WEBVTT

00:00:01.062 --> 00:00:03.636
Temos aqui uma imagem de René Descartes.

00:00:03.636 --> 00:00:05.698
Mais uma vez, uma das grandes mentes

00:00:05.698 --> 00:00:07.554
em matemática e filosofia.

00:00:07.554 --> 00:00:09.923
E acho que podem ver uma tendência aqui:

00:00:09.923 --> 00:00:13.190
que o grandes filósofos foram também grandes matemáticos

00:00:13.190 --> 00:00:15.200
e vice-versa.

00:00:15.200 --> 00:00:17.021
E ele era um contemporâneo de Galileu

00:00:17.021 --> 00:00:18.733
Era 32 anos mais novo.

00:00:18.733 --> 00:00:21.706
Embora tenha morrido pouco depois de Galileu.

00:00:21.706 --> 00:00:23.467
Morreu muito mais jovem.

00:00:23.467 --> 00:00:25.400
Galileu viveu até à casa dos 70.

00:00:25.400 --> 00:00:28.067
Descartes morreu logo aos 54 anos de idade.

00:00:28.067 --> 00:00:30.867
E ele é provavelmente mais conhecido na cultura popular,

00:00:30.867 --> 00:00:32.733
por esta frase aqui,

00:00:32.733 --> 00:00:33.800
uma frase muito filosófica:

00:00:33.800 --> 00:00:35.867
"Penso, logo, existo."

00:00:35.867 --> 00:00:37.467
Mas eu queria também mostrar,

00:00:37.467 --> 00:00:38.867
e isto não está assim tão relacionado com álgebra,

00:00:38.867 --> 00:00:40.733
mas achei que era uma citação bastante bonita.

00:00:40.733 --> 00:00:42.800
Provavelmente a sua frase menos famosa,

00:00:42.800 --> 00:00:44.467
esta aqui.

00:00:44.467 --> 00:00:46.800
E eu gosto dela porque é muito prática

00:00:46.800 --> 00:00:48.852
e faz-nos perceber que estas grandes mentes,

NOTE Paragraph

00:00:48.852 --> 00:00:51.113
estes pilares da filosofia e da matemática,

00:00:51.113 --> 00:00:52.282
no final do dia,

00:00:52.282 --> 00:00:54.467
eram apenas seres humanos.

00:00:54.467 --> 00:00:56.498
Ele disse: "Continuamos a insistir.

00:00:56.498 --> 00:00:58.133
Continuamos a insistir.

00:00:58.133 --> 00:01:00.015
Cometi todos os erros que poderiam ser cometidos.

00:01:00.015 --> 00:01:02.031
Mas continuei sempre a insistir."

00:01:02.031 --> 00:01:05.267
Que eu acho que é um conselho muito bom para a vida.

00:01:05.267 --> 00:01:07.733
Ele fez muitas coisas

00:01:07.733 --> 00:01:09.077
em filosofia e matemática,

00:01:09.077 --> 00:01:11.062
mas a razão por que o estou a incluir aqui,

00:01:11.062 --> 00:01:12.933
à medida que construímos os fundamentos da álgebra,

00:01:12.933 --> 00:01:15.600
é porque ele é o indivíduo

00:01:15.600 --> 00:01:18.800
mais responsável por uma conexão muito forte

00:01:18.800 --> 00:01:21.425
entre álgebra e geometria.

00:01:21.425 --> 00:01:22.898
Aqui à esquerda

00:01:22.898 --> 00:01:24.752
temos o mundo da álgebra.

00:01:24.752 --> 00:01:26.415
Já discutimos isto um pouco.

00:01:26.415 --> 00:01:28.477
Temos equações que lidam com símbolos

00:01:28.477 --> 00:01:30.236
e estes símbolos são essencialmente,

00:01:30.236 --> 00:01:31.933
eles podem tomar valores,

00:01:31.933 --> 00:01:32.800
para que possamos ter algo como

00:01:32.800 --> 00:01:37.677
y = 2x - 1.

00:01:37.677 --> 00:01:39.267
Isto dá-nos uma relação

00:01:39.267 --> 00:01:40.733
entre o que quer que x seja

00:01:40.733 --> 00:01:42.133
e o que quer que y seja.

