0:00:00.512,0:00:03.636 Zde máme fotografii Reného Descarta 0:00:03.636,0:00:05.698 skvělého myslitele 0:00:05.698,0:00:07.554 v oblasti matematiky a filozofie. 0:00:07.554,0:00:09.923 Myslím, že si všimnete určitého trendu, 0:00:09.923,0:00:13.164 kdy skvělí filozofové [br]byli také skvělí matematici. 0:00:13.164,0:00:14.810 A naopak. 0:00:14.810,0:00:17.021 Descartes byl téměř současníkem Galilea, 0:00:17.021,0:00:21.733 byl mladší o 32 let[br]a zemřel krátce po smrti Galilea. 0:00:21.733,0:00:23.467 Tento muž byl mnohem mladší. 0:00:23.467,0:00:25.400 Galileovi bylo přes 70, 0:00:25.400,0:00:28.067 zatímco Descartes zemřel [br]v pouhých 54 letech. 0:00:28.067,0:00:30.852 A pravděpodobně nejvíc je znám[br]pro tento výrok, 0:00:30.852,0:00:33.260 velmi filozofický výrok. 0:00:33.260,0:00:35.487 Myslím, tedy jsem. 0:00:35.487,0:00:37.467 Také jsem chtěl uvést další 0:00:37.467,0:00:38.867 a tento se nijak neváže k algebře, 0:00:38.867,0:00:40.733 ale myslím, [br]že jde o skutečně pěkný citát. 0:00:40.733,0:00:42.680 Pravděpodobně jeho nejméně známý, 0:00:42.680,0:00:44.467 tento, přímo tady. 0:00:44.467,0:00:46.800 Líbí se mi proto, že je velmi praktický 0:00:46.800,0:00:50.813 a vy si uvědomíte, že tyto skvělé mozky[br]tyto pilíře filozofie a matematiky, 0:00:50.813,0:00:54.482 byli koneckonců[br]úplně normální lidé. 0:00:54.482,0:00:56.498 Descartes řekl: "Pokračujte ve svém snažení" 0:00:56.498,0:00:57.963 Pokračujte ve svém snažení. 0:00:57.963,0:01:01.375 Udělal jsem všechny možné chyby,[br]ale pokračuji ve své snaze. 0:01:01.375,0:01:05.266 Myslím, že toto je [br]velmi dobrá rada do života. 0:01:05.266,0:01:09.093 Descartes dokázal mnohé[br]ve filozofii a matematice ale důvod, 0:01:09.093,0:01:10.852 proč ho zde zmiňuji, 0:01:10.852,0:01:12.933 když jsme prošli základy algebry, 0:01:12.933,0:01:15.600 je, že on je ten, 0:01:15.600,0:01:18.580 kdo je nejvíce zodpovědný [br]za velmi silné propojení 0:01:18.580,0:01:21.425 mezi algebrou a geometrií. 0:01:21.425,0:01:24.472 Tady na levé straně[br]máte svět algebry. 0:01:24.472,0:01:26.415 Ten jsme trochu probrali. 0:01:26.415,0:01:28.477 Jsou to rovnice, [br]které se skládají ze symbolů 0:01:28.477,0:01:30.236 a tyto symboly jsou podstatné, 0:01:30.236,0:01:31.933 mohou nabýt různých hodnot, 0:01:31.933,0:01:37.570 takže máte něco jako[br]y = 2x - 1. 0:01:37.570,0:01:40.553 Toto definuje vztah[br]mezi libovolnou hodnotou x 0:01:40.553,0:01:41.813 a libovolným y. 0:01:41.813,0:01:44.333 Můžeme si udělat tabulku, 0:01:44.333,0:01:46.403 vybrat hodnoty x 0:01:46.403,0:01:48.292 a uvidíme, jaké budou hodnoty y 0:01:48.292,0:01:51.652 Mohu vybrat libovolnou hodnotu x 0:01:51.652,0:01:52.923 a pak určit hodnotu y, 0:01:52.923,0:01:55.000 ale já zvolím poměrné [br]jednoduché hodnoty 0:01:55.000,0:01:57.662 tak, aby to nebylo [br]příliš komplikované. 