1
00:00:00,512 --> 00:00:03,636
Zde máme fotografii Reného Descarta

2
00:00:03,636 --> 00:00:05,698
skvělého myslitele

3
00:00:05,698 --> 00:00:07,554
v oblasti matematiky a filozofie.

4
00:00:07,554 --> 00:00:09,923
Myslím, že si všimnete určitého trendu,

5
00:00:09,923 --> 00:00:13,164
kdy skvělí filozofové 
byli také skvělí matematici.

6
00:00:13,164 --> 00:00:14,810
A naopak.

7
00:00:14,810 --> 00:00:17,021
Descartes byl téměř současníkem Galilea,

8
00:00:17,021 --> 00:00:21,733
byl mladší o 32 let
a zemřel krátce po smrti Galilea.

9
00:00:21,733 --> 00:00:23,467
Tento muž byl mnohem mladší.

10
00:00:23,467 --> 00:00:25,400
Galileovi bylo přes 70,

11
00:00:25,400 --> 00:00:28,067
zatímco Descartes zemřel 
v pouhých 54 letech.

12
00:00:28,067 --> 00:00:30,852
A pravděpodobně nejvíc je znám
pro tento výrok,

13
00:00:30,852 --> 00:00:33,260
velmi filozofický výrok.

14
00:00:33,260 --> 00:00:35,487
Myslím, tedy jsem.

15
00:00:35,487 --> 00:00:37,467
Také jsem chtěl uvést další

16
00:00:37,467 --> 00:00:38,867
a tento se nijak neváže k algebře,

17
00:00:38,867 --> 00:00:40,733
ale myslím, 
že jde o skutečně pěkný citát.

18
00:00:40,733 --> 00:00:42,680
Pravděpodobně jeho nejméně známý,

19
00:00:42,680 --> 00:00:44,467
tento, přímo tady.

20
00:00:44,467 --> 00:00:46,800
Líbí se mi proto, že je velmi praktický

21
00:00:46,800 --> 00:00:50,813
a vy si uvědomíte, že tyto skvělé mozky
tyto pilíře filozofie a matematiky,

22
00:00:50,813 --> 00:00:54,482
byli koneckonců
úplně normální lidé.

23
00:00:54,482 --> 00:00:56,498
Descartes řekl: "Pokračujte ve svém snažení"

24
00:00:56,498 --> 00:00:57,963
Pokračujte ve svém snažení.

25
00:00:57,963 --> 00:01:01,375
Udělal jsem všechny možné chyby,
ale pokračuji ve své snaze.

26
00:01:01,375 --> 00:01:05,266
Myslím, že toto je 
velmi dobrá rada do života.

27
00:01:05,266 --> 00:01:09,093
Descartes dokázal mnohé
ve filozofii a matematice ale důvod,

28
00:01:09,093 --> 00:01:10,852
proč ho zde zmiňuji,

29
00:01:10,852 --> 00:01:12,933
když jsme prošli základy algebry,

30
00:01:12,933 --> 00:01:15,600
je, že on je ten,

31
00:01:15,600 --> 00:01:18,580
kdo je nejvíce zodpovědný 
za velmi silné propojení

32
00:01:18,580 --> 00:01:21,425
mezi algebrou a geometrií.

33
00:01:21,425 --> 00:01:24,472
Tady na levé straně
máte svět algebry.

34
00:01:24,472 --> 00:01:26,415
Ten jsme trochu probrali.

35
00:01:26,415 --> 00:01:28,477
Jsou to rovnice, 
které se skládají ze symbolů

36
00:01:28,477 --> 00:01:30,236
a tyto symboly jsou podstatné,

37
00:01:30,236 --> 00:01:31,933
mohou nabýt různých hodnot,

38
00:01:31,933 --> 00:01:37,570
takže máte něco jako
y = 2x - 1.

39
00:01:37,570 --> 00:01:40,553
Toto definuje vztah
mezi libovolnou hodnotou x

40
00:01:40,553 --> 00:01:41,813
a libovolným y.

