-
"กฎของธรรมชาติไม่ใช่อะไรนอกจากความคิดทางคณิตศาสตร์ของพระเจ้า"
-
และนี่คือคำพูดถึงยูคลิดแห่งอเลกซานเดรีย
-
เขาคือนักคณิตศาสตร์และนักปรัชญาขาวกรีก ที่มีชีวิตอยู่ประมาณ 300 ปีก่อนคริสต์
-
และสาเหตุที่ผมใส่คำพูดเขาในนีน้ เพราะยูคลิดนับว่าเป็นบิดาของเรขาคณิต
-
และมันเป็นคำกล่าวที่เนี๊ยบมาก, ไม่ว่าคุณจะมองเรื่องพระเจ้าอย่างไร
-
ไม่ว่าพระเจ้ามีจริงหรือไม่ หรือธรรมชาติของพระเจ้าคืออะไร
-
มันบอกถึงหลักพื้นฐานอย่างยิ่งเกี่ยวกับธรรมชาติ
-
กฏของธรรมชาติไม่ใช่อะไรออกจาความคิดทางคณิตศาสตร์ของพรเจ้า
-
คณิตศาสตร์ฝังอยู่ในกฏของธรรมชาติทุกอย่าง
-
และคำว่า "เรขาคณิต" (geometry) เองมาจากรากศัพท์กรีก
-
"geo" มาจากคำกรีก แปลว่า "โลก"
-
"metry" มาจากคำกรีก แปลว่า "การวัด"
-
คุณอาจเคยได้ยินคำว่าระบบ "เมทริก"
-
และยูคลิดนับว่าเป็นบิดาแห่งเรขาคณิต
-
(ไม่ใช่เพราะว่าเขาเป็นคนแรกที่ศึกษาเรขาคณิต"
-
คุณคงจินตนาการได้ว่ามนุษย์คนแรกๆ ก็เรียนเรขาคณิตเหมือนกัน
-
พวกเขาอาจดูกิ่งไม้สองอันบนพื้น ที่เป็นแบบนั้น
-
และพวกเขาดูกิ่งไม้อีกคู๋ที่เป็นแบบนั้น
-
แล้วบอกว่า "อันนี้เปิดมากกว่านะ. มันมีความสัมพันธ์อะไรอยู่?"
-
หรือพวกเขาอาจมองต้นไม้ที่กิ่งก้านออกมาแบบนั้น
-
และเขาบอกว่า "อืม, มันมีอะไรคล้ายๆ ระหว่างมุมนี้ กับมุมนี้ตรงนี้นะ"
-
หรือพวกเขาอาจถามตัวเอง
-
"อัตราส่วน หรือความสัมพันธ์ระหว่างระยะรอบวงกลม กับระยะตัดมันคืออะไร?
-
และมันเท่ากับสำหรับวงกลมทุกวงหรืเปล่า?
-
และมันมีวิธีที่ทำให้เราพอใจว่ามันเป็นจริงเสมอไหม?"