0:01:57.662,0:01:59.032 Tak například: 0:01:59.032,0:02:00.533 pokud je x rovno -2, 0:02:00.533,0:02:03.600 pak y bude 2 krát -2 minus 1 0:02:03.600,0:02:06.513 2 krát -2 minus 1. 0:02:06.513,0:02:10.113 To je -4 minus 1. 0:02:10.113,0:02:12.267 To je -5. 0:02:12.267,0:02:14.675 Pokud x je -1, 0:02:14.675,0:02:20.452 pak y bude 2 krát -1 minus 1. 0:02:20.452,0:02:22.043 To se rovná[br]-2 minus 1, 0:02:22.043,0:02:24.554 což je -3. 0:02:24.554,0:02:28.725 Pokud x je rovno 0, 0:02:28.725,0:02:32.590 pak y bude 2 krát 0 minus 1, 0:02:32.600,0:02:35.417 2 krát 0 je 0, [br]minus 1 je prostě -1. 0:02:35.417,0:02:37.239 Udělám pár dalších. 0:02:37.239,0:02:38.182 Pokud x je 1, 0:02:38.182,0:02:41.041 mohl bych vybrat libovolnou hodnotu,[br]říct, co se stane, 0:02:41.041,0:02:42.677 když x je -druhá odmocnina ze 2. 0:02:42.677,0:02:45.067 nebo pokud x je polovina z -5, 0:02:45.067,0:02:47.106 nebo šest sedmin. 0:02:47.106,0:02:49.000 Ale já vybral tato čísla jenom proto, 0:02:49.000,0:02:50.980 že to významně zjednodušuje výpočty, 0:02:50.980,0:02:52.880 když se pokouším určit, kolik bude y. 0:02:52.880,0:02:54.133 Ale když x je 1, 0:02:54.133,0:02:57.338 y bude 2 krát 1 minus 1, 0:02:57.338,0:02:59.733 2 krát 1 minus 1 je 1. 0:02:59.733,0:03:01.939 Ještě jeden. 0:03:01.939,0:03:06.199 Barvou, kterou jsem ještě nepoužil -[br]zkusme tuhle fialovou 0:03:06.199,0:03:07.769 Pokud x je 2, 0:03:07.769,0:03:13.547 pak y bude[br]2 krát 2 minus 1 (x je 2). 0:03:13.547,0:03:16.615 takže to je 4 minus 1,[br]to se rovná 3. 0:03:16.615,0:03:17.320 Dobře. 0:03:17.320,0:03:19.338 Jen jsem trochu [br]vyzkoušel tento vztah. 0:03:19.338,0:03:22.220 Ale říkal jsem, [br]že toto popisuje obecný vztah 0:03:22.220,0:03:24.880 že existují další typy rovnic, 0:03:24.880,0:03:26.908 a pak jsem to udělal trochu konkrétnější. 0:03:26.908,0:03:30.410 Dobře, [br]takže pokud x je jedna z proměnných, 0:03:30.410,0:03:33.740 pak jaká bude odpovídající hodnota y[br]pro každou z těchto hodnot x? 0:03:33.740,0:03:36.907 Descartes si uvědomil,[br]že je možné to zobrazit. 0:03:36.907,0:03:40.205 Můžete zobrazit jednotlivé body. 0:03:40.205,0:03:44.837 Ale to vám také může pomoci zobrazit[br]tento vztah zcela obecně. 0:03:44.837,0:03:47.163 Takže co on v podstatě udělal bylo, 0:03:47.163,0:03:52.329 že překlenul propast mezi[br]velmi abstraktní symbolickou algebrou 0:03:52.329,0:03:55.030 a geometrií,[br]která se zabývala 0:03:55.030,0:03:57.600 tvary, velikostmi a úhly. 0:03:57.600,0:04:02.933 Takže tady máte svět geometrie. 0:04:02.933,0:04:04.887 Samozřejmě jsou lidé v historii, 0:04:04.887,0:04:07.327 možná mnoho lidí, [br]na které historie zapomněla, 0:04:07.327,0:04:09.067 kteří možná dělali totéž. 0:04:09.067,0:04:12.467 Ale před Descartem se na geometrii 0:04:12.467,0:04:14.800 nahlíželo jako na euklidovskou geometrii. 0:04:14.800,0:04:16.132 To je v podstatě geometrie, 0:04:16.132,0:04:22.543 kterou jste probírali v[br]hodinách geometrie na druhém stupni. 