00:01:42.133 --> 00:01:44.333
E até podemos fazer uma tabela aqui

00:01:44.333 --> 00:01:46.733
e escolher valores para x

00:01:46.733 --> 00:01:48.292
e ver quais seriam os valores de y.

00:01:48.292 --> 00:01:51.652
Posso escolher valores aleatórios para x

00:01:51.652 --> 00:01:53.133
e, em seguida, descobrir o que y é.

00:01:53.133 --> 00:01:55.000
Mas vou escolher valores relativamente simples

00:01:55.000 --> 00:01:57.662
para que a matemática não fique muito complicada.

00:01:57.662 --> 00:01:59.252
Por exemplo,

00:01:59.252 --> 00:02:00.533
se x é -2

00:02:00.533 --> 00:02:03.600
então, y vai ser 2 vezes -2 - 1

00:02:03.600 --> 00:02:06.513
2 x - 2 - 1

00:02:06.513 --> 00:02:10.113
que é -4 - 1

00:02:10.113 --> 00:02:12.267
que é -5.

00:02:12.267 --> 00:02:14.785
Se x é -1,

00:02:14.785 --> 00:02:20.452
então y vai ser 2 x -1 - 1,

00:02:20.452 --> 00:02:21.733
que é igual a

00:02:21.733 --> 00:02:24.554
Isto é -2 - 1, que é -3

00:02:24.554 --> 00:02:28.725
Se x = 0,

00:02:28.725 --> 00:02:32.590
então y vai ser 2 x 0 - 1

00:02:32.600 --> 00:02:35.667
2 x 0 é 0 - 1 é -1.

00:02:35.667 --> 00:02:37.333
Vou fazer mais alguns.

00:02:37.333 --> 00:02:38.282
Se x é 1,

00:02:38.282 --> 00:02:39.421
e eu poderia ter escolhido qualquer valor.

00:02:39.421 --> 00:02:40.352
Eu poderia deizer: o que acontece

00:02:40.352 --> 00:02:42.005
se x é a raiz quadrada negativa de 2,

00:02:42.005 --> 00:02:45.067
ou o que acontece se x é -5 metades

00:02:45.067 --> 00:02:47.867
ou seis sétimos positivos.

00:02:47.867 --> 00:02:49.000
Mas estou a escolher estes números

00:02:49.000 --> 00:02:50.600
porque torna as contas muito mais fáceis

00:02:50.600 --> 00:02:52.600
quando tento descobrir o que y vai ser.

00:02:52.600 --> 00:02:54.133
Mas quando x é 1

00:02:54.133 --> 00:02:57.338
y vai ser 2(1) - 1

00:02:57.338 --> 00:02:59.733
2 x 1 é 2 - 1 é 1.

00:02:59.733 --> 00:03:03.052
E vou fazer mais um.

00:03:03.052 --> 00:03:05.133
Numa côr que ainda não tenha usado.

00:03:05.133 --> 00:03:06.667
Neste roxo.

00:03:06.667 --> 00:03:08.041
Se x for 2,

00:03:08.041 --> 00:03:09.333
então y vai ser

00:03:09.333 --> 00:03:14.005
2(2) - 1 (agora que x é 2)

00:03:14.005 --> 00:03:16.615
que é 4 - 1 é igual a 3.

00:03:16.615 --> 00:03:17.800
Nada mau.

00:03:17.800 --> 00:03:19.548
Eu como que repeti esta relacão.

00:03:19.548 --> 00:03:22.533
OK, isto descreve uma relação geral

00:03:22.533 --> 00:03:25.200
entre uma variável y e uma variável x

00:03:25.200 --> 00:03:26.908
depois concretizei um pouco mais.

00:03:26.908 --> 00:03:28.000
Eu disse:

00:03:28.000 --> 00:03:29.882
se x é uma dessas variáveis

00:03:29.882 --> 00:03:31.200
para cada um destes valores de x,

00:03:31.200 --> 00:03:33.800
qual seria o valor correspondente de y?