41
00:01:41,813 --> 00:01:44,333
Můžeme si udělat tabulku,

42
00:01:44,333 --> 00:01:46,403
vybrat hodnoty x

43
00:01:46,403 --> 00:01:48,292
a uvidíme, jaké budou hodnoty y

44
00:01:48,292 --> 00:01:51,652
Mohu vybrat libovolnou hodnotu x

45
00:01:51,652 --> 00:01:52,923
a pak určit hodnotu y,

46
00:01:52,923 --> 00:01:55,000
ale já zvolím poměrné 
jednoduché hodnoty

47
00:01:55,000 --> 00:01:57,662
tak, aby to nebylo 
příliš komplikované.

48
00:01:57,662 --> 00:01:59,032
Tak například:

49
00:01:59,032 --> 00:02:00,533
pokud je x rovno -2,

50
00:02:00,533 --> 00:02:03,600
pak y bude 2 krát -2 minus 1

51
00:02:03,600 --> 00:02:06,513
2 krát -2 minus 1.

52
00:02:06,513 --> 00:02:10,113
To je -4 minus 1.

53
00:02:10,113 --> 00:02:12,267
To je -5.

54
00:02:12,267 --> 00:02:14,675
Pokud x je -1,

55
00:02:14,675 --> 00:02:20,452
pak y bude 2 krát -1 minus 1.

56
00:02:20,452 --> 00:02:22,043
To se rovná
-2 minus 1,

57
00:02:22,043 --> 00:02:24,554
což je -3.

58
00:02:24,554 --> 00:02:28,725
Pokud x je rovno 0,

59
00:02:28,725 --> 00:02:32,590
pak y bude 2 krát 0 minus 1,

60
00:02:32,600 --> 00:02:35,417
2 krát 0 je 0, 
minus 1 je prostě -1.

61
00:02:35,417 --> 00:02:37,239
Udělám pár dalších.

62
00:02:37,239 --> 00:02:38,182
Pokud x je 1,

63
00:02:38,182 --> 00:02:41,041
mohl bych vybrat libovolnou hodnotu,
říct, co se stane,

64
00:02:41,041 --> 00:02:42,677
když x je -druhá odmocnina ze 2.

65
00:02:42,677 --> 00:02:45,067
nebo pokud x je polovina z -5,

66
00:02:45,067 --> 00:02:47,106
nebo šest sedmin.

67
00:02:47,106 --> 00:02:49,000
Ale já vybral tato čísla jenom proto,

68
00:02:49,000 --> 00:02:50,980
že to významně zjednodušuje výpočty,

69
00:02:50,980 --> 00:02:52,880
když se pokouším určit, kolik bude y.

70
00:02:52,880 --> 00:02:54,133
Ale když x je 1,

71
00:02:54,133 --> 00:02:57,338
y bude 2 krát 1 minus 1,

72
00:02:57,338 --> 00:02:59,733
2 krát 1 minus 1 je 1.

73
00:02:59,733 --> 00:03:01,939
Ještě jeden.

74
00:03:01,939 --> 00:03:06,199
Barvou, kterou jsem ještě nepoužil -
zkusme tuhle fialovou

75
00:03:06,199 --> 00:03:07,769
Pokud x je 2,

76
00:03:07,769 --> 00:03:13,547
pak y bude
2 krát 2 minus 1 (x je 2).

77
00:03:13,547 --> 00:03:16,615
takže to je 4 minus 1,
to se rovná 3.

78
00:03:16,615 --> 00:03:17,320
Dobře.

79
00:03:17,320 --> 00:03:19,338
Jen jsem trochu 
vyzkoušel tento vztah.

80
00:03:19,338 --> 00:03:22,220
Ale říkal jsem, 
že toto popisuje obecný vztah

81
00:03:22,220 --> 00:03:24,880
že existují další typy rovnic,

82
00:03:24,880 --> 00:03:26,908
a pak jsem to udělal trochu konkrétnější.

