Descartes e Coordenadas Cartesianas

Unificando álgebra e geomeria. O que faz equações lineares serem tão lineares.

Temos aqui uma imagem de René Descartes.

Mais uma vez, uma das grandes mentes

em matemática e filosofia.

E acho que podem ver uma tendência aqui:

que o grandes filósofos foram também grandes matemáticos

e vice-versa.

E ele era um contemporâneo de Galileu

Era 32 anos mais novo.

Embora tenha morrido pouco depois de Galileu.

Morreu muito mais jovem.

Galileu viveu até à casa dos 70.

Descartes morreu logo aos 54 anos de idade.

E ele é provavelmente mais conhecido na cultura popular,

por esta frase aqui,

uma frase muito filosófica:

"Penso, logo, existo."

Mas eu queria também mostrar,

e isto não está assim tão relacionado com álgebra,

mas achei que era uma citação bastante bonita.

Provavelmente a sua frase menos famosa,

esta aqui.

E eu gosto dela porque é muito prática

e faz-nos perceber que estas grandes mentes,

estes pilares da filosofia e da matemática,

no final do dia,

eram apenas seres humanos.

Ele disse: "Continuamos a insistir.

Continuamos a insistir.

Cometi todos os erros que poderiam ser cometidos.

Mas continuei sempre a insistir."

Que eu acho que é um conselho muito bom para a vida.

Ele fez muitas coisas

em filosofia e matemática,

mas a razão por que o estou a incluir aqui,

à medida que construímos os fundamentos da álgebra,

é porque ele é o indivíduo

mais responsável por uma conexão muito forte

entre álgebra e geometria.

Aqui à esquerda

temos o mundo da álgebra.

Já discutimos isto um pouco.

Temos equações que lidam com símbolos

e estes símbolos são essencialmente,

eles podem tomar valores,

para que possamos ter algo como

y = 2x - 1.

Isto dá-nos uma relação

entre o que quer que x seja

e o que quer que y seja.

E até podemos fazer uma tabela aqui

e escolher valores para x

e ver quais seriam os valores de y.

Posso escolher valores aleatórios para x

e, em seguida, descobrir o que y é.

Mas vou escolher valores relativamente simples

para que a matemática não fique muito complicada.

Por exemplo,

se x é -2

então, y vai ser 2 vezes -2 - 1

2 x - 2 - 1

que é -4 - 1

que é -5.

Se x é -1,

então y vai ser 2 x -1 - 1,

que é igual a

Isto é -2 - 1, que é -3

Se x = 0,

então y vai ser 2 x 0 - 1

2 x 0 é 0 - 1 é -1.

Vou fazer mais alguns.

Se x é 1,

e eu poderia ter escolhido qualquer valor.

Eu poderia deizer: o que acontece

se x é a raiz quadrada negativa de 2,

ou o que acontece se x é -5 metades

ou seis sétimos positivos.

Mas estou a escolher estes números

porque torna as contas muito mais fáceis

quando tento descobrir o que y vai ser.

Mas quando x é 1

y vai ser 2(1) - 1

2 x 1 é 2 - 1 é 1.

E vou fazer mais um.

Numa côr que ainda não tenha usado.

Neste roxo.

Se x for 2,

então y vai ser

2(2) - 1 (agora que x é 2)

que é 4 - 1 é igual a 3.

Nada mau.

Eu como que repeti esta relacão.

OK, isto descreve uma relação geral

entre uma variável y e uma variável x

depois concretizei um pouco mais.

Eu disse:

se x é uma dessas variáveis

para cada um destes valores de x,

qual seria o valor correspondente de y?

E o que Descartes descobriu

foi que podemos visualizar isto.

Primeiro, podemos visualizar estes pontos individuais.

Mas isto também nos pode ajudar, em geral,

a visualizar esta relação.

Essencialmente, o que ele fez foi

criar uma ponte entre os mundos desta álgebra simbólica muito abstrata

e o da geometria, que se debruçava

sobre formas e tamanhos e ângulos.

Aqui temos o mundo da geometria.

E, obviamente, há pessoas,

talvez muitas, que a história pode ter esquecido,

que podem ter-se ocupado disto.

Mas, antes de Descartes, é geralmente tido

que a geometria era geometria euclidiana.

E essa é essencialmente a geometria

que estudámos nas aulas de geometria,

no 8º ou no 9º ou no 10º anos,

num currículo normal de escola secundária.

E essa é a geometria que estuda

as relações entre os triângulos e os seus ângulos

e as relações entre círculos.

E depois temos os raios e triângulos

inscritos em círculos e tudo o resto.

E vamos aprofundar um pouco isso

na lista de reprodução de geometria.

Mas Descarte diz: 'eu acho que posso representar isto visualmente

da mesma forma que Euclides estava a estudar estes triângulos e estes círculos'

Ele disse 'por que não o faço?'

Se virmos um pedaço de papel

e pensarmos sobre um plano bidimensional,

podemos ver um pedaço de papel

como uma espécie de secção de um plano bidimensional.

Chamamos-lhe duas dimensões

porque há duas direcções em que podemos ir.

Há a direcção cima baixo,

isto é uma direção.

Deixem-me desenhar, vou fazê-lo em azul.

porque estamos a tentar visualizar as coisas

por isso vou fazê-lo na cor da geometria.

Então, temos a direção cima baixo

e temos a direcção esquerda direita.

É por isso que é chamado um plano bidimensional.

Se estivéssemos a lidar com três dimensões

teríamos uma dimensão dentro fora.

E é muito fácil fazer duas dimensões no ecrã

porque o ecrã é bidimensional.

