1
00:00:01,062 --> 00:00:03,636
Temos aqui uma imagem de René Descartes.

2
00:00:03,636 --> 00:00:05,698
Mais uma vez, uma das grandes mentes

3
00:00:05,698 --> 00:00:07,554
em matemática e filosofia.

4
00:00:07,554 --> 00:00:09,923
E acho que podem ver uma tendência aqui:

5
00:00:09,923 --> 00:00:13,190
que o grandes filósofos foram também grandes matemáticos

6
00:00:13,190 --> 00:00:15,200
e vice-versa.

7
00:00:15,200 --> 00:00:17,021
E ele era um contemporâneo de Galileu

8
00:00:17,021 --> 00:00:18,733
Era 32 anos mais novo.

9
00:00:18,733 --> 00:00:21,706
Embora tenha morrido pouco depois de Galileu.

10
00:00:21,706 --> 00:00:23,467
Morreu muito mais jovem.

11
00:00:23,467 --> 00:00:25,400
Galileu viveu até à casa dos 70.

12
00:00:25,400 --> 00:00:28,067
Descartes morreu logo aos 54 anos de idade.

13
00:00:28,067 --> 00:00:30,867
E ele é provavelmente mais conhecido na cultura popular,

14
00:00:30,867 --> 00:00:32,733
por esta frase aqui,

15
00:00:32,733 --> 00:00:33,800
uma frase muito filosófica:

16
00:00:33,800 --> 00:00:35,867
"Penso, logo, existo."

17
00:00:35,867 --> 00:00:37,467
Mas eu queria também mostrar,

18
00:00:37,467 --> 00:00:38,867
e isto não está assim tão relacionado com álgebra,

19
00:00:38,867 --> 00:00:40,733
mas achei que era uma citação bastante bonita.

20
00:00:40,733 --> 00:00:42,800
Provavelmente a sua frase menos famosa,

21
00:00:42,800 --> 00:00:44,467
esta aqui.

22
00:00:44,467 --> 00:00:46,800
E eu gosto dela porque é muito prática

23
00:00:46,800 --> 00:00:48,852
e faz-nos perceber que estas grandes mentes,

24
00:00:48,852 --> 00:00:51,113
estes pilares da filosofia e da matemática,

25
00:00:51,113 --> 00:00:52,282
no final do dia,

26
00:00:52,282 --> 00:00:54,467
eram apenas seres humanos.

27
00:00:54,467 --> 00:00:56,498
Ele disse: "Continuamos a insistir.

28
00:00:56,498 --> 00:00:58,133
Continuamos a insistir.

29
00:00:58,133 --> 00:01:00,015
Cometi todos os erros que poderiam ser cometidos.

30
00:01:00,015 --> 00:01:02,031
Mas continuei sempre a insistir."

31
00:01:02,031 --> 00:01:05,267
Que eu acho que é um conselho muito bom para a vida.

32
00:01:05,267 --> 00:01:07,733
Ele fez muitas coisas

33
00:01:07,733 --> 00:01:09,077
em filosofia e matemática,

34
00:01:09,077 --> 00:01:11,062
mas a razão por que o estou a incluir aqui,

35
00:01:11,062 --> 00:01:12,933
à medida que construímos os fundamentos da álgebra,

36
00:01:12,933 --> 00:01:15,600
é porque ele é o indivíduo

37
00:01:15,600 --> 00:01:18,800
mais responsável por uma conexão muito forte

38
00:01:18,800 --> 00:01:21,425
entre álgebra e geometria.

39
00:01:21,425 --> 00:01:22,898
Aqui à esquerda

40
00:01:22,898 --> 00:01:24,752
temos o mundo da álgebra.

41
00:01:24,752 --> 00:01:26,415
Já discutimos isto um pouco.

42
00:01:26,415 --> 00:01:28,477
Temos equações que lidam com símbolos

43
00:01:28,477 --> 00:01:30,236
e estes símbolos são essencialmente,

44
00:01:30,236 --> 00:01:31,933
eles podem tomar valores,

45
00:01:31,933 --> 00:01:32,800
para que possamos ter algo como

46
00:01:32,800 --> 00:01:37,677
y = 2x - 1.

47
00:01:37,677 --> 00:01:39,267
Isto dá-nos uma relação

48
00:01:39,267 --> 00:01:40,733
entre o que quer que x seja

49
00:01:40,733 --> 00:01:42,133
e o que quer que y seja.

