0:00:01.062,0:00:03.636
Temos aqui uma imagem de René Descartes.

0:00:03.636,0:00:05.698
Mais uma vez, uma das grandes mentes

0:00:05.698,0:00:07.554
em matemática e filosofia.

0:00:07.554,0:00:09.923
E acho que podem ver uma tendência aqui:

0:00:09.923,0:00:13.190
que o grandes filósofos foram também grandes matemáticos

0:00:13.190,0:00:15.200
e vice-versa.

0:00:15.200,0:00:17.021
E ele era um contemporâneo de Galileu

0:00:17.021,0:00:18.733
Era 32 anos mais novo.

0:00:18.733,0:00:21.706
Embora tenha morrido pouco depois de Galileu.

0:00:21.706,0:00:23.467
Morreu muito mais jovem.

0:00:23.467,0:00:25.400
Galileu viveu até à casa dos 70.

0:00:25.400,0:00:28.067
Descartes morreu logo aos 54 anos de idade.

0:00:28.067,0:00:30.867
E ele é provavelmente mais conhecido na cultura popular,

0:00:30.867,0:00:32.733
por esta frase aqui,

0:00:32.733,0:00:33.800
uma frase muito filosófica:

0:00:33.800,0:00:35.867
"Penso, logo, existo."

0:00:35.867,0:00:37.467
Mas eu queria também mostrar,

0:00:37.467,0:00:38.867
e isto não está assim tão relacionado com álgebra,

0:00:38.867,0:00:40.733
mas achei que era uma citação bastante bonita.

0:00:40.733,0:00:42.800
Provavelmente a sua frase menos famosa,

0:00:42.800,0:00:44.467
esta aqui.

0:00:44.467,0:00:46.800
E eu gosto dela porque é muito prática

0:00:46.800,0:00:48.852
e faz-nos perceber que estas grandes mentes,

0:00:48.852,0:00:51.113
estes pilares da filosofia e da matemática,

0:00:51.113,0:00:52.282
no final do dia,

0:00:52.282,0:00:54.467
eram apenas seres humanos.

0:00:54.467,0:00:56.498
Ele disse: "Continuamos a insistir.

0:00:56.498,0:00:58.133
Continuamos a insistir.

0:00:58.133,0:01:00.015
Cometi todos os erros que poderiam ser cometidos.

0:01:00.015,0:01:02.031
Mas continuei sempre a insistir."

0:01:02.031,0:01:05.267
Que eu acho que é um conselho muito bom para a vida.

0:01:05.267,0:01:07.733
Ele fez muitas coisas

0:01:07.733,0:01:09.077
em filosofia e matemática,

0:01:09.077,0:01:11.062
mas a razão por que o estou a incluir aqui,

0:01:11.062,0:01:12.933
à medida que construímos os fundamentos da álgebra,

0:01:12.933,0:01:15.600
é porque ele é o indivíduo

0:01:15.600,0:01:18.800
mais responsável por uma conexão muito forte

0:01:18.800,0:01:21.425
entre álgebra e geometria.

0:01:21.425,0:01:22.898
Aqui à esquerda

0:01:22.898,0:01:24.752
temos o mundo da álgebra.

0:01:24.752,0:01:26.415
Já discutimos isto um pouco.

0:01:26.415,0:01:28.477
Temos equações que lidam com símbolos

0:01:28.477,0:01:30.236
e estes símbolos são essencialmente,

0:01:30.236,0:01:31.933
eles podem tomar valores,

0:01:31.933,0:01:32.800
para que possamos ter algo como

0:01:32.800,0:01:37.677
y = 2x - 1.

0:01:37.677,0:01:39.267
Isto dá-nos uma relação

0:01:39.267,0:01:40.733
entre o que quer que x seja

0:01:40.733,0:01:42.133
e o que quer que y seja.

0:01:42.133,0:01:44.333
E até podemos fazer uma tabela aqui

0:01:44.333,0:01:46.733
e escolher valores para x

0:01:46.733,0:01:48.292
e ver quais seriam os valores de y.

0:01:48.292,0:01:51.652
Posso escolher valores aleatórios para x

0:01:51.652,0:01:53.133
e, em seguida, descobrir o que y é.

0:01:53.133,0:01:55.000
Mas vou escolher valores relativamente simples

0:01:55.000,0:01:57.662
para que a matemática não fique muito complicada.