0:04:22.543,0:04:28.570 Tato geometrie studuje[br]vztahy mezi trojúhelníky a jejich úhly 0:04:28.570,0:04:30.667 a vztahy mezi kružnicemi. 0:04:30.667,0:04:36.197 Máte poloměry a trojúhelníky[br]vepsané v kružnicích a tak dále 0:04:36.200,0:04:39.060 více do hloubky půjdeme[br]v naší sérii o geometrii. 0:04:39.060,0:04:42.938 Ale Descartes si řekl, [br]"Myslím, že toto dokážu zobrazit graficky, 0:04:42.938,0:04:46.581 stejně jako Euklidés zkoumal [br]trojúhelníky a kružnice. 0:04:46.581,0:04:48.299 Proč ne já?" 0:04:48.299,0:04:52.335 Když se podíváte na list papíru,[br]pokud si představíte dvourozměrnou plochu, 0:04:52.339,0:04:55.715 Uvidíte list papíru[br]jako výřez z dvourozměrné plochy. 0:04:55.715,0:04:57.819 nazýváme ji dvourozměrná, 0:04:57.819,0:05:00.304 protože má dva směry, [br]kterými se můžete pohybovat. 0:05:00.304,0:05:01.256 Nahoru a dolů. 0:05:01.256,0:05:02.510 To je jeden směr. 0:05:02.510,0:05:04.825 Namaluji to modře. 0:05:04.841,0:05:08.416 Protože se pokoušíme věci vizualizovat,[br]uděláme to barevně. 0:05:08.416,0:05:14.157 Takže směr nahoru a dolů[br]a pak ještě zleva doprava. 0:05:14.157,0:05:16.720 Proto tomu říkáme dvourozměrná rovina. 0:05:16.720,0:05:21.380 Pokud se zabýváme třemi rozměry,[br]máme směr dovnitř a ven. 0:05:21.380,0:05:23.200 Na obrazovce je velmi [br]jednoduché pracovat s dvěma rozměry, 0:05:23.200,0:05:25.425 protože obrazovka je dvourozměrná. 0:05:25.425,0:05:27.071 A Descartes říká: 0:05:27.071,0:05:29.744 "Víte, máme dvě [br]proměnné a jejich vzájemný vztah, 0:05:29.744,0:05:32.548 ale proč nepřiřadit[br]každé z těchto proměnných 0:05:32.548,0:05:34.600 jeden z rozměrů tady?" 0:05:34.600,0:05:39.430 Domluvme se, že proměnná y,[br]která je závislá proměnná, 0:05:39.430,0:05:41.816 Řekli jsme,[br]že závisí na hodnotě proměnné x. 0:05:41.816,0:05:43.605 Dejme ji tedy na svislou osu. 0:05:43.605,0:05:45.333 A naší nezávislou proměnnou, 0:05:45.333,0:05:47.190 tu, jejíž hodnoty volíme zcela náhodně, 0:05:47.190,0:05:48.768 abychom zjistili co se stane s y, 0:05:48.768,0:05:50.067 tu dejme na vodorovnou osu. 0:05:50.067,0:05:55.023 Byl to právě Descartes,[br]který přišel s konvencí používat x a y. 0:05:55.023,0:05:58.600 Později v algebře uvidíme z, 0:05:58.600,0:06:02.098 jako neznámé proměnné, [br]se kterými manipulujeme. 0:06:02.098,0:06:03.867 A Descartes říká, [br]"Když se na to díváme takto, 0:06:03.867,0:06:07.452 když tyto osy očíslujeme[br]řekněme, že ve směru x 0:06:07.452,0:06:15.743 tady udělejme -3, [br] 0:06:15.743,0:06:17.805 tady -2, 0:06:17.805,0:06:19.498 toto je -1, 0:06:19.498,0:06:21.067 tady 0. 0:06:21.067,0:06:25.330 Čísluji směr x,[br]zleva doprava, 0:06:25.333,0:06:26.837 tady je +1, 0:06:26.837,0:06:28.338 tohle je +2, 0:06:28.338,0:06:30.169 a zde +3. 