400
дакле све неочекивања је био у стању да премости

262
00:10:17,400 --> 00:10:22,400
ту празнину или везу између алгебре и геометрије.

263
00:10:22,400 --> 00:10:27,133
сада можемо представити све х и у парове

264
00:10:27,133 --> 00:10:31,498
то задовољава ову једначину овде.

265
00:10:31,498 --> 00:10:36,092
па је одговоран за успостављање овог моста

266
00:10:36,092 --> 00:10:38,067
и зато координате

267
00:10:38,067 --> 00:10:42,677
које користимо да означимо ове тачке називамо ' Декартове координате '

268
00:10:42,677 --> 00:10:45,467
и као што ћемо видети и први тип једначина

269
00:10:45,467 --> 00:10:48,600
Проучићемо наше једначине у овој овде форми

270
00:10:48,600 --> 00:10:50,446
и у традиционалном наставном плану алгебре.

271
00:10:50,446 --> 00:10:52,733
зову се линеарне једначине...

272
00:10:52,733 --> 00:10:55,733
линеарне једначине.

273
00:10:55,733 --> 00:10:57,738
и можда ћете говорити: па знате, ово је једначина,

274
00:10:57,738 --> 00:10:59,533
видећу да је ово једнако само по себи.

275
00:10:59,533 --> 00:11:00,744
али шта је толико линеарно код њих?

276
00:11:00,744 --> 00:11:02,333
шта чини да изгледа као линија?

277
00:11:02,333 --> 00:11:04,379
да би схватили зашто су линеарна,

278
00:11:04,379 --> 00:11:07,467
морате учинити скок који је Рене Декарт направио.

279
00:11:07,467 --> 00:11:09,133
јер ако си нацртао ово,

280
00:11:09,133 --> 00:11:10,759
користећи декартове координате.

281
00:11:10,759 --> 00:11:14,492
на Еуцлидеан авиону. Добићете линију.

282
00:11:14,492 --> 00:11:15,846
и убудуће ћете је видети

283
00:11:15,846 --> 00:11:17,723
постоје други типови једначина где нећете добити линију.

284
00:11:17,723 --> 00:11:21,656
добићете кривине, или или нешто лудо или функи или необично.