-
แล้วเมื่อคุณไปยังยุคกรีกตอนต้น
-
พวกเขาก็เริ่มคิดอย่างละเอียดลออกเกี่ยวกับเรขาคณิตแล้ว
-
เวลาคุณพูดถึงนักคณิตศาสตร์ชาวกรีกอย่างปีทาโกรัส
-
(เขามาก่อนยูคลิด)
-
สาเหตุที่คนมักพูดถึง "เรขาคณิตแบบยูคลิด" คือประมาณ 300 ปีก่อนคริสตกาล
-
(และนี่ตรงนี้คือภาพของยูคลิดวาดโดยราฟาเอล, และไม่มีใครรู้ว่ายูคลิดเป็นอย่างไร
-
หรือแม้กระทั่งว่าเขาเกิดที่ไหน ตายเมื่อไหร่, นี่จึงคือมุมมองของราฟาเอลว่ายูคลิดน่าจะเป็นอย่างไร
-
ตอนที่เขาสอนอยู่ที่เมืองอเลกซานเดรีย)
-
แต่สิ่งที่ทำให้ยูคลิดเป็น "บิดาแห่งเรขาคณิต" คืองานเขียนที่ชื่อ "Euclid's Elements"
-
และ "Euclid's Elements" เป็นหนังสือเรียน 13 เล่ม
-
(และอาจเรียกได้ว่าเป็นหนังสือเรียนชื่อดังที่สุดตลอดกาล)
-
และสิ่งที่เขาทำในหนังสือ 13 เล่มนั้น คือการเดินทางที่รัดกุม เต็มไปด้วยความคิด, และเหตุผล
-
ผ่านวิชาเรขาคณิต, ทฤษฎีจำนวน, และเรขาคณิตทรงตัน (เรขาคณิตในสามมิติ)
-
และเจ้านี่ตรงนั้น คือส่วนหน้าของแบบภาษาอังกฤษ --
-
หรือการแปลเป็นภาษาอังกฤษครั้งแรก -- ของ "Euclid's Elements"
-
นี่เกิดขึ้นในปี 1570
-
แต่แน่นอนมันเขียนครั้งแรกเป็นภาษากรีก, และในช่วงยุคกลาง
-
ความรู้ส่งผ่านโดยชาวอาหรับ และมันถูกแปลเป็นภาษาอารบิค
-
และสุดท้าย ในช่วงปลายยุคกลาง ได้ถูกต้องเป็นภาษาละตินและภาษาอังกฤษในที่สุด
-
และเมื่อผมว่าเขา "เดินทางอย่างรัดกุม" ยูคลิดไม่ได้บอกว่า
-
"ด้านสองด้านของสามเหลี่ยมมุมฉากกำลังสอง จะเท่ากับ ด้านตรงข้ามมุมฉาก
-
กำลังสอง -- " อะไรพวกนั้น (และเราจะพูดถึงต่อไปว่ามันหมายถึงอะไร)
-
เขาบอกว่า "ข้าพเจ้าไม่อยากรู้สึกดีว่ามันน่าจะจริง. ข้าพเจ้าอยากพิสูจน์ด้วยตัวเองว่ามันเป็นจริง"
-
และสิ่งที่เขาทำใน "Elements" (โดยเฉพาะหกเล่มแรก เกี่ยวข้องกับเรขาคณิตบนระนาบ)
-
คือเขาเริ่มต้นด้วยข้อสมมุติพื้นฐาน
-
และข้อสมมุติพื้นฐานเหล่านี้ "พูดในเชิงเรขาคณิตแล้ว" มันเรียกว่า "สัจพจน์ (axioms)" หรือ "สมมุติฐาน (postulates)"
-
แล้วจกานั้น, เขาก็พิสูจน์, เขาสรุปผลได้เป็นประโยคอื่นๆ หรือ "บทสรุป (proposition)" (บางครั้งพวกนี้เรียกว่า "ทฤษฏีบท (theorems)" )
-
แล้วเขาบอกว่า "ตอนนี้, ผมรู้แล้ว. ถ้านี่เป็นจริง, และนี่เป็นจริง, นี่ต้องเป็นจริงด้วย"
-
แล้วเขาก็สามารถพิสูจน์หลายอย่างได้ว่ามันไม่จริง
-
แล้วเขาก็พิสูจน์ว่านี่จะไม่เป็นจริง
-
เขาไม่ได้บอกว่า "วงกลมทุกวันที่ผมเจอ จะมีสมบัตินี้"
-
เขาบอกว่า "ผมได้พิสูจน์แล้วว่านี่เป็นจริง"
-
แล้วล จากนี้, เขาก็ทำไปแล้วก็สรุปบทสรุปอื่นๆ หรือ "ทฤษฏีบท"
-
(และเราสามารถใช้ "สัจพจน์" เดิมในการพิสูจน์ด้วย)
-
และสิ่งที่พิเศษเกี่ยวกับมันคือว่า ไม่มีใครเคยทำมาก่อน
-
การพิสูจน์อย่างรัดกุม อยู่เหนือเงาแห่งความสงสัยที่พาดผ่านทั่วดินแดนความรู้
-
ไม่ใช่การพิสูจน์อันหนึ่งสำหรับอันนี้ หรืออันนั้น. เราทำมันสำหรับ "เซต" ความรู้ทั้งหมด
-
การ "เดินทาง" อย่างรัดกุมผ่านหัวข้อต่างๆ โดยที่เขาสร้างชุด "สัจพจน์" กับ "สมมุติฐาน" ขึ้นมา แล้วก็ "ทฤษฎีบท" กับ "บทสรุป"
-
(และทฤษฎีบทกับบทสรุปนั้นเหมือนกัน)
-
และเมื่อผ่านไปประมาณ 2,000 ปีหลังยุคยูคลิด (นี่เป็นหนังสือที่อยู่มานานอย่างไม่น่าเชื่อ!)