0:06:30.169,0:06:32.333 Totéž můžeme udělat ve směru y, 0:06:32.333,0:06:34.400 takže jdeme na to, [br]tohle by mohlo být 0:06:34.400,0:06:40.400 řekněme -5, -4, -3 0:06:40.400,0:06:42.333 udělám to o něco lépe než takto,[br]trochu to upravím 0:06:42.333,0:06:46.917 tohle smažu, [br]a tady to prodloužím, 0:06:46.917,0:06:51.830 takže mohu pokračovat až do -5[br]aniž by to bylo příliš chaotické. 0:06:51.867,0:06:53.410 Takže půjdeme odspodu 0:06:53.410,0:06:54.867 Očíslujeme to. 0:06:54.867,0:06:58.144 Tady je 1, tady 2, tady 3 0:06:58.144,0:07:00.867 zde může být -1. 0:07:00.867,0:07:02.733 -2. Tohle je všechno jen konvence. 0:07:02.733,0:07:04.067 Mohli bychom to označit i jinak. 0:07:04.067,0:07:05.762 Mohli jsme se rozhodnout [br]dát x tady a y zde. 0:07:05.762,0:07:08.969 Tohle by byl kladný směr[br]a tady bychom udělali záporný směr. 0:07:08.969,0:07:12.753 Ale tohle je prostě konvence,[br]kterou jsme přijali počínaje Descartesem. 0:07:12.753,0:07:18.062 -2, -3, -4 a -5. 0:07:18.062,0:07:20.200 Descartes říká: "Mohu cokoliv přiřadit, 0:07:20.200,0:07:25.397 každý z těchto párů hodnot mohu přiřadit[br]k bodu ve dvou rozměrech. 0:07:25.397,0:07:28.467 Mohu vzít souřadnici x, hodnotu x 0:07:28.467,0:07:30.333 tady a říct, OK to je -2. 0:07:30.333,0:07:34.005 To bude přesně zde v pravo levém směru 0:07:34.005,0:07:35.861 jdu vlevo, protože to je záporné číslo 0:07:35.861,0:07:38.825 a tohle je přiřazeno [br]k -5 ve svislém směru, 0:07:38.825,0:07:41.667 Řekněme, že hodnota y je -5, 0:07:41.667,0:07:46.400 takže když jdu o 2 doleva a 5 dolů, 0:07:46.400,0:07:49.267 dostanu se tady do toho bodu. 0:07:49.267,0:07:53.248 Descartes říká: [br]"Tyto dvě hodnoty -2 a -5 0:07:53.248,0:07:55.733 mohu přiřadit tomuto bodu [br]v této rovině tady, 0:07:55.733,0:07:59.133 v této dvourozměrné ploše." 0:07:59.133,0:08:02.413 takže říkám: [br]"Tento bod má souřadnice, 0:08:02.413,0:08:06.100 které mi určují,[br]kde ten bod naleznu [2,-5]. 0:08:06.100,0:08:08.959 Těmto souřadnicím říkáme [br]"Kartézské souřadnice" - 0:08:08.959,0:08:12.077 pojmenované po René Descartesovi. 0:08:12.077,0:08:13.800 Protože on je vymyslel. 0:08:13.800,0:08:16.977 Najednou přiřadil tyto vztahy[br]k bodům v rovině souřadnic. 0:08:16.977,0:08:19.800 A pak povídá: "OK, udělejme další". 0:08:19.800,0:08:29.720 Tady je další vztah,[br]kde x se rovná -1, y -3. 0:08:29.720,0:08:32.252 To je bod tady na tomto místě[br]a další konvence je, 0:08:32.252,0:08:35.055 že když zapisujeme souřadnice[br]napíšeme nejprve souřadnici x 0:08:35.055,0:08:36.600 a pak souřadnici y. 0:08:36.600,0:08:38.400 Takhle se lidé prostě rozhodli. 0:08:38.400,0:08:42.067 -1, -3 to bude bod tady. 0:08:42.067,0:08:45.933 Pak máte bod,kdy x je 0 a y je -1. 0:08:45.933,0:08:48.067 x je 0 zde, 0:08:48.067,0:08:49.767 což znamená ani vlevo ani vpravo. 