E diz ele: 'sabemos que

há duas variáveis aqui e elas têm esta relação.

Então por que não associar cada uma destas variáveis

com uma destas dimensões aqui?'

E, por convenção, vamos fazer a variável y

que é a variável dependente.

A maneira como o fizemos

depende do que x é.

Vamos colocá-la no eixo vertical.

E vamos colocar a nossa variável independente,

aquela para que selecionei valores aletórios

para ver o que se tornaria y,

vamos colocá-la no eixo horizontal.

E foi na verdade Descartes quem

criou a convenção de usar x's e y's

e, veremos mais tarde, z's em álgebra, tão extensivamente

como variáveis desconhecidas ou as variáveis que estamos a manipular.

Mas diz ele 'se pensarmos desta forma

se numerarmos estas dimensões'

Então, vamos dizer que na direção x,

vamos fazer isto aqui -3.

Isto será -2.

Isto é -1.

Isto é 0

Estou apenas a numerar a direcção x,

a direcção esquerda direita.

Agora, isto é 1 positivo.

Isto é 2 positivo.

E isto é 3 positivo.

E podíamos fazer o mesmo na direção y.

Então isto podia ser

-5, -4, -3.

Na verdade, deixem-me fazer isto um pouco mais direito.

Deixem-me limpar isto um pouco.

Deixe-me apagar isto e estender isto um pouco para baixo

para conseguir ir até -5

sem torná-lo demasiado confuso.

Vamos tudo para baixo aqui,

E podemos numerá-lo:

isto é 1, isto é 2, isto é 3,

e isto pode ser -1,

-2, e isto são apenas convenções,

podia ter sido rotulado ao contrário.

Podíamos ter decidido colocar o x ali

e o y ali.

E tornar esta a direcção positiva,

e esta a direcção negativa.

Mas é apenas uma convenção que as pessoas adoptaram,

começando com Descartes.

-2, -3, -4 e -5.

E ele diz 'acho que consigo associar

cada um destes pares de valores com

um ponto em duas dimensões.

Posso tomar a coordenada x, posso tomar o valor de x

e digo 'Ok, isto é -2

que estaria aqui, na direcção esquerda direita.

Estou a ir para a esquerda porque é negativo.

E está associado a -5 na direcção vertical.

O valor de y é -5.

Então, se eu fôr 2 para a esquerda e 5 para baixo

chego a este ponto aqui.

Diz ele 'estes dois valores -2 e -5,

posso associá-los com este ponto

neste plano aqui, neste plano bidimensional.

Este ponto tem as coordenadas,

diz-me onde posso encontrar esse ponto (-2, -5).

E estas coordenadas chamam-se 'coordenadas cartesianas',

o nome de René Descartes,

porque foi ele que as inventou.

Ele veio associar estas relações

a pontos num plano de coordenadas.

E diz ainda 'vamos fazer um outro,

há uma outra relação'.

Quando x é igual a -1, y = -3.

Portanto, x é -1, y é -3.

É aquele ponto ali.

E a convenção é uma vez mais:

'Quando se listam as coordenadas,

lista-se a coordenada x e, em seguida, a coordenada y'.

É o que as pessoas decidiram fazer.

-1, -3 seria aquele ponto ali.

E depois temos o ponto em que x é 0, y é -1.

Quando x é 0, aqui,

significa que não vou nem para a esquerda nem para a direita.

y é -1, o que significa que vou 1 para baixo.

Portanto é aquele ponto ali. (0, -1)

Ali.

Eu podia continuar a fazer isto.

Quando x é 1, y é 1.

Quando x é 2, y é 3.

Deixem-me fazer isso na mesma cor roxa.

Quando x é 2, y é 3.

2,3 e, em seguida, este aqui em laranja era 1,1.

E isto fica direito por si..

Eu apenas amostrei possíveis x's.

Mas o que ele percebeu foi

não só podemos amostrar estes possíveis x's,

como poderíamos continuar amostrando x's.

Se tentássemos amostrar todos os x's de entremeio,

acabaríamos por traçar uma linha.

Portanto, se fossemos fazer todos os x's possíveis

ficaríamos com uma linha.

que seria algo como isto... ali.

E qualquer relação, se tomarmos qualquer x

e encontrar qualquer y, representa realmente um ponto nesta linha,

Ou, outra maneira de pensar nisso:

qualquer ponto nesta linha representa

uma solução para esta equação aqui.

Se temos este ponto aqui,

que parece que x é 1 e meio.

y é 2. Deixem-me escrever isso

1.5,2

é uma solução para esta equação.

Quando x é 1.5: 2 x 1.5 é 3 - 1 é 2.

Isto é ali.

De repente ele foi capaz de preencher

esta lacuna ou esta relação entre álgebra e geometria.

Podemos agora visualizar todos os pares x e y

que satisfazem esta equação aqui.

Ele é responsável por criar esta ponte

e é por isso que as coordenadas que usamos

para especificar estes pontos se chamam "coordenadas cartesianas".

E como veremos, o primeiro tipo de equações

que vamos estudar são equações desta forma.

Num currículo de álgebra tradicional,

chamam-se a equações lineares...

equações lineares.

Podem dizer 'bem, isto é uma equação,

vejo que isto é igual àquilo,

mas o que há de linear sobre eles?

O que os faz parecer com uma linha?'

Para compreender por que é que são lineares,

temos que dar o salto que René Descartes deu.

Porque se formos desenhar isto,

usando coordenadas cartesianas,

num plano euclidiano, vamos obter uma linha.

E no futuro, verão que

há outros tipos de equações em que não vamos obter uma linha

mas uma curva ou qualquer coisa maluca ou funky.