83
00:03:26,908 --> 00:03:30,410
Dobře, 
takže pokud x je jedna z proměnných,

84
00:03:30,410 --> 00:03:33,740
pak jaká bude odpovídající hodnota y
pro každou z těchto hodnot x?

85
00:03:33,740 --> 00:03:36,907
Descartes si uvědomil,
že je možné to zobrazit.

86
00:03:36,907 --> 00:03:40,205
Můžete zobrazit jednotlivé body.

87
00:03:40,205 --> 00:03:44,837
Ale to vám také může pomoci zobrazit
tento vztah zcela obecně.

88
00:03:44,837 --> 00:03:47,163
Takže co on v podstatě udělal bylo,

89
00:03:47,163 --> 00:03:52,329
že překlenul propast mezi
velmi abstraktní symbolickou algebrou

90
00:03:52,329 --> 00:03:55,030
a geometrií,
která se zabývala

91
00:03:55,030 --> 00:03:57,600
tvary, velikostmi a úhly.

92
00:03:57,600 --> 00:04:02,933
Takže tady máte svět geometrie.

93
00:04:02,933 --> 00:04:04,887
Samozřejmě jsou lidé v historii,

94
00:04:04,887 --> 00:04:07,327
možná mnoho lidí, 
na které historie zapomněla,

95
00:04:07,327 --> 00:04:09,067
kteří možná dělali totéž.

96
00:04:09,067 --> 00:04:12,467
Ale před Descartem se na geometrii

97
00:04:12,467 --> 00:04:14,800
nahlíželo jako na euklidovskou geometrii.

98
00:04:14,800 --> 00:04:16,132
To je v podstatě geometrie,

99
00:04:16,132 --> 00:04:22,543
kterou jste probírali v
hodinách geometrie na druhém stupni.

100
00:04:22,543 --> 00:04:28,570
Tato geometrie studuje
vztahy mezi trojúhelníky a jejich úhly

101
00:04:28,570 --> 00:04:30,667
a vztahy mezi kružnicemi.

102
00:04:30,667 --> 00:04:36,197
Máte poloměry a trojúhelníky
vepsané v kružnicích a tak dále

103
00:04:36,200 --> 00:04:39,060
více do hloubky půjdeme
v naší sérii o geometrii.

104
00:04:39,060 --> 00:04:42,938
Ale Descartes si řekl, 
"Myslím, že toto dokážu zobrazit graficky,

105
00:04:42,938 --> 00:04:46,581
stejně jako Euklidés zkoumal 
trojúhelníky a kružnice.

106
00:04:46,581 --> 00:04:48,299
Proč ne já?"

107
00:04:48,299 --> 00:04:52,335
Když se podíváte na list papíru,
pokud si představíte dvourozměrnou plochu,

108
00:04:52,339 --> 00:04:55,715
Uvidíte list papíru
jako výřez z dvourozměrné plochy.

109
00:04:55,715 --> 00:04:57,819
nazýváme ji dvourozměrná,

110
00:04:57,819 --> 00:05:00,304
protože má dva směry, 
kterými se můžete pohybovat.

111
00:05:00,304 --> 00:05:01,256
Nahoru a dolů.

112
00:05:01,256 --> 00:05:02,510
To je jeden směr.

113
00:05:02,510 --> 00:05:04,825
Namaluji to modře.

114
00:05:04,841 --> 00:05:08,416
Protože se pokoušíme věci vizualizovat,
uděláme to barevně.

115
00:05:08,416 --> 00:05:14,157
Takže směr nahoru a dolů
a pak ještě zleva doprava.

116
00:05:14,157 --> 00:05:16,720
Proto tomu říkáme dvourozměrná rovina.

117
00:05:16,720 --> 00:05:21,380
Pokud se zabýváme třemi rozměry,
máme směr dovnitř a ven.