50
00:01:42,133 --> 00:01:44,333
E até podemos fazer uma tabela aqui

51
00:01:44,333 --> 00:01:46,733
e escolher valores para x

52
00:01:46,733 --> 00:01:48,292
e ver quais seriam os valores de y.

53
00:01:48,292 --> 00:01:51,652
Posso escolher valores aleatórios para x

54
00:01:51,652 --> 00:01:53,133
e, em seguida, descobrir o que y é.

55
00:01:53,133 --> 00:01:55,000
Mas vou escolher valores relativamente simples

56
00:01:55,000 --> 00:01:57,662
para que a matemática não fique muito complicada.

57
00:01:57,662 --> 00:01:59,252
Por exemplo,

58
00:01:59,252 --> 00:02:00,533
se x é -2

59
00:02:00,533 --> 00:02:03,600
então, y vai ser 2 vezes -2 - 1

60
00:02:03,600 --> 00:02:06,513
2 x - 2 - 1

61
00:02:06,513 --> 00:02:10,113
que é -4 - 1

62
00:02:10,113 --> 00:02:12,267
que é -5.

63
00:02:12,267 --> 00:02:14,785
Se x é -1,

64
00:02:14,785 --> 00:02:20,452
então y vai ser 2 x -1 - 1,

65
00:02:20,452 --> 00:02:21,733
que é igual a

66
00:02:21,733 --> 00:02:24,554
Isto é -2 - 1, que é -3

67
00:02:24,554 --> 00:02:28,725
Se x = 0,

68
00:02:28,725 --> 00:02:32,590
então y vai ser 2 x 0 - 1

69
00:02:32,600 --> 00:02:35,667
2 x 0 é 0 - 1 é -1.

70
00:02:35,667 --> 00:02:37,333
Vou fazer mais alguns.

71
00:02:37,333 --> 00:02:38,282
Se x é 1,

72
00:02:38,282 --> 00:02:39,421
e eu poderia ter escolhido qualquer valor.

73
00:02:39,421 --> 00:02:40,352
Eu poderia deizer: o que acontece

74
00:02:40,352 --> 00:02:42,005
se x é a raiz quadrada negativa de 2,

75
00:02:42,005 --> 00:02:45,067
ou o que acontece se x é -5 metades

76
00:02:45,067 --> 00:02:47,867
ou seis sétimos positivos.

77
00:02:47,867 --> 00:02:49,000
Mas estou a escolher estes números

78
00:02:49,000 --> 00:02:50,600
porque torna as contas muito mais fáceis

79
00:02:50,600 --> 00:02:52,600
quando tento descobrir o que y vai ser.

80
00:02:52,600 --> 00:02:54,133
Mas quando x é 1

81
00:02:54,133 --> 00:02:57,338
y vai ser 2(1) - 1

82
00:02:57,338 --> 00:02:59,733
2 x 1 é 2 - 1 é 1.

83
00:02:59,733 --> 00:03:03,052
E vou fazer mais um.

84
00:03:03,052 --> 00:03:05,133
Numa côr que ainda não tenha usado.

85
00:03:05,133 --> 00:03:06,667
Neste roxo.

86
00:03:06,667 --> 00:03:08,041
Se x for 2,

87
00:03:08,041 --> 00:03:09,333
então y vai ser

88
00:03:09,333 --> 00:03:14,005
2(2) - 1 (agora que x é 2)

89
00:03:14,005 --> 00:03:16,615
que é 4 - 1 é igual a 3.

90
00:03:16,615 --> 00:03:17,800
Nada mau.

91
00:03:17,800 --> 00:03:19,548
Eu como que repeti esta relacão.

92
00:03:19,548 --> 00:03:22,533
OK, isto descreve uma relação geral

93
00:03:22,533 --> 00:03:25,200
entre uma variável y e uma variável x

94
00:03:25,200 --> 00:03:26,908
depois concretizei um pouco mais.

95
00:03:26,908 --> 00:03:28,000
Eu disse:

96
00:03:28,000 --> 00:03:29,882
se x é uma dessas variáveis

97
00:03:29,882 --> 00:03:31,200
para cada um destes valores de x,

98
00:03:31,200 --> 00:03:33,800
qual seria o valor correspondente de y?