00:03:33.800 --> 00:03:35.698
E o que Descartes descobriu

00:03:35.717 --> 00:03:37.467
foi que podemos visualizar isto.

00:03:37.467 --> 00:03:40.405
Primeiro, podemos visualizar estes pontos individuais.

00:03:40.405 --> 00:03:42.667
Mas isto também nos pode ajudar, em geral,

00:03:42.667 --> 00:03:45.800
a visualizar esta relação.

00:03:45.800 --> 00:03:47.333
Essencialmente, o que ele fez foi

00:03:47.333 --> 00:03:52.329
criar uma ponte entre os mundos desta álgebra simbólica muito abstrata

00:03:52.329 --> 00:03:55.200
e o da geometria, que se debruçava

00:03:55.200 --> 00:03:57.600
sobre formas e tamanhos e ângulos.

00:03:57.600 --> 00:04:02.933
Aqui temos o mundo da geometria.

00:04:02.933 --> 00:04:04.887
E, obviamente, há pessoas,

00:04:04.887 --> 00:04:07.067
talvez muitas, que a história pode ter esquecido,

00:04:07.067 --> 00:04:09.067
que podem ter-se ocupado disto.

00:04:09.067 --> 00:04:12.467
Mas, antes de Descartes, é geralmente tido

00:04:12.467 --> 00:04:14.800
que a geometria era geometria euclidiana.

00:04:14.800 --> 00:04:16.133
E essa é essencialmente a geometria

00:04:16.133 --> 00:04:17.533
que estudámos nas aulas de geometria,

00:04:17.533 --> 00:04:20.333
no 8º ou no 9º ou no 10º anos,

00:04:20.333 --> 00:04:22.533
num currículo normal de escola secundária.

00:04:22.533 --> 00:04:24.200
E essa é a geometria que estuda

00:04:24.200 --> 00:04:28.554
as relações entre os triângulos e os seus ângulos

00:04:28.554 --> 00:04:30.667
e as relações entre círculos.

00:04:30.667 --> 00:04:33.887
E depois temos os raios e triângulos

00:04:33.887 --> 00:04:36.200
inscritos em círculos e tudo o resto.

00:04:36.200 --> 00:04:37.190
E vamos aprofundar um pouco isso

00:04:37.190 --> 00:04:39.667
na lista de reprodução de geometria.

00:04:39.667 --> 00:04:42.938
Mas Descarte diz: 'eu acho que posso representar isto visualmente

00:04:42.938 --> 00:04:46.581
da mesma forma que Euclides estava a estudar estes triângulos e estes círculos'

00:04:46.581 --> 00:04:48.299
Ele disse 'por que não o faço?'

00:04:48.299 --> 00:04:50.575
Se virmos um pedaço de papel

00:04:50.575 --> 00:04:52.339
e pensarmos sobre um plano bidimensional,

00:04:52.339 --> 00:04:53.825
podemos ver um pedaço de papel

00:04:53.825 --> 00:04:55.915
como uma espécie de secção de um plano bidimensional.

00:04:55.915 --> 00:04:57.819
Chamamos-lhe duas dimensões

00:04:57.819 --> 00:04:59.584
porque há duas direcções em que podemos ir.

00:04:59.584 --> 00:05:01.256
Há a direcção cima baixo,

00:05:01.256 --> 00:05:02.510
isto é uma direção.

00:05:02.510 --> 00:05:04.825
Deixem-me desenhar, vou fazê-lo em azul.

00:05:04.841 --> 00:05:06.666
porque estamos a tentar visualizar as coisas

00:05:06.666 --> 00:05:08.384
por isso vou fazê-lo na cor da geometria.

00:05:08.384 --> 00:05:11.827
Então, temos a direção cima baixo

00:05:11.827 --> 00:05:14.139
e temos a direcção esquerda direita.

00:05:14.139 --> 00:05:16.720
É por isso que é chamado um plano bidimensional.

00:05:16.720 --> 00:05:18.160
Se estivéssemos a lidar com três dimensões

00:05:18.160 --> 00:05:21.339
teríamos uma dimensão dentro fora.

00:05:21.339 --> 00:05:23.200
E é muito fácil fazer duas dimensões no ecrã

00:05:23.200 --> 00:05:25.425
porque o ecrã é bidimensional.

