0:00:00.789,0:00:04.600
"กฎของธรรมชาติไม่ใช่อะไรนอกจากความคิดทางคณิตศาสตร์ของพระเจ้า"

0:00:04.862,0:00:07.523
และนี่คือคำพูดถึงยูคลิดแห่งอเลกซานเดรีย

0:00:07.523,0:00:12.655
เขาคือนักคณิตศาสตร์และนักปรัชญาขาวกรีก ที่มีชีวิตอยู่ประมาณ 300 ปีก่อนคริสต์

0:00:12.655,0:00:19.691
และสาเหตุที่ผมใส่คำพูดเขาในนีน้ เพราะยูคลิดนับว่าเป็นบิดาของเรขาคณิต

0:00:19.691,0:00:22.663
และมันเป็นคำกล่าวที่เนี๊ยบมาก, ไม่ว่าคุณจะมองเรื่องพระเจ้าอย่างไร

0:00:22.663,0:00:25.054
ไม่ว่าพระเจ้ามีจริงหรือไม่ หรือธรรมชาติของพระเจ้าคืออะไร

0:00:25.054,0:00:27.516
มันบอกถึงหลักพื้นฐานอย่างยิ่งเกี่ยวกับธรรมชาติ

0:00:27.516,0:00:31.649
กฏของธรรมชาติไม่ใช่อะไรออกจาความคิดทางคณิตศาสตร์ของพรเจ้า

0:00:31.649,0:00:35.016
คณิตศาสตร์ฝังอยู่ในกฏของธรรมชาติทุกอย่าง

0:00:35.016,0:00:37.802
และคำว่า "เรขาคณิต" (geometry) เองมาจากรากศัพท์กรีก

0:00:37.802,0:00:40.983
"geo" มาจากคำกรีก แปลว่า "โลก"

0:00:40.983,0:00:44.211
"metry" มาจากคำกรีก แปลว่า "การวัด"

0:00:44.211,0:00:47.183
คุณอาจเคยได้ยินคำว่าระบบ "เมทริก"

0:00:47.183,0:00:50.132
และยูคลิดนับว่าเป็นบิดาแห่งเรขาคณิต

0:00:50.132,0:00:52.802
(ไม่ใช่เพราะว่าเขาเป็นคนแรกที่ศึกษาเรขาคณิต"

0:00:52.802,0:00:56.285
คุณคงจินตนาการได้ว่ามนุษย์คนแรกๆ ก็เรียนเรขาคณิตเหมือนกัน

0:00:56.562,0:01:00.024
พวกเขาอาจดูกิ่งไม้สองอันบนพื้น ที่เป็นแบบนั้น

0:01:00.024,0:01:02.462
และพวกเขาดูกิ่งไม้อีกคู๋ที่เป็นแบบนั้น

0:01:02.462,0:01:05.178
แล้วบอกว่า "อันนี้เปิดมากกว่านะ. มันมีความสัมพันธ์อะไรอยู่?"

0:01:05.178,0:01:13.654
หรือพวกเขาอาจมองต้นไม้ที่กิ่งก้านออกมาแบบนั้น

0:01:13.654,0:01:18.274
และเขาบอกว่า "อืม, มันมีอะไรคล้ายๆ ระหว่างมุมนี้ กับมุมนี้ตรงนี้นะ"

0:01:18.274,0:01:19.737
หรือพวกเขาอาจถามตัวเอง

0:01:19.737,0:01:26.123
"อัตราส่วน หรือความสัมพันธ์ระหว่างระยะรอบวงกลม กับระยะตัดมันคืออะไร?

0:01:26.123,0:01:28.352
และมันเท่ากับสำหรับวงกลมทุกวงหรืเปล่า?

0:01:28.352,0:01:31.812
และมันมีวิธีที่ทำให้เราพอใจว่ามันเป็นจริงเสมอไหม?"

0:01:31.812,0:01:34.412
แล้วเมื่อคุณไปยังยุคกรีกตอนต้น

0:01:34.412,0:01:39.010
พวกเขาก็เริ่มคิดอย่างละเอียดลออกเกี่ยวกับเรขาคณิตแล้ว

0:01:39.010,0:01:43.259
เวลาคุณพูดถึงนักคณิตศาสตร์ชาวกรีกอย่างปีทาโกรัส

0:01:43.259,0:01:45.535
(เขามาก่อนยูคลิด)

0:01:45.535,0:01:54.511
สาเหตุที่คนมักพูดถึง "เรขาคณิตแบบยูคลิด" คือประมาณ 300 ปีก่อนคริสตกาล

0:01:54.511,0:01:59.832
(และนี่ตรงนี้คือภาพของยูคลิดวาดโดยราฟาเอล, และไม่มีใครรู้ว่ายูคลิดเป็นอย่างไร

0:01:59.832,0:02:05.793
หรือแม้กระทั่งว่าเขาเกิดที่ไหน ตายเมื่อไหร่, นี่จึงคือมุมมองของราฟาเอลว่ายูคลิดน่าจะเป็นอย่างไร

0:02:05.793,0:02:08.383
ตอนที่เขาสอนอยู่ที่เมืองอเลกซานเดรีย)

0:02:08.383,0:02:14.397
แต่สิ่งที่ทำให้ยูคลิดเป็น "บิดาแห่งเรขาคณิต" คืองานเขียนที่ชื่อ "Euclid's Elements"

0:02:14.397,0:02:21.263
และ "Euclid's Elements" เป็นหนังสือเรียน 13 เล่ม

0:02:21.263,0:