99
00:03:33,800 --> 00:03:35,698
E o que Descartes descobriu

100
00:03:35,717 --> 00:03:37,467
foi que podemos visualizar isto.

101
00:03:37,467 --> 00:03:40,405
Primeiro, podemos visualizar estes pontos individuais.

102
00:03:40,405 --> 00:03:42,667
Mas isto também nos pode ajudar, em geral,

103
00:03:42,667 --> 00:03:45,800
a visualizar esta relação.

104
00:03:45,800 --> 00:03:47,333
Essencialmente, o que ele fez foi

105
00:03:47,333 --> 00:03:52,329
criar uma ponte entre os mundos desta álgebra simbólica muito abstrata

106
00:03:52,329 --> 00:03:55,200
e o da geometria, que se debruçava

107
00:03:55,200 --> 00:03:57,600
sobre formas e tamanhos e ângulos.

108
00:03:57,600 --> 00:04:02,933
Aqui temos o mundo da geometria.

109
00:04:02,933 --> 00:04:04,887
E, obviamente, há pessoas,

110
00:04:04,887 --> 00:04:07,067
talvez muitas, que a história pode ter esquecido,

111
00:04:07,067 --> 00:04:09,067
que podem ter-se ocupado disto.

112
00:04:09,067 --> 00:04:12,467
Mas, antes de Descartes, é geralmente tido

113
00:04:12,467 --> 00:04:14,800
que a geometria era geometria euclidiana.

114
00:04:14,800 --> 00:04:16,133
E essa é essencialmente a geometria

115
00:04:16,133 --> 00:04:17,533
que estudámos nas aulas de geometria,

116
00:04:17,533 --> 00:04:20,333
no 8º ou no 9º ou no 10º anos,

117
00:04:20,333 --> 00:04:22,533
num currículo normal de escola secundária.

118
00:04:22,533 --> 00:04:24,200
E essa é a geometria que estuda

119
00:04:24,200 --> 00:04:28,554
as relações entre os triângulos e os seus ângulos

120
00:04:28,554 --> 00:04:30,667
e as relações entre círculos.

121
00:04:30,667 --> 00:04:33,887
E depois temos os raios e triângulos

122
00:04:33,887 --> 00:04:36,200
inscritos em círculos e tudo o resto.

123
00:04:36,200 --> 00:04:37,190
E vamos aprofundar um pouco isso

124
00:04:37,190 --> 00:04:39,667
na lista de reprodução de geometria.

125
00:04:39,667 --> 00:04:42,938
Mas Descarte diz: 'eu acho que posso representar isto visualmente

126
00:04:42,938 --> 00:04:46,581
da mesma forma que Euclides estava a estudar estes triângulos e estes círculos'

127
00:04:46,581 --> 00:04:48,299
Ele disse 'por que não o faço?'

128
00:04:48,299 --> 00:04:50,575
Se virmos um pedaço de papel

129
00:04:50,575 --> 00:04:52,339
e pensarmos sobre um plano bidimensional,

130
00:04:52,339 --> 00:04:53,825
podemos ver um pedaço de papel

131
00:04:53,825 --> 00:04:55,915
como uma espécie de secção de um plano bidimensional.

132
00:04:55,915 --> 00:04:57,819
Chamamos-lhe duas dimensões

133
00:04:57,819 --> 00:04:59,584
porque há duas direcções em que podemos ir.

134
00:04:59,584 --> 00:05:01,256
Há a direcção cima baixo,

135
00:05:01,256 --> 00:05:02,510
isto é uma direção.

136
00:05:02,510 --> 00:05:04,825
Deixem-me desenhar, vou fazê-lo em azul.

137
00:05:04,841 --> 00:05:06,666
porque estamos a tentar visualizar as coisas

138
00:05:06,666 --> 00:05:08,384
por isso vou fazê-lo na cor da geometria.

139
00:05:08,384 --> 00:05:11,827
Então, temos a direção cima baixo

140
00:05:11,827 --> 00:05:14,139
e temos a direcção esquerda direita.

141
00:05:14,139 --> 00:05:16,720
É por isso que é chamado um plano bidimensional.

142
00:05:16,720 --> 00:05:18,160
Se estivéssemos a lidar com três dimensões

143
00:05:18,160 --> 00:05:21,339
teríamos uma dimensão dentro fora.

144
00:05:21,339 --> 00:05:23,200
E é muito fácil fazer duas dimensões no ecrã

145
00:05:23,200 --> 00:05:25,425
porque o ecrã é bidimensional.