00:05:25.425 --> 00:05:27.071
E diz ele: 'sabemos que

00:05:27.071 --> 00:05:29.744
há duas variáveis aqui e elas têm esta relação.

00:05:29.744 --> 00:05:32.548
Então por que não associar cada uma destas variáveis

00:05:32.548 --> 00:05:34.600
com uma destas dimensões aqui?'

00:05:34.600 --> 00:05:38.010
E, por convenção, vamos fazer a variável y

00:05:38.010 --> 00:05:39.421
que é a variável dependente.

00:05:39.421 --> 00:05:40.456
A maneira como o fizemos

00:05:40.456 --> 00:05:41.815
depende do que x é.

00:05:41.815 --> 00:05:43.605
Vamos colocá-la no eixo vertical.

00:05:43.605 --> 00:05:45.333
E vamos colocar a nossa variável independente,

00:05:45.333 --> 00:05:46.800
aquela para que selecionei valores aletórios

00:05:46.800 --> 00:05:48.348
para ver o que se tornaria y,

00:05:48.348 --> 00:05:50.867
vamos colocá-la no eixo horizontal.

00:05:50.867 --> 00:05:52.533
E foi na verdade Descartes quem

00:05:52.533 --> 00:05:55.600
criou a convenção de usar x's e y's

00:05:55.600 --> 00:05:58.600
e, veremos mais tarde, z's em álgebra, tão extensivamente

00:05:58.600 --> 00:06:02.098
como variáveis desconhecidas ou as variáveis que estamos a manipular.

00:06:02.098 --> 00:06:03.867
Mas diz ele 'se pensarmos desta forma

00:06:03.867 --> 00:06:07.452
se numerarmos estas dimensões'

00:06:07.452 --> 00:06:09.723
Então, vamos dizer que na direção x,

00:06:09.723 --> 00:06:15.702
vamos fazer isto aqui -3.

00:06:15.702 --> 00:06:17.805
Isto será -2.

00:06:17.805 --> 00:06:19.498
Isto é -1.

00:06:19.498 --> 00:06:21.067
Isto é 0

00:06:21.067 --> 00:06:23.800
Estou apenas a numerar a direcção x,

00:06:23.800 --> 00:06:25.333
a direcção esquerda direita.

00:06:25.333 --> 00:06:26.837
Agora, isto é 1 positivo.

00:06:26.837 --> 00:06:28.338
Isto é 2 positivo.

00:06:28.338 --> 00:06:30.169
E isto é 3 positivo.

00:06:30.169 --> 00:06:32.333
E podíamos fazer o mesmo na direção y.

00:06:32.333 --> 00:06:34.400
Então isto podia ser

00:06:34.400 --> 00:06:40.400
-5, -4, -3.

00:06:40.400 --> 00:06:42.333
Na verdade, deixem-me fazer isto um pouco mais direito.

00:06:42.333 --> 00:06:45.067
Deixem-me limpar isto um pouco.

00:06:45.067 --> 00:06:47.800
Deixe-me apagar isto e estender isto um pouco para baixo

00:06:47.800 --> 00:06:49.533
para conseguir ir até -5

00:06:49.533 --> 00:06:51.867
sem torná-lo demasiado confuso.

00:06:51.867 --> 00:06:53.410
Vamos tudo para baixo aqui,

00:06:53.410 --> 00:06:54.867
E podemos numerá-lo:

00:06:54.867 --> 00:06:58.144
isto é 1, isto é 2, isto é 3,

00:06:58.144 --> 00:07:00.867
e isto pode ser -1,

00:07:00.867 --> 00:07:02.733
-2, e isto são apenas convenções,

00:07:02.733 --> 00:07:04.067
podia ter sido rotulado ao contrário.

00:07:04.067 --> 00:07:05.692
Podíamos ter decidido colocar o x ali

00:07:05.692 --> 00:07:06.733
e o y ali.

00:07:06.733 --> 00:07:07.969
E tornar esta a direcção positiva,

00:07:07.969 --> 00:07:09.277
e esta a direcção negativa.