118
00:05:21,380 --> 00:05:23,200
Na obrazovce je velmi 
jednoduché pracovat s dvěma rozměry,

119
00:05:23,200 --> 00:05:25,425
protože obrazovka je dvourozměrná.

120
00:05:25,425 --> 00:05:27,071
A Descartes říká:

121
00:05:27,071 --> 00:05:29,744
"Víte, máme dvě 
proměnné a jejich vzájemný vztah,

122
00:05:29,744 --> 00:05:32,548
ale proč nepřiřadit
každé z těchto proměnných

123
00:05:32,548 --> 00:05:34,600
jeden z rozměrů tady?"

124
00:05:34,600 --> 00:05:39,430
Domluvme se, že proměnná y,
která je závislá proměnná,

125
00:05:39,430 --> 00:05:41,816
Řekli jsme,
že závisí na hodnotě proměnné x.

126
00:05:41,816 --> 00:05:43,605
Dejme ji tedy na svislou osu.

127
00:05:43,605 --> 00:05:45,333
A naší nezávislou proměnnou,

128
00:05:45,333 --> 00:05:47,190
tu, jejíž hodnoty volíme zcela náhodně,

129
00:05:47,190 --> 00:05:48,768
abychom zjistili co se stane s y,

130
00:05:48,768 --> 00:05:50,067
tu dejme na vodorovnou osu.

131
00:05:50,067 --> 00:05:55,023
Byl to právě Descartes,
který přišel s konvencí používat x a y.

132
00:05:55,023 --> 00:05:58,600
Později v algebře uvidíme z,

133
00:05:58,600 --> 00:06:02,098
jako neznámé proměnné, 
se kterými manipulujeme.

134
00:06:02,098 --> 00:06:03,867
A Descartes říká, 
"Když se na to díváme takto,

135
00:06:03,867 --> 00:06:07,452
když tyto osy očíslujeme
řekněme, že ve směru x

136
00:06:07,452 --> 00:06:15,743
tady udělejme -3, 


137
00:06:15,743 --> 00:06:17,805
tady -2,

138
00:06:17,805 --> 00:06:19,498
toto je -1,

139
00:06:19,498 --> 00:06:21,067
tady 0.

140
00:06:21,067 --> 00:06:25,330
Čísluji směr x,
zleva doprava,

141
00:06:25,333 --> 00:06:26,837
tady je +1,

142
00:06:26,837 --> 00:06:28,338
tohle je +2,

143
00:06:28,338 --> 00:06:30,169
a zde +3.

144
00:06:30,169 --> 00:06:32,333
Totéž můžeme udělat ve směru y,

145
00:06:32,333 --> 00:06:34,400
takže jdeme na to, 
tohle by mohlo být

146
00:06:34,400 --> 00:06:40,400
řekněme -5, -4, -3

147
00:06:40,400 --> 00:06:42,333
udělám to o něco lépe než takto,
trochu to upravím

148
00:06:42,333 --> 00:06:46,917
tohle smažu, 
a tady to prodloužím,

149
00:06:46,917 --> 00:06:51,830
takže mohu pokračovat až do -5
aniž by to bylo příliš chaotické.

150
00:06:51,867 --> 00:06:53,410
Takže půjdeme odspodu

151
00:06:53,410 --> 00:06:54,867
Očíslujeme to.

152
00:06:54,867 --> 00:06:58,144
Tady je 1, tady 2, tady 3

153
00:06:58,144 --> 00:07:00,867
zde může být -1.

154
00:07:00,867 --> 00:07:02,733
-2. Tohle je všechno jen konvence.

155
00:07:02,733 --> 00:07:04,067
Mohli bychom to označit i jinak.

156
00:07:04,067 --> 00:07:05,762
Mohli jsme se rozhodnout 
dát x tady a y zde.

157
00:07:05,762 --> 00:07:08,969
Tohle by byl kladný směr
a tady bychom udělali záporný směr.

158
00:07:08,969 --> 00:07:12,753
Ale tohle je prostě konvence,
kterou jsme přijali počínaje Descartesem.

