Descartes a Kartézské souřadnice

Spojení algebry a geometrie. Odkud mají lineární rovnice svůj název.

Zde máme fotografii Reného Descarta

skvělého myslitele

v oblasti matematiky a filozofie.

Myslím, že si všimnete určitého trendu,

kdy skvělí filozofové
byli také skvělí matematici.

A naopak.

Descartes byl téměř současníkem Galilea,

byl mladší o 32 let
a zemřel krátce po smrti Galilea.

Tento muž byl mnohem mladší.

Galileovi bylo přes 70,

zatímco Descartes zemřel
v pouhých 54 letech.

A pravděpodobně nejvíc je znám
pro tento výrok,

velmi filozofický výrok.

Myslím, tedy jsem.

Také jsem chtěl uvést další

a tento se nijak neváže k algebře,

ale myslím,
že jde o skutečně pěkný citát.

Pravděpodobně jeho nejméně známý,

tento, přímo tady.

Líbí se mi proto, že je velmi praktický

a vy si uvědomíte, že tyto skvělé mozky
tyto pilíře filozofie a matematiky,

byli koneckonců
úplně normální lidé.

Descartes řekl: "Pokračujte ve svém snažení"

Pokračujte ve svém snažení.

Udělal jsem všechny možné chyby,
ale pokračuji ve své snaze.

Myslím, že toto je
velmi dobrá rada do života.

Descartes dokázal mnohé
ve filozofii a matematice ale důvod,

proč ho zde zmiňuji,

když jsme prošli základy algebry,

je, že on je ten,

kdo je nejvíce zodpovědný
za velmi silné propojení

mezi algebrou a geometrií.

Tady na levé straně
máte svět algebry.

Ten jsme trochu probrali.

Jsou to rovnice,
které se skládají ze symbolů

a tyto symboly jsou podstatné,

mohou nabýt různých hodnot,

takže máte něco jako
y = 2x - 1.

Toto definuje vztah
mezi libovolnou hodnotou x

a libovolným y.

Můžeme si udělat tabulku,

vybrat hodnoty x

a uvidíme, jaké budou hodnoty y

Mohu vybrat libovolnou hodnotu x

a pak určit hodnotu y,

ale já zvolím poměrné
jednoduché hodnoty

tak, aby to nebylo
příliš komplikované.

Tak například:

pokud je x rovno -2,

pak y bude 2 krát -2 minus 1

2 krát -2 minus 1.

To je -4 minus 1.

To je -5.

Pokud x je -1,

pak y bude 2 krát -1 minus 1.

To se rovná
-2 minus 1,

což je -3.

Pokud x je rovno 0,

pak y bude 2 krát 0 minus 1,

2 krát 0 je 0,
minus 1 je prostě -1.

Udělám pár dalších.

Pokud x je 1,

mohl bych vybrat libovolnou hodnotu,
říct, co se stane,

když x je -druhá odmocnina ze 2.

nebo pokud x je polovina z -5,

nebo šest sedmin.

Ale já vybral tato čísla jenom proto,

že to významně zjednodušuje výpočty,

když se pokouším určit, kolik bude y.

Ale když x je 1,

y bude 2 krát 1 minus 1,

2 krát 1 minus 1 je 1.

Ještě jeden.

Barvou, kterou jsem ještě nepoužil -
zkusme tuhle fialovou

Pokud x je 2,

pak y bude
2 krát 2 minus 1 (x je 2).

takže to je 4 minus 1,
to se rovná 3.

Dobře.

Jen jsem trochu
vyzkoušel tento vztah.

Ale říkal jsem,
že toto popisuje obecný vztah

že existují další typy rovnic,

a pak jsem to udělal trochu konkrétnější.

Dobře,
takže pokud x je jedna z proměnných,

pak jaká bude odpovídající hodnota y
pro každou z těchto hodnot x?

Descartes si uvědomil,
že je možné to zobrazit.

Můžete zobrazit jednotlivé body.

Ale to vám také může pomoci zobrazit
tento vztah zcela obecně.

Takže co on v podstatě udělal bylo,

že překlenul propast mezi
velmi abstraktní symbolickou algebrou

a geometrií,
která se zabývala

tvary, velikostmi a úhly.

Takže tady máte svět geometrie.

Samozřejmě jsou lidé v historii,

možná mnoho lidí,
na které historie zapomněla,

kteří možná dělali totéž.

Ale před Descartem se na geometrii

nahlíželo jako na euklidovskou geometrii.

To je v podstatě geometrie,

kterou jste probírali v
hodinách geometrie na druhém stupni.

Tato geometrie studuje
vztahy mezi trojúhelníky a jejich úhly

a vztahy mezi kružnicemi.

Máte poloměry a trojúhelníky
vepsané v kružnicích a tak dále

více do hloubky půjdeme
v naší sérii o geometrii.

Ale Descartes si řekl,
"Myslím, že toto dokážu zobrazit graficky,

stejně jako Euklidés zkoumal
trojúhelníky a kružnice.

Proč ne já?"

Když se podíváte na list papíru,
pokud si představíte dvourozměrnou plochu,

Uvidíte list papíru
jako výřez z dvourozměrné plochy.

nazýváme ji dvourozměrná,

protože má dva směry,
kterými se můžete pohybovat.

Nahoru a dolů.

To je jeden směr.

Namaluji to modře.

Protože se pokoušíme věci vizualizovat,
uděláme to barevně.

Takže směr nahoru a dolů
a pak ještě zleva doprava.

Proto tomu říkáme dvourozměrná rovina.

Pokud se zabýváme třemi rozměry,
máme směr dovnitř a ven.

Na obrazovce je velmi
jednoduché pracovat s dvěma rozměry,

protože obrazovka je dvourozměrná.