00:07:09.277 --> 00:07:11.333
Mas é apenas uma convenção que as pessoas adoptaram,

00:07:11.333 --> 00:07:12.733
começando com Descartes.

00:07:12.733 --> 00:07:18.062
-2, -3, -4 e -5.

00:07:18.062 --> 00:07:20.200
E ele diz 'acho que consigo associar

00:07:20.200 --> 00:07:22.667
cada um destes pares de valores com

00:07:22.667 --> 00:07:25.333
um ponto em duas dimensões.

00:07:25.333 --> 00:07:28.467
Posso tomar a coordenada x, posso tomar o valor de x

00:07:28.467 --> 00:07:30.333
e digo 'Ok, isto é -2

00:07:30.333 --> 00:07:34.195
que estaria aqui, na direcção esquerda direita.

00:07:34.195 --> 00:07:35.831
Estou a ir para a esquerda porque é negativo.

00:07:35.831 --> 00:07:39.395
E está associado a -5 na direcção vertical.

00:07:39.395 --> 00:07:41.667
O valor de y é -5.

00:07:41.667 --> 00:07:46.400
Então, se eu fôr 2 para a esquerda e 5 para baixo

00:07:46.400 --> 00:07:49.267
chego a este ponto aqui.

00:07:49.267 --> 00:07:53.518
Diz ele 'estes dois valores -2 e -5,

00:07:53.518 --> 00:07:55.733
posso associá-los com este ponto

00:07:55.733 --> 00:07:59.133
neste plano aqui, neste plano bidimensional.

00:07:59.133 --> 00:08:02.933
Este ponto tem as coordenadas,

00:08:02.933 --> 00:08:06.400
diz-me onde posso encontrar esse ponto (-2, -5).

00:08:06.400 --> 00:08:08.959
E estas coordenadas chamam-se 'coordenadas cartesianas',

00:08:08.959 --> 00:08:12.077
o nome de René Descartes,

00:08:12.077 --> 00:08:13.800
porque foi ele que as inventou.

00:08:13.800 --> 00:08:15.067
Ele veio associar estas relações

00:08:15.067 --> 00:08:17.667
a pontos num plano de coordenadas.

00:08:17.667 --> 00:08:19.800
E diz ainda 'vamos fazer um outro,

00:08:19.800 --> 00:08:21.600
há uma outra relação'.

00:08:21.600 --> 00:08:27.452
Quando x é igual a -1, y = -3.

00:08:27.452 --> 00:08:30.031
Portanto, x é -1, y é -3.

00:08:30.031 --> 00:08:31.544
É aquele ponto ali.

00:08:31.544 --> 00:08:33.333
E a convenção é uma vez mais:

00:08:33.333 --> 00:08:34.375
'Quando se listam as coordenadas,

00:08:34.375 --> 00:08:36.600
lista-se a coordenada x e, em seguida, a coordenada y'.

00:08:36.600 --> 00:08:38.400
É o que as pessoas decidiram fazer.

00:08:38.400 --> 00:08:42.067
-1, -3 seria aquele ponto ali.

00:08:42.067 --> 00:08:45.933
E depois temos o ponto em que x é 0, y é -1.

00:08:45.933 --> 00:08:48.067
Quando x é 0, aqui,

00:08:48.067 --> 00:08:50.267
significa que não vou nem para a esquerda nem para a direita.

00:08:50.267 --> 00:08:52.667
y é -1, o que significa que vou 1 para baixo.

00:08:52.667 --> 00:08:56.390
Portanto é aquele ponto ali. (0, -1)

00:08:56.390 --> 00:08:57.359
Ali.

00:08:57.359 --> 00:08:58.852
Eu podia continuar a fazer isto.

00:08:58.852 --> 00:09:03.810
Quando x é 1, y é 1.

00:09:03.810 --> 00:09:09.575
Quando x é 2, y é 3.

00:09:09.575 --> 00:09:11.733
Deixem-me fazer isso na mesma cor roxa.

00:09:11.733 --> 00:09:15.400
Quando x é 2, y é 3.

00:09:15.400 --> 00:09:20.652
2,3 e, em seguida, este aqui em laranja era 1,1.