159
00:07:12,753 --> 00:07:18,062
-2, -3, -4 a -5.

160
00:07:18,062 --> 00:07:20,200
Descartes říká: "Mohu cokoliv přiřadit,

161
00:07:20,200 --> 00:07:25,397
každý z těchto párů hodnot mohu přiřadit
k bodu ve dvou rozměrech.

162
00:07:25,397 --> 00:07:28,467
Mohu vzít souřadnici x, hodnotu x

163
00:07:28,467 --> 00:07:30,333
tady a říct, OK to je -2.

164
00:07:30,333 --> 00:07:34,005
To bude přesně zde v pravo levém směru

165
00:07:34,005 --> 00:07:35,861
jdu vlevo, protože to je záporné číslo

166
00:07:35,861 --> 00:07:38,825
a tohle je přiřazeno 
k -5 ve svislém směru,

167
00:07:38,825 --> 00:07:41,667
Řekněme, že hodnota y je -5,

168
00:07:41,667 --> 00:07:46,400
takže když jdu o 2 doleva a 5 dolů,

169
00:07:46,400 --> 00:07:49,267
dostanu se tady do toho bodu.

170
00:07:49,267 --> 00:07:53,248
Descartes říká: 
"Tyto dvě hodnoty -2 a -5

171
00:07:53,248 --> 00:07:55,733
mohu přiřadit tomuto bodu 
v této rovině tady,

172
00:07:55,733 --> 00:07:59,133
v této dvourozměrné ploše."

173
00:07:59,133 --> 00:08:02,413
takže říkám: 
"Tento bod má souřadnice,

174
00:08:02,413 --> 00:08:06,100
které mi určují,
kde ten bod naleznu [2,-5].

175
00:08:06,100 --> 00:08:08,959
Těmto souřadnicím říkáme 
"Kartézské souřadnice" -

176
00:08:08,959 --> 00:08:12,077
pojmenované po René Descartesovi.

177
00:08:12,077 --> 00:08:13,800
Protože on je vymyslel.

178
00:08:13,800 --> 00:08:16,977
Najednou přiřadil tyto vztahy
k bodům v rovině souřadnic.

179
00:08:16,977 --> 00:08:19,800
A pak povídá: "OK, udělejme další".

180
00:08:19,800 --> 00:08:29,720
Tady je další vztah,
kde x se rovná -1, y -3.

181
00:08:29,720 --> 00:08:32,252
To je bod tady na tomto místě
a další konvence je,

182
00:08:32,252 --> 00:08:35,055
že když zapisujeme souřadnice
napíšeme nejprve souřadnici x

183
00:08:35,055 --> 00:08:36,600
a pak souřadnici y.

184
00:08:36,600 --> 00:08:38,400
Takhle se lidé prostě rozhodli.

185
00:08:38,400 --> 00:08:42,067
-1, -3 to bude bod tady.

186
00:08:42,067 --> 00:08:45,933
Pak máte bod,kdy x je 0 a y je -1.

187
00:08:45,933 --> 00:08:48,067
x je 0 zde,

188
00:08:48,067 --> 00:08:49,767
což znamená ani vlevo ani vpravo.

189
00:08:49,767 --> 00:08:55,560
y je -1, to znamená, že jdu o 1 dolů,
takže to je bod přímo tady. (0,-1)

190
00:08:55,560 --> 00:08:56,929
Tady.

191
00:08:56,929 --> 00:08:58,852
Takhle bych mohl pokračovat.

192
00:08:58,852 --> 00:09:03,810
Když x je 1, y je 1.

193
00:09:03,810 --> 00:09:09,575
Když x je 2, y je 3.

194
00:09:09,575 --> 00:09:11,733
Udělám to stejnou barvou.

195
00:09:11,733 --> 00:09:15,070
Když x je 2, y je 3.

196
00:09:15,070 --> 00:09:20,652
2,3 a pak tenhle 
vpravo v oranžové barvě je 1,1.