146
00:05:25,425 --> 00:05:27,071
E diz ele: 'sabemos que

147
00:05:27,071 --> 00:05:29,744
há duas variáveis aqui e elas têm esta relação.

148
00:05:29,744 --> 00:05:32,548
Então por que não associar cada uma destas variáveis

149
00:05:32,548 --> 00:05:34,600
com uma destas dimensões aqui?'

150
00:05:34,600 --> 00:05:38,010
E, por convenção, vamos fazer a variável y

151
00:05:38,010 --> 00:05:39,421
que é a variável dependente.

152
00:05:39,421 --> 00:05:40,456
A maneira como o fizemos

153
00:05:40,456 --> 00:05:41,815
depende do que x é.

154
00:05:41,815 --> 00:05:43,605
Vamos colocá-la no eixo vertical.

155
00:05:43,605 --> 00:05:45,333
E vamos colocar a nossa variável independente,

156
00:05:45,333 --> 00:05:46,800
aquela para que selecionei valores aletórios

157
00:05:46,800 --> 00:05:48,348
para ver o que se tornaria y,

158
00:05:48,348 --> 00:05:50,867
vamos colocá-la no eixo horizontal.

159
00:05:50,867 --> 00:05:52,533
E foi na verdade Descartes quem

160
00:05:52,533 --> 00:05:55,600
criou a convenção de usar x's e y's

161
00:05:55,600 --> 00:05:58,600
e, veremos mais tarde, z's em álgebra, tão extensivamente

162
00:05:58,600 --> 00:06:02,098
como variáveis desconhecidas ou as variáveis que estamos a manipular.

163
00:06:02,098 --> 00:06:03,867
Mas diz ele 'se pensarmos desta forma

164
00:06:03,867 --> 00:06:07,452
se numerarmos estas dimensões'

165
00:06:07,452 --> 00:06:09,723
Então, vamos dizer que na direção x,

166
00:06:09,723 --> 00:06:15,702
vamos fazer isto aqui -3.

167
00:06:15,702 --> 00:06:17,805
Isto será -2.

168
00:06:17,805 --> 00:06:19,498
Isto é -1.

169
00:06:19,498 --> 00:06:21,067
Isto é 0

170
00:06:21,067 --> 00:06:23,800
Estou apenas a numerar a direcção x,

171
00:06:23,800 --> 00:06:25,333
a direcção esquerda direita.

172
00:06:25,333 --> 00:06:26,837
Agora, isto é 1 positivo.

173
00:06:26,837 --> 00:06:28,338
Isto é 2 positivo.

174
00:06:28,338 --> 00:06:30,169
E isto é 3 positivo.

175
00:06:30,169 --> 00:06:32,333
E podíamos fazer o mesmo na direção y.

176
00:06:32,333 --> 00:06:34,400
Então isto podia ser

177
00:06:34,400 --> 00:06:40,400
-5, -4, -3.

178
00:06:40,400 --> 00:06:42,333
Na verdade, deixem-me fazer isto um pouco mais direito.

179
00:06:42,333 --> 00:06:45,067
Deixem-me limpar isto um pouco.

180
00:06:45,067 --> 00:06:47,800
Deixe-me apagar isto e estender isto um pouco para baixo

181
00:06:47,800 --> 00:06:49,533
para conseguir ir até -5

182
00:06:49,533 --> 00:06:51,867
sem torná-lo demasiado confuso.

183
00:06:51,867 --> 00:06:53,410
Vamos tudo para baixo aqui,

184
00:06:53,410 --> 00:06:54,867
E podemos numerá-lo:

185
00:06:54,867 --> 00:06:58,144
isto é 1, isto é 2, isto é 3,

186
00:06:58,144 --> 00:07:00,867
e isto pode ser -1,

187
00:07:00,867 --> 00:07:02,733
-2, e isto são apenas convenções,

188
00:07:02,733 --> 00:07:04,067
podia ter sido rotulado ao contrário.

189
00:07:04,067 --> 00:07:05,692
Podíamos ter decidido colocar o x ali

190
00:07:05,692 --> 00:07:06,733
e o y ali.

191
00:07:06,733 --> 00:07:07,969
E tornar esta a direcção positiva,

192
00:07:07,969 --> 00:07:09,277
e esta a direcção negativa.