00:09:20.652 --> 00:09:22.195
E isto fica direito por si..

00:09:22.195 --> 00:09:24.615
Eu apenas amostrei possíveis x's.

00:09:24.615 --> 00:09:25.867
Mas o que ele percebeu foi

00:09:25.867 --> 00:09:27.775
não só podemos amostrar estes possíveis x's,

00:09:27.775 --> 00:09:29.677
como poderíamos continuar amostrando x's.

00:09:29.677 --> 00:09:31.318
Se tentássemos amostrar todos os x's de entremeio,

00:09:31.318 --> 00:09:34.000
acabaríamos por traçar uma linha.

00:09:34.000 --> 00:09:36.067
Portanto, se fossemos fazer todos os x's possíveis

00:09:36.067 --> 00:09:38.067
ficaríamos com uma linha.

00:09:38.067 --> 00:09:44.492
que seria algo como isto... ali.

00:09:44.492 --> 00:09:47.533
E qualquer relação, se tomarmos qualquer x

00:09:47.533 --> 00:09:50.867
e encontrar qualquer y, representa realmente um ponto nesta linha,

00:09:50.867 --> 00:09:52.400
Ou, outra maneira de pensar nisso:

00:09:52.400 --> 00:09:54.171
qualquer ponto nesta linha representa

00:09:54.171 --> 00:09:57.051
uma solução para esta equação aqui.

00:09:57.051 --> 00:09:58.902
Se temos este ponto aqui,

00:09:58.902 --> 00:10:01.600
que parece que x é 1 e meio.

00:10:01.600 --> 00:10:03.467
y é 2. Deixem-me escrever isso

00:10:03.467 --> 00:10:07.133
1.5,2

00:10:07.133 --> 00:10:09.133
é uma solução para esta equação.

00:10:09.133 --> 00:10:13.652
Quando x é 1.5: 2 x 1.5 é 3 - 1 é 2.

00:10:13.652 --> 00:10:15.600
Isto é ali.

00:10:15.600 --> 00:10:17.400
De repente ele foi capaz de preencher

00:10:17.400 --> 00:10:22.400
esta lacuna ou esta relação entre álgebra e geometria.

00:10:22.400 --> 00:10:27.133
Podemos agora visualizar todos os pares x e y

00:10:27.133 --> 00:10:31.498
que satisfazem esta equação aqui.

00:10:31.498 --> 00:10:36.092
Ele é responsável por criar esta ponte

00:10:36.092 --> 00:10:38.067
e é por isso que as coordenadas que usamos

00:10:38.067 --> 00:10:42.677
para especificar estes pontos se chamam "coordenadas cartesianas".

00:10:42.677 --> 00:10:45.467
E como veremos, o primeiro tipo de equações

00:10:45.467 --> 00:10:48.600
que vamos estudar são equações desta forma.

00:10:48.600 --> 00:10:50.446
Num currículo de álgebra tradicional,

00:10:50.446 --> 00:10:52.733
chamam-se a equações lineares...

00:10:52.733 --> 00:10:55.733
equações lineares.

00:10:55.733 --> 00:10:57.738
Podem dizer 'bem, isto é uma equação,

00:10:57.738 --> 00:10:59.533
vejo que isto é igual àquilo,

00:10:59.533 --> 00:11:00.744
mas o que há de linear sobre eles?

00:11:00.744 --> 00:11:02.333
O que os faz parecer com uma linha?'

00:11:02.333 --> 00:11:04.379
Para compreender por que é que são lineares,

00:11:04.379 --> 00:11:07.467
temos que dar o salto que René Descartes deu.

00:11:07.467 --> 00:11:09.133
Porque se formos desenhar isto,

00:11:09.133 --> 00:11:10.759
usando coordenadas cartesianas,

00:11:10.759 --> 00:11:14.492
num plano euclidiano, vamos obter uma linha.

00:11:14.492 --> 00:11:15.846
E no futuro, verão que

00:11:15.846 --> 00:11:17.723
há outros tipos de equações em que não vamos obter uma linha

00:11:17.723 --> 00:11:21.656
mas uma curva ou qualquer coisa maluca ou funky.