-
คุณจะไม่มองคุณว่ามีการศึกษา หากคุณยังไม่ได้อ่านหรือเข้าใจ "Elements" ของยูคลิด
-
และ "Euclid's Elements" (ตัวหนังสือเอง) เป็นหนังสือที่พิมพ์มากที่สุดในโลกตะวันตก
-
ต่อจากคัมภีร์ไบเบิ้ล
-
นี่คือหนังสือเรียนคณิตศาสตร์ ถัดจากไบเบิ้ล
-
เมื่อสำนักพิมพ์แห่งแรกเปิดตัว เขาบอกว่า "โอเค, พิมพ์คัมภีร์ไบเบิ้ลกัน, แล้วอะไรอต่อ"
-
"พิมพ์ 'Euclid's Elements' ดีกว่า"
-
และเพื่อให้เห็นว่านี่ยังคงเกี่ยวข้องกับอดีตเมื่อเร็วๆ นี้ (มันอาจจะขึ้นอยู่กับว่าคุณ
-
เห็นว่า 150-160 ปีก่อนเป็นอดีตเมื่อเร็วๆ นี้หรือเปล่า)
-
เจ้านี่ตรงนี้คือคำพูดจากอับราฮัม ลินคอล์น (หนึ่งในประธานาธิบดี
-
ที่ใหญ่ของอเมริกาแน่นอน). ผมชอบภาพของอับราฮัม ลินคอล์น ภาพนี้
-
นี่คือภาพถ่ายจริงของลินคอล์นในช่วงอายุปลาย 30
-
แต่เขาเป็นแฟนตัวยงของ "Euclid's Elements". เขาใช้มันเพื่อ "จูน" ความคิดเขา
-
ตอนที่เขาขี่ม้า, เขาจะอ่าน "Euclid's Elements". ในขณะที่อยู่ใน
-
ไวท์เฮ้าส์ เขาก็อ่าน "Euclid's Elements"
-
แต่นี่คือคำพูดโดยตรงจากลินคอล์น,
-
"ตอนที่ข้าพเจ้าอ่านหนังสือกฎหมาย, ข้าพเจ้ามักพบคำว่า 'แสดง (demonstrate)'
-
ตอนแรกข้าพเจ้าคิดว่า ข้าพเจ้าเข้าใจความหมายของมัน, แต่ในไม่ช้า ข้าพเจ้ากลับไม่พอใจ
-
ข้าพเจ้าถามตัวเอง ว่าข้าพเจ้าจะทำอย่างไรเมื่อข้าพเจ้าแสดงมากกว่าให้เหตุผลหรือพิสูจน์?