0:08:49.767,0:08:55.560 y je -1, to znamená, že jdu o 1 dolů,[br]takže to je bod přímo tady. (0,-1) 0:08:55.560,0:08:56.929 Tady. 0:08:56.929,0:08:58.852 Takhle bych mohl pokračovat. 0:08:58.852,0:09:03.810 Když x je 1, y je 1. 0:09:03.810,0:09:09.575 Když x je 2, y je 3. 0:09:09.575,0:09:11.733 Udělám to stejnou barvou. 0:09:11.733,0:09:15.070 Když x je 2, y je 3. 0:09:15.070,0:09:20.652 2,3 a pak tenhle [br]vpravo v oranžové barvě je 1,1. 0:09:20.652,0:09:24.285 Toto samo o sobě je pěkné,[br]v zásadě jsem jenom vybral pár hodnot x, 0:09:24.285,0:09:27.797 ale Descartes si uvědomil,[br]že můžete vynést nejen tyto hodnoty x, 0:09:27.797,0:09:30.237 ale když pokračujete [br]s dalšími hodnotami x, 0:09:30.237,0:09:33.518 mezi těmi, co již máte,[br]nakonec narýsujete čáru. 0:09:33.518,0:09:37.347 Takže pokud to uděláte se všemi možnými x,[br]dostanete přímku, 0:09:37.347,0:09:44.492 která vypadá nějako takto, jako tahle. 0:09:44.492,0:09:50.893 A libovolné x a jemu odpovídající y[br]reprezentující jeden bod na této přímce. 0:09:50.893,0:09:52.471 Jiný způsob jako to chápat je,[br] 0:09:52.471,0:09:57.051 že libovolný bod na této přímce[br]je jedno řešení této rovnice. 0:09:57.051,0:09:58.902 takže když vezmete tento bod zde[br]to vypadá, 0:09:58.902,0:10:02.867 že x je 1 a půl[br]a y je 2. Takže to zapíši. 0:10:02.867,0:10:07.133 1.5,2 0:10:07.133,0:10:09.133 To je řešení této rovnice. 0:10:09.133,0:10:13.652 Když x je 1.5, 2 krát 1.5 je 3 minus 1 je 2. 0:10:13.652,0:10:15.600 To je tady. 0:10:15.600,0:10:22.460 Takže najednou jsem dokázal vybudovat most[br]nebo vztah mezi algebrou a geometrií. 0:10:22.460,0:10:27.133 Nyní můžeme zobrazit [br]všechny dvojice x a y, 0:10:27.133,0:10:31.498 které splňují tuto rovnici zde. 0:10:31.498,0:10:36.092 Descartes je zodpovědný[br]za vybudování tohoto mostu, 0:10:36.092,0:10:38.067 a proto se souřadnice,[br]které používáme k určení těchto bodů, 0:10:38.067,0:10:42.677 nazývají "kartézské souřadnice". 0:10:42.677,0:10:45.467 Jak uvidíme, první typ rovnic, 0:10:45.467,0:10:50.480 který budeme zkoumat v této formě zde[br]a v tradičních osnovách algebry, 0:10:50.480,0:10:52.733 se nazývá lineární rovnice. 0:10:52.733,0:10:55.733 Lineární rovnice. 0:10:55.733,0:10:57.738 Mohli byste říct: "víte, toto je rovnice", 0:10:57.738,0:10:59.533 Vidíme, že toto se rovná tomu, 0:10:59.533,0:11:00.744 ale co je na nich lineárního? 0:11:00.744,0:11:02.333 Co mají společného s linií nebo přímkou? 0:11:02.333,0:11:04.379 Abychom si uvědomili proč jsou lineární, 0:11:04.379,0:11:07.467 musíme učinit stejný [br]skok jako René Descartes, 0:11:07.467,0:11:10.603 protože pokud bychom toto narýsovali[br]pomocí kartézských souřadnic, 0:11:10.603,0:11:13.872 v Euklidovské rovině, dostaneme přímku. 0:11:13.872,0:11:16.316 A v budoucnu uvidíte,[br]že existují další typy rovnic, 0:11:16.316,0:11:17.723 kdy nedostaneme přímku, 0:11:17.723,0:11:21.656 ale křivku nebo něco bláznivého[br]či legračního.