0:01:57.662,0:01:59.252
Por exemplo,

0:01:59.252,0:02:00.533
se x é -2

0:02:00.533,0:02:03.600
então, y vai ser 2 vezes -2 - 1

0:02:03.600,0:02:06.513
2 x - 2 - 1

0:02:06.513,0:02:10.113
que é -4 - 1

0:02:10.113,0:02:12.267
que é -5.

0:02:12.267,0:02:14.785
Se x é -1,

0:02:14.785,0:02:20.452
então y vai ser 2 x -1 - 1,

0:02:20.452,0:02:21.733
que é igual a

0:02:21.733,0:02:24.554
Isto é -2 - 1, que é -3

0:02:24.554,0:02:28.725
Se x = 0,

0:02:28.725,0:02:32.590
então y vai ser 2 x 0 - 1

0:02:32.600,0:02:35.667
2 x 0 é 0 - 1 é -1.

0:02:35.667,0:02:37.333
Vou fazer mais alguns.

0:02:37.333,0:02:38.282
Se x é 1,

0:02:38.282,0:02:39.421
e eu poderia ter escolhido qualquer valor.

0:02:39.421,0:02:40.352
Eu poderia deizer: o que acontece

0:02:40.352,0:02:42.005
se x é a raiz quadrada negativa de 2,

0:02:42.005,0:02:45.067
ou o que acontece se x é -5 metades

0:02:45.067,0:02:47.867
ou seis sétimos positivos.

0:02:47.867,0:02:49.000
Mas estou a escolher estes números

0:02:49.000,0:02:50.600
porque torna as contas muito mais fáceis

0:02:50.600,0:02:52.600
quando tento descobrir o que y vai ser.

0:02:52.600,0:02:54.133
Mas quando x é 1

0:02:54.133,0:02:57.338
y vai ser 2(1) - 1

0:02:57.338,0:02:59.733
2 x 1 é 2 - 1 é 1.

0:02:59.733,0:03:03.052
E vou fazer mais um.

0:03:03.052,0:03:05.133
Numa côr que ainda não tenha usado.

0:03:05.133,0:03:06.667
Neste roxo.

0:03:06.667,0:03:08.041
Se x for 2,

0:03:08.041,0:03:09.333
então y vai ser

0:03:09.333,0:03:14.005
2(2) - 1 (agora que x é 2)

0:03:14.005,0:03:16.615
que é 4 - 1 é igual a 3.

0:03:16.615,0:03:17.800
Nada mau.

0:03:17.800,0:03:19.548
Eu como que repeti esta relacão.

0:03:19.548,0:03:22.533
OK, isto descreve uma relação geral

0:03:22.533,0:03:25.200
entre uma variável y e uma variável x

0:03:25.200,0:03:26.908
depois concretizei um pouco mais.

0:03:26.908,0:03:28.000
Eu disse:

0:03:28.000,0:03:29.882
se x é uma dessas variáveis

0:03:29.882,0:03:31.200
para cada um destes valores de x,

0:03:31.200,0:03:33.800
qual seria o valor correspondente de y?

0:03:33.800,0:03:35.698
E o que Descartes descobriu

0:03:35.717,0:03:37.467
foi que podemos visualizar isto.

0:03:37.467,0:03:40.405
Primeiro, podemos visualizar estes pontos individuais.

0:03:40.405,0:03:42.667
Mas isto também nos pode ajudar, em geral,

0:03:42.667,0:03:45.800
a visualizar esta relação.

0:03:45.800,0:03:47.333
Essencialmente, o que ele fez foi

0:03:47.333,0:03:52.329
criar uma ponte entre os mundos desta álgebra simbólica muito abstrata

0:03:52.329,0:03:55.200
e o da geometria, que se debruçava

0:03:55.200,0:03:57.600
sobre formas e tamanhos e ângulos.

0:03:57.600,0:04:02.933
Aqui temos o mundo da geometria.

0:04:02.933,0:04:04.887
E, obviamente, há pessoas,

0:04:04.887,0:04:07.067
talvez muitas, que a história pode ter esquecido,

0:04:07.067,0:04:09.067
que podem ter-se ocupado disto.

0:04:09.067,0:04:12.467
Mas, antes de Descartes, é geralmente tido

0:04:12.467,0:04:14.800
que a geometria era geometria euclidiana.

0:04:14.800,0:04:16.133
E essa é essencialmente a geometria

0:04:16.133,0:04:17.533
que estudámos nas aulas de geometria,

0:04:17.533,0:04:20.333
no 8º ou no 9º ou no 10º anos,

0:04:20.333,0:04:22.533
num currículo normal de escola secundária.