-
แล้ว 'การแสดง' จะต่างจากการพิสูจน์อื่นอย่างไร --"
-
ลินคอล์นบอกว่า มันมีคำว่า 'การแสดง' หมายถึงการพิสูจน์เหนือข้อสงสัยใดๆ
-
บางอย่างที่รัดกุมกว่า -- มากกว่าแค่รู้สึกดีกับอะไรสักอย่างหรือการให้เหตุผลเกี่ยวกับสิ่งนั้น
-
" -- ข้าพเจ้าค้นหาพจนานุกรมของเว็บสเตอร์ --" (ดังนั้นพจนานุกรมของเว็บสเตอร์ก็มีในยุคของลินคอล์นแล้ว)
-
" -- พวกเขาพูดถึงการพิสูจน์ -- การพิสูจน์ที่อยู่เหนือความสงสัยที่เป็นไปได้ใดๆ แต่ข้าพเจ้ายัง
-
ไม่รู้จักแนวคิด หรือการพิสูจน์ใดๆ เช่นนั้น. ข้าพเจ้าคิดว่ามีสิ่งต่างๆ มากมายที่ได้รับการพิสูจน์เหนือ
-
ข้อสงสัยที่เป็นไปได้ใดๆ โดยไม่ต้องพึ่งกระบวนการให้เหตุผลเหนือ
-
ธรรมดาอย่างที่ข้าพเจ้าเข้าใจคำว่า 'การแสดง'
-
ข้าพเจ้าค้นหาในพจนานุกรมและหนังสืออ้าอิงที่ข้าพเจ้าจะหาได้ แต่ไม่มีผลที่ดีกว่าใด
-
เจ้าอาจนิยามคำว่า 'สีฟ้า' ให้คนตาบอดได้
-
สุดท้ายข้าพเจ้าจึงบอกว่า 'ลินคอล์น, เจ้าไม่มีทางเป็นทนายความได้ ถ้าเจ้าไม่เข้าใจว่าคำว่า 'แสดง' คืออะไร
-
ข้าพเจ้าจึงหนีจากเมืองสปริงฟีลด์, กลับไปที่บ้านของบิดา, แล้วอยู่ที่นั่น
-
กระทั่งข้าพเจ้าสามารถบอกทฤษฎีบทใดๆ ในหนังสือทั้ง 6 เล่มของยูคลิดได้"
-
(นี่หมายถึงหนังสือ 6 เล่มที่พูดถึงเรขาคณิตบนระนาบ)
-
" -- ข้าพเจ้าจึงเข้าใจคำว่า 'แสดง' และกลับเรียนกฏหมายต่อได้"
-
ประธานาธิบดีอเมริกาที่ยิ่งใหญ่ที่สุดตลอดกาลคนหนึ่ง, ตอนที่เขาจะเป็นทนายความผู้ยิ่งใหญ่,
-
เขายังต้องเข้าใจ -- สามารถพิสูจน์ทฤษฎีบทใดๆ ในหนังสือทั้ง 6 เล่มของ "Euclid's Elements"
-
ได้เอง. แล้ว, เมื่อเขายังอยู่ในไวท์เฮ้าส์ เขาก็ยังทำการ "จูน" สมอง
-
เพื่อเป็นประธานาธิบดีผู้ยิ่งใหญ่
-
และ, สิ่งที่เราจะทำในรายการวิดีโอเรื่องเรขาคณิตก็เป็นไปตามนั้น
-
สิ่งที่เราจะศึกษา -- เราจะคิดว่าเราจะพิสูจน์สิ่งต่างๆ "อย่างรัดกุม" ได้อย่างไร?
-
เราจะ -- ในยุคใหม่ -- ศึกษาสิ่งที่ยูคลิดศึกษาเมื่อ 2,300 ปีที่แล้ว
-
เพื่อฝึกผูกโยงเหตุผลของประโยคต่างๆ และแน่ใจว่าเวลาเราพูดอะไรสักอย่าง
-
เราสามารถพิสูจน์สิ่งที่เราพูดได้จริง
-
นี่คือคณิตศาสตร์ "จริง" พื้นฐานที่สุดที่คุณจะทำ
-
เลขคณิตเป็นแค่การคำนวณ
-
แต่ตอนนี้, ในเรขาคณิต (เราจะทำเรขาคณิตของยูคลิด)
-
นี่คือสิงที่คณิตศาสตร์เป็นจริงๆ
-
การตั้งสมมติฐานแล้วสรุปสิ่งต่างๆ จากสมมุติฐานเหล่านั้น