197
00:09:20,652 --> 00:09:24,285
Toto samo o sobě je pěkné,
v zásadě jsem jenom vybral pár hodnot x,

198
00:09:24,285 --> 00:09:27,797
ale Descartes si uvědomil,
že můžete vynést nejen tyto hodnoty x,

199
00:09:27,797 --> 00:09:30,237
ale když pokračujete 
s dalšími hodnotami x,

200
00:09:30,237 --> 00:09:33,518
mezi těmi, co již máte,
nakonec narýsujete čáru.

201
00:09:33,518 --> 00:09:37,347
Takže pokud to uděláte se všemi možnými x,
dostanete přímku,

202
00:09:37,347 --> 00:09:44,492
která vypadá nějako takto, jako tahle.

203
00:09:44,492 --> 00:09:50,893
A libovolné x a jemu odpovídající y
reprezentující jeden bod na této přímce.

204
00:09:50,893 --> 00:09:52,471
Jiný způsob jako to chápat je,


205
00:09:52,471 --> 00:09:57,051
že libovolný bod na této přímce
je jedno řešení této rovnice.

206
00:09:57,051 --> 00:09:58,902
takže když vezmete tento bod zde
to vypadá,

207
00:09:58,902 --> 00:10:02,867
že x je 1 a půl
a y je 2. Takže to zapíši.

208
00:10:02,867 --> 00:10:07,133
1.5,2

209
00:10:07,133 --> 00:10:09,133
To je řešení této rovnice.

210
00:10:09,133 --> 00:10:13,652
Když x je 1.5, 2 krát 1.5 je 3 minus 1 je 2.

211
00:10:13,652 --> 00:10:15,600
To je tady.

212
00:10:15,600 --> 00:10:22,460
Takže najednou jsem dokázal vybudovat most
nebo vztah mezi algebrou a geometrií.

213
00:10:22,460 --> 00:10:27,133
Nyní můžeme zobrazit 
všechny dvojice x a y,

214
00:10:27,133 --> 00:10:31,498
které splňují tuto rovnici zde.

215
00:10:31,498 --> 00:10:36,092
Descartes je zodpovědný
za vybudování tohoto mostu,

216
00:10:36,092 --> 00:10:38,067
a proto se souřadnice,
které používáme k určení těchto bodů,

217
00:10:38,067 --> 00:10:42,677
nazývají "kartézské souřadnice".

218
00:10:42,677 --> 00:10:45,467
Jak uvidíme, první typ rovnic,

219
00:10:45,467 --> 00:10:50,480
který budeme zkoumat v této formě zde
a v tradičních osnovách algebry,

220
00:10:50,480 --> 00:10:52,733
se nazývá lineární rovnice.

221
00:10:52,733 --> 00:10:55,733
Lineární rovnice.

222
00:10:55,733 --> 00:10:57,738
Mohli byste říct: "víte, toto je rovnice",

223
00:10:57,738 --> 00:10:59,533
Vidíme, že toto se rovná tomu,

224
00:10:59,533 --> 00:11:00,744
ale co je na nich lineárního?

225
00:11:00,744 --> 00:11:02,333
Co mají společného s linií nebo přímkou?

226
00:11:02,333 --> 00:11:04,379
Abychom si uvědomili proč jsou lineární,

227
00:11:04,379 --> 00:11:07,467
musíme učinit stejný 
skok jako René Descartes,

228
00:11:07,467 --> 00:11:10,603
protože pokud bychom toto narýsovali
pomocí kartézských souřadnic,

229
00:11:10,603 --> 00:11:13,872
v Euklidovské rovině, dostaneme přímku.

230
00:11:13,872 --> 00:11:16,316
A v budoucnu uvidíte,
že existují další typy rovnic,

231
00:11:16,316 --> 00:11:17,723
kdy nedostaneme přímku,

232
00:11:17,723 --> 00:11:21,656
ale křivku nebo něco bláznivého
či legračního.