0:04:22.533,0:04:24.200
E essa é a geometria que estuda

0:04:24.200,0:04:28.554
as relações entre os triângulos e os seus ângulos

0:04:28.554,0:04:30.667
e as relações entre círculos.

0:04:30.667,0:04:33.887
E depois temos os raios e triângulos

0:04:33.887,0:04:36.200
inscritos em círculos e tudo o resto.

0:04:36.200,0:04:37.190
E vamos aprofundar um pouco isso

0:04:37.190,0:04:39.667
na lista de reprodução de geometria.

0:04:39.667,0:04:42.938
Mas Descarte diz: 'eu acho que posso representar isto visualmente

0:04:42.938,0:04:46.581
da mesma forma que Euclides estava a estudar estes triângulos e estes círculos'

0:04:46.581,0:04:48.299
Ele disse 'por que não o faço?'

0:04:48.299,0:04:50.575
Se virmos um pedaço de papel

0:04:50.575,0:04:52.339
e pensarmos sobre um plano bidimensional,

0:04:52.339,0:04:53.825
podemos ver um pedaço de papel

0:04:53.825,0:04:55.915
como uma espécie de secção de um plano bidimensional.

0:04:55.915,0:04:57.819
Chamamos-lhe duas dimensões

0:04:57.819,0:04:59.584
porque há duas direcções em que podemos ir.

0:04:59.584,0:05:01.256
Há a direcção cima baixo,

0:05:01.256,0:05:02.510
isto é uma direção.

0:05:02.510,0:05:04.825
Deixem-me desenhar, vou fazê-lo em azul.

0:05:04.841,0:05:06.666
porque estamos a tentar visualizar as coisas

0:05:06.666,0:05:08.384
por isso vou fazê-lo na cor da geometria.

0:05:08.384,0:05:11.827
Então, temos a direção cima baixo

0:05:11.827,0:05:14.139
e temos a direcção esquerda direita.

0:05:14.139,0:05:16.720
É por isso que é chamado um plano bidimensional.

0:05:16.720,0:05:18.160
Se estivéssemos a lidar com três dimensões

0:05:18.160,0:05:21.339
teríamos uma dimensão dentro fora.

0:05:21.339,0:05:23.200
E é muito fácil fazer duas dimensões no ecrã

0:05:23.200,0:05:25.425
porque o ecrã é bidimensional.

0:05:25.425,0:05:27.071
E diz ele: 'sabemos que

0:05:27.071,0:05:29.744
há duas variáveis aqui e elas têm esta relação.

0:05:29.744,0:05:32.548
Então por que não associar cada uma destas variáveis

0:05:32.548,0:05:34.600
com uma destas dimensões aqui?'

0:05:34.600,0:05:38.010
E, por convenção, vamos fazer a variável y

0:05:38.010,0:05:39.421
que é a variável dependente.

0:05:39.421,0:05:40.456
A maneira como o fizemos

0:05:40.456,0:05:41.815
depende do que x é.

0:05:41.815,0:05:43.605
Vamos colocá-la no eixo vertical.

0:05:43.605,0:05:45.333
E vamos colocar a nossa variável independente,

0:05:45.333,0:05:46.800
aquela para que selecionei valores aletórios

0:05:46.800,0:05:48.348
para ver o que se tornaria y,

0:05:48.348,0:05:50.867
vamos colocá-la no eixo horizontal.

0:05:50.867,0:05:52.533
E foi na verdade Descartes quem

0:05:52.533,0:05:55.600
criou a convenção de usar x's e y's

0:05:55.600,0:05:58.600
e, veremos mais tarde, z's em álgebra, tão extensivamente

0:05:58.600,0:06:02.098
como variáveis desconhecidas ou as variáveis que estamos a manipular.

0:06:02.098,0:06:03.867
Mas diz ele 'se pensarmos desta forma

0:06:03.867,0:06:07.452
se numerarmos estas dimensões'

0:06:07.452,0:06:09.723
Então, vamos dizer que na direção x,

0:06:09.723,0:06:15.702
vamos fazer isto aqui -3.

0:06:15.702,0:06:17.805
Isto será -2.

0:06:17.805,0:06:19.498
Isto é -1.

0:06:19.498,0:06:21.067
Isto é 0

0:06:21.067,0:06:23.800
Estou apenas a numerar a direcção x,

0:06:23.800,0:06:25.333
a direcção esquerda direita.

0:06:25.333,0:06:26.837
Agora, isto é 1 positivo.

0:06:26.837,0:06:28.338
Isto é 2 positivo.