193
00:07:09,277 --> 00:07:11,333
Mas é apenas uma convenção que as pessoas adoptaram,

194
00:07:11,333 --> 00:07:12,733
começando com Descartes.

195
00:07:12,733 --> 00:07:18,062
-2, -3, -4 e -5.

196
00:07:18,062 --> 00:07:20,200
E ele diz 'acho que consigo associar

197
00:07:20,200 --> 00:07:22,667
cada um destes pares de valores com

198
00:07:22,667 --> 00:07:25,333
um ponto em duas dimensões.

199
00:07:25,333 --> 00:07:28,467
Posso tomar a coordenada x, posso tomar o valor de x

200
00:07:28,467 --> 00:07:30,333
e digo 'Ok, isto é -2

201
00:07:30,333 --> 00:07:34,195
que estaria aqui, na direcção esquerda direita.

202
00:07:34,195 --> 00:07:35,831
Estou a ir para a esquerda porque é negativo.

203
00:07:35,831 --> 00:07:39,395
E está associado a -5 na direcção vertical.

204
00:07:39,395 --> 00:07:41,667
O valor de y é -5.

205
00:07:41,667 --> 00:07:46,400
Então, se eu fôr 2 para a esquerda e 5 para baixo

206
00:07:46,400 --> 00:07:49,267
chego a este ponto aqui.

207
00:07:49,267 --> 00:07:53,518
Diz ele 'estes dois valores -2 e -5,

208
00:07:53,518 --> 00:07:55,733
posso associá-los com este ponto

209
00:07:55,733 --> 00:07:59,133
neste plano aqui, neste plano bidimensional.

210
00:07:59,133 --> 00:08:02,933
Este ponto tem as coordenadas,

211
00:08:02,933 --> 00:08:06,400
diz-me onde posso encontrar esse ponto (-2, -5).

212
00:08:06,400 --> 00:08:08,959
E estas coordenadas chamam-se 'coordenadas cartesianas',

213
00:08:08,959 --> 00:08:12,077
o nome de René Descartes,

214
00:08:12,077 --> 00:08:13,800
porque foi ele que as inventou.

215
00:08:13,800 --> 00:08:15,067
Ele veio associar estas relações

216
00:08:15,067 --> 00:08:17,667
a pontos num plano de coordenadas.

217
00:08:17,667 --> 00:08:19,800
E diz ainda 'vamos fazer um outro,

218
00:08:19,800 --> 00:08:21,600
há uma outra relação'.

219
00:08:21,600 --> 00:08:27,452
Quando x é igual a -1, y = -3.

220
00:08:27,452 --> 00:08:30,031
Portanto, x é -1, y é -3.

221
00:08:30,031 --> 00:08:31,544
É aquele ponto ali.

222
00:08:31,544 --> 00:08:33,333
E a convenção é uma vez mais:

223
00:08:33,333 --> 00:08:34,375
'Quando se listam as coordenadas,

224
00:08:34,375 --> 00:08:36,600
lista-se a coordenada x e, em seguida, a coordenada y'.

225
00:08:36,600 --> 00:08:38,400
É o que as pessoas decidiram fazer.

226
00:08:38,400 --> 00:08:42,067
-1, -3 seria aquele ponto ali.

227
00:08:42,067 --> 00:08:45,933
E depois temos o ponto em que x é 0, y é -1.

228
00:08:45,933 --> 00:08:48,067
Quando x é 0, aqui,

229
00:08:48,067 --> 00:08:50,267
significa que não vou nem para a esquerda nem para a direita.

230
00:08:50,267 --> 00:08:52,667
y é -1, o que significa que vou 1 para baixo.

231
00:08:52,667 --> 00:08:56,390
Portanto é aquele ponto ali. (0, -1)

232
00:08:56,390 --> 00:08:57,359
Ali.

233
00:08:57,359 --> 00:08:58,852
Eu podia continuar a fazer isto.

234
00:08:58,852 --> 00:09:03,810
Quando x é 1, y é 1.

235
00:09:03,810 --> 00:09:09,575
Quando x é 2, y é 3.

236
00:09:09,575 --> 00:09:11,733
Deixem-me fazer isso na mesma cor roxa.

237
00:09:11,733 --> 00:09:15,400
Quando x é 2, y é 3.

238
00:09:15,400 --> 00:09:20,652
2,3 e, em seguida, este aqui em laranja era 1,1.