A Descartes říká:

"Víte, máme dvě
proměnné a jejich vzájemný vztah,

ale proč nepřiřadit
každé z těchto proměnných

jeden z rozměrů tady?"

Domluvme se, že proměnná y,
která je závislá proměnná,

Řekli jsme,
že závisí na hodnotě proměnné x.

Dejme ji tedy na svislou osu.

A naší nezávislou proměnnou,

tu, jejíž hodnoty volíme zcela náhodně,

abychom zjistili co se stane s y,

tu dejme na vodorovnou osu.

Byl to právě Descartes,
který přišel s konvencí používat x a y.

Později v algebře uvidíme z,

jako neznámé proměnné,
se kterými manipulujeme.

A Descartes říká,
"Když se na to díváme takto,

když tyto osy očíslujeme
řekněme, že ve směru x

tady udělejme -3,

tady -2,

toto je -1,

tady 0.

Čísluji směr x,
zleva doprava,

tady je +1,

tohle je +2,

a zde +3.

Totéž můžeme udělat ve směru y,

takže jdeme na to,
tohle by mohlo být

řekněme -5, -4, -3

udělám to o něco lépe než takto,
trochu to upravím

tohle smažu,
a tady to prodloužím,

takže mohu pokračovat až do -5
aniž by to bylo příliš chaotické.

Takže půjdeme odspodu

Očíslujeme to.

Tady je 1, tady 2, tady 3

zde může být -1.

-2. Tohle je všechno jen konvence.

Mohli bychom to označit i jinak.

Mohli jsme se rozhodnout
dát x tady a y zde.

Tohle by byl kladný směr
a tady bychom udělali záporný směr.

Ale tohle je prostě konvence,
kterou jsme přijali počínaje Descartesem.

-2, -3, -4 a -5.

Descartes říká: "Mohu cokoliv přiřadit,

každý z těchto párů hodnot mohu přiřadit
k bodu ve dvou rozměrech.

Mohu vzít souřadnici x, hodnotu x

tady a říct, OK to je -2.

To bude přesně zde v pravo levém směru

jdu vlevo, protože to je záporné číslo

a tohle je přiřazeno
k -5 ve svislém směru,

Řekněme, že hodnota y je -5,

takže když jdu o 2 doleva a 5 dolů,

dostanu se tady do toho bodu.

Descartes říká:
"Tyto dvě hodnoty -2 a -5

mohu přiřadit tomuto bodu
v této rovině tady,

v této dvourozměrné ploše."

takže říkám:
"Tento bod má souřadnice,

které mi určují,
kde ten bod naleznu [2,-5].

Těmto souřadnicím říkáme
"Kartézské souřadnice" -

pojmenované po René Descartesovi.

Protože on je vymyslel.

Najednou přiřadil tyto vztahy
k bodům v rovině souřadnic.

A pak povídá: "OK, udělejme další".

Tady je další vztah,
kde x se rovná -1, y -3.

To je bod tady na tomto místě
a další konvence je,

že když zapisujeme souřadnice
napíšeme nejprve souřadnici x

a pak souřadnici y.

Takhle se lidé prostě rozhodli.

-1, -3 to bude bod tady.

Pak máte bod,kdy x je 0 a y je -1.

x je 0 zde,

což znamená ani vlevo ani vpravo.

y je -1, to znamená, že jdu o 1 dolů,
takže to je bod přímo tady. (0,-1)

Tady.

Takhle bych mohl pokračovat.

Když x je 1, y je 1.

Když x je 2, y je 3.

Udělám to stejnou barvou.

Když x je 2, y je 3.

2,3 a pak tenhle
vpravo v oranžové barvě je 1,1.

Toto samo o sobě je pěkné,
v zásadě jsem jenom vybral pár hodnot x,

ale Descartes si uvědomil,
že můžete vynést nejen tyto hodnoty x,

ale když pokračujete
s dalšími hodnotami x,

mezi těmi, co již máte,
nakonec narýsujete čáru.

Takže pokud to uděláte se všemi možnými x,
dostanete přímku,

která vypadá nějako takto, jako tahle.

A libovolné x a jemu odpovídající y
reprezentující jeden bod na této přímce.

Jiný způsob jako to chápat je,

že libovolný bod na této přímce
je jedno řešení této rovnice.

takže když vezmete tento bod zde
to vypadá,

že x je 1 a půl
a y je 2. Takže to zapíši.

1.5,2

To je řešení této rovnice.

Když x je 1.5, 2 krát 1.5 je 3 minus 1 je 2.

To je tady.

Takže najednou jsem dokázal vybudovat most
nebo vztah mezi algebrou a geometrií.

Nyní můžeme zobrazit
všechny dvojice x a y,

které splňují tuto rovnici zde.

Descartes je zodpovědný
za vybudování tohoto mostu,

a proto se souřadnice,
které používáme k určení těchto bodů,

nazývají "kartézské souřadnice".

Jak uvidíme, první typ rovnic,

který budeme zkoumat v této formě zde
a v tradičních osnovách algebry,

se nazývá lineární rovnice.

Lineární rovnice.

Mohli byste říct: "víte, toto je rovnice",

Vidíme, že toto se rovná tomu,

ale co je na nich lineárního?

Co mají společného s linií nebo přímkou?

Abychom si uvědomili proč jsou lineární,

musíme učinit stejný
skok jako René Descartes,

protože pokud bychom toto narýsovali
pomocí kartézských souřadnic,

v Euklidovské rovině, dostaneme přímku.

A v budoucnu uvidíte,
že existují další typy rovnic,

kdy nedostaneme přímku,

ale křivku nebo něco bláznivého
či legračního.