0:06:28.338,0:06:30.169
E isto é 3 positivo.

0:06:30.169,0:06:32.333
E podíamos fazer o mesmo na direção y.

0:06:32.333,0:06:34.400
Então isto podia ser

0:06:34.400,0:06:40.400
-5, -4, -3.

0:06:40.400,0:06:42.333
Na verdade, deixem-me fazer isto um pouco mais direito.

0:06:42.333,0:06:45.067
Deixem-me limpar isto um pouco.

0:06:45.067,0:06:47.800
Deixe-me apagar isto e estender isto um pouco para baixo

0:06:47.800,0:06:49.533
para conseguir ir até -5

0:06:49.533,0:06:51.867
sem torná-lo demasiado confuso.

0:06:51.867,0:06:53.410
Vamos tudo para baixo aqui,

0:06:53.410,0:06:54.867
E podemos numerá-lo:

0:06:54.867,0:06:58.144
isto é 1, isto é 2, isto é 3,

0:06:58.144,0:07:00.867
e isto pode ser -1,

0:07:00.867,0:07:02.733
-2, e isto são apenas convenções,

0:07:02.733,0:07:04.067
podia ter sido rotulado ao contrário.

0:07:04.067,0:07:05.692
Podíamos ter decidido colocar o x ali

0:07:05.692,0:07:06.733
e o y ali.

0:07:06.733,0:07:07.969
E tornar esta a direcção positiva,

0:07:07.969,0:07:09.277
e esta a direcção negativa.

0:07:09.277,0:07:11.333
Mas é apenas uma convenção que as pessoas adoptaram,

0:07:11.333,0:07:12.733
começando com Descartes.

0:07:12.733,0:07:18.062
-2, -3, -4 e -5.

0:07:18.062,0:07:20.200
E ele diz 'acho que consigo associar

0:07:20.200,0:07:22.667
cada um destes pares de valores com

0:07:22.667,0:07:25.333
um ponto em duas dimensões.

0:07:25.333,0:07:28.467
Posso tomar a coordenada x, posso tomar o valor de x

0:07:28.467,0:07:30.333
e digo 'Ok, isto é -2

0:07:30.333,0:07:34.195
que estaria aqui, na direcção esquerda direita.

0:07:34.195,0:07:35.831
Estou a ir para a esquerda porque é negativo.

0:07:35.831,0:07:39.395
E está associado a -5 na direcção vertical.

0:07:39.395,0:07:41.667
O valor de y é -5.

0:07:41.667,0:07:46.400
Então, se eu fôr 2 para a esquerda e 5 para baixo

0:07:46.400,0:07:49.267
chego a este ponto aqui.

0:07:49.267,0:07:53.518
Diz ele 'estes dois valores -2 e -5,

0:07:53.518,0:07:55.733
posso associá-los com este ponto

0:07:55.733,0:07:59.133
neste plano aqui, neste plano bidimensional.

0:07:59.133,0:08:02.933
Este ponto tem as coordenadas,

0:08:02.933,0:08:06.400
diz-me onde posso encontrar esse ponto (-2, -5).

0:08:06.400,0:08:08.959
E estas coordenadas chamam-se 'coordenadas cartesianas',

0:08:08.959,0:08:12.077
o nome de René Descartes,

0:08:12.077,0:08:13.800
porque foi ele que as inventou.

0:08:13.800,0:08:15.067
Ele veio associar estas relações

0:08:15.067,0:08:17.667
a pontos num plano de coordenadas.

0:08:17.667,0:08:19.800
E diz ainda 'vamos fazer um outro,

0:08:19.800,0:08:21.600
há uma outra relação'.

0:08:21.600,0:08:27.452
Quando x é igual a -1, y = -3.

0:08:27.452,0:08:30.031
Portanto, x é -1, y é -3.

0:08:30.031,0:08:31.544
É aquele ponto ali.

0:08:31.544,0:08:33.333
E a convenção é uma vez mais:

0:08:33.333,0:08:34.375
'Quando se listam as coordenadas,

0:08:34.375,0:08:36.600
lista-se a coordenada x e, em seguida, a coordenada y'.

0:08:36.600,0:08:38.400
É o que as pessoas decidiram fazer.

0:08:38.400,0:08:42.067
-1, -3 seria aquele ponto ali.

0:08:42.067,0:08:45.933
E depois temos o ponto em que x é 0, y é -1.

0:08:45.933,0:08:48.067
Quando x é 0, aqui,

0:08:48.067,0:08:50.267
significa que não vou nem para a esquerda nem para a direita.

0:08:50.267,0:08:52.667
y é -1, o que significa que vou 1 para baixo.

0:08:52.667,0:08:56.390
Portanto é aquele ponto ali. (0, -1)

0:08:56.390,0:08:57.359
Ali.

0:08:57.359,0:08:58.852
Eu podia continuar a fazer isto.

0:08:58.852,0:09:03.810
Quando x é 1, y é 1.

0:09:03.810,0:09:09.575
Quando x é 2, y é 3.

0:09:09.575,0:09:11.733
Deixem-me fazer isso na mesma cor roxa.

0:09:11.733,0:09:15.400
Quando x é 2, y é 3.

0:09:15.400,0:09:20.652
2,3 e, em seguida, este aqui em laranja era 1,1.

0:09:20.652,0:09:22.195
E isto fica direito por si..

0:09:22.195,0:09:24.615
Eu apenas amostrei possíveis x's.

0:09:24.615,0:09:25.867
Mas o que ele percebeu foi

0:09:25.867,0:09:27.775
não só podemos amostrar estes possíveis x's,

0:09:27.775,0:09:29.677
como poderíamos continuar amostrando x's.

0:09:29.677,0:09:31.318
Se tentássemos amostrar todos os x's de entremeio,

0:09:31.318,0:09:34.000
acabaríamos por traçar uma linha.

0:09:34.000,0:09:36.067
Portanto, se fossemos fazer todos os x's possíveis

0:09:36.067,0:09:38.067
ficaríamos com uma linha.

0:09:38.067,0:09:44.492
que seria algo como isto... ali.

0:09:44.492,0:09:47.533
E qualquer relação, se tomarmos qualquer x

0:09:47.533,0:09:50.867
e encontrar qualquer y, representa realmente um ponto nesta linha,

0:09:50.867,0:09:52.400
Ou, outra maneira de pensar nisso:

0:09:52.400,0:09:54.171
qualquer ponto nesta linha representa

0:09:54.171,0:09:57.051
uma solução para esta equação aqui.

0:09:57.051,0:09:58.902
Se temos este ponto aqui,

0:09:58.902,0:10:01.600
que parece que x é 1 e meio.

0:10:01.600,0:10:03.467
y é 2. Deixem-me escrever isso

0:10:03.467,0:10:07.133
1.5,2

0:10:07.133,0:10:09.133
é uma solução para esta equação.

0:10:09.133,0:10:13.652
Quando x é 1.5: 2 x 1.5 é 3 - 1 é 2.

0:10:13.652,0:10:15.600
Isto é ali.

0:10:15.600,0:10:17.400
De repente ele foi capaz de preencher

0:10:17.400,0:10:22.400
esta lacuna ou esta relação entre álgebra e geometria.

0:10:22.400,0:10:27.133
Podemos agora visualizar todos os pares x e y

0:10:27.133,0:10:31.498
que satisfazem esta equação aqui.

0:10:31.498,0:10:36.092
Ele é responsável por criar esta ponte

0:10:36.092,0:10:38.067
e é por isso que as coordenadas que usamos

0:10:38.067,0:10:42.677
para especificar estes pontos se chamam "coordenadas cartesianas".

0:10:42.677,0:10:45.467
E como veremos, o primeiro tipo de equações

0:10:45.467,0:10:48.600
que vamos estudar são equações desta forma.

0:10:48.600,0:10:50.446
Num currículo de álgebra tradicional,

0:10:50.446,0:10:52.733
chamam-se a equações lineares...

0:10:52.733,0:10:55.733
equações lineares.

0:10:55.733,0:10:57.738
Podem dizer 'bem, isto é uma equação,

0:10:57.738,0:10:59.533
vejo que isto é igual àquilo,

0:10:59.533,0:11:00.744
mas o que há de linear sobre eles?

0:11:00.744,0:11:02.333
O que os faz parecer com uma linha?'

0:11:02.333,0:11:04.379
Para compreender por que é que são lineares,

0:11:04.379,0:11:07.467
temos que dar o salto que René Descartes deu.

0:11:07.467,0:11:09.133
Porque se formos desenhar isto,

0:11:09.133,0:11:10.759
usando coordenadas cartesianas,

0:11:10.759,0:11:14.492
num plano euclidiano, vamos obter uma linha.

0:11:14.492,0:11:15.846
E no futuro, verão que

0:11:15.846,0:11:17.723
há outros tipos de equações em que não vamos obter uma linha

0:11:17.723,0:11:21.656
mas uma curva ou qualquer coisa maluca ou funky.