239
00:09:20,652 --> 00:09:22,195
E isto fica direito por si..

240
00:09:22,195 --> 00:09:24,615
Eu apenas amostrei possíveis x's.

241
00:09:24,615 --> 00:09:25,867
Mas o que ele percebeu foi

242
00:09:25,867 --> 00:09:27,775
não só podemos amostrar estes possíveis x's,

243
00:09:27,775 --> 00:09:29,677
como poderíamos continuar amostrando x's.

244
00:09:29,677 --> 00:09:31,318
Se tentássemos amostrar todos os x's de entremeio,

245
00:09:31,318 --> 00:09:34,000
acabaríamos por traçar uma linha.

246
00:09:34,000 --> 00:09:36,067
Portanto, se fossemos fazer todos os x's possíveis

247
00:09:36,067 --> 00:09:38,067
ficaríamos com uma linha.

248
00:09:38,067 --> 00:09:44,492
que seria algo como isto... ali.

249
00:09:44,492 --> 00:09:47,533
E qualquer relação, se tomarmos qualquer x

250
00:09:47,533 --> 00:09:50,867
e encontrar qualquer y, representa realmente um ponto nesta linha,

251
00:09:50,867 --> 00:09:52,400
Ou, outra maneira de pensar nisso:

252
00:09:52,400 --> 00:09:54,171
qualquer ponto nesta linha representa

253
00:09:54,171 --> 00:09:57,051
uma solução para esta equação aqui.

254
00:09:57,051 --> 00:09:58,902
Se temos este ponto aqui,

255
00:09:58,902 --> 00:10:01,600
que parece que x é 1 e meio.

256
00:10:01,600 --> 00:10:03,467
y é 2. Deixem-me escrever isso

257
00:10:03,467 --> 00:10:07,133
1.5,2

258
00:10:07,133 --> 00:10:09,133
é uma solução para esta equação.

259
00:10:09,133 --> 00:10:13,652
Quando x é 1.5: 2 x 1.5 é 3 - 1 é 2.

260
00:10:13,652 --> 00:10:15,600
Isto é ali.

261
00:10:15,600 --> 00:10:17,400
De repente ele foi capaz de preencher

262
00:10:17,400 --> 00:10:22,400
esta lacuna ou esta relação entre álgebra e geometria.

263
00:10:22,400 --> 00:10:27,133
Podemos agora visualizar todos os pares x e y

264
00:10:27,133 --> 00:10:31,498
que satisfazem esta equação aqui.

265
00:10:31,498 --> 00:10:36,092
Ele é responsável por criar esta ponte

266
00:10:36,092 --> 00:10:38,067
e é por isso que as coordenadas que usamos

267
00:10:38,067 --> 00:10:42,677
para especificar estes pontos se chamam "coordenadas cartesianas".

268
00:10:42,677 --> 00:10:45,467
E como veremos, o primeiro tipo de equações

269
00:10:45,467 --> 00:10:48,600
que vamos estudar são equações desta forma.

270
00:10:48,600 --> 00:10:50,446
Num currículo de álgebra tradicional,

271
00:10:50,446 --> 00:10:52,733
chamam-se a equações lineares...

272
00:10:52,733 --> 00:10:55,733
equações lineares.

273
00:10:55,733 --> 00:10:57,738
Podem dizer 'bem, isto é uma equação,

274
00:10:57,738 --> 00:10:59,533
vejo que isto é igual àquilo,

275
00:10:59,533 --> 00:11:00,744
mas o que há de linear sobre eles?

276
00:11:00,744 --> 00:11:02,333
O que os faz parecer com uma linha?'

277
00:11:02,333 --> 00:11:04,379
Para compreender por que é que são lineares,

278
00:11:04,379 --> 00:11:07,467
temos que dar o salto que René Descartes deu.

279
00:11:07,467 --> 00:11:09,133
Porque se formos desenhar isto,

280
00:11:09,133 --> 00:11:10,759
usando coordenadas cartesianas,

281
00:11:10,759 --> 00:11:14,492
num plano euclidiano, vamos obter uma linha.

282
00:11:14,492 --> 00:11:15,846
E no futuro, verão que

283
00:11:15,846 --> 00:11:17,723
há outros tipos de equações em que não vamos obter uma linha

284
00:11:17,723 --> 00:11:21,656
mas uma curva ou qualquer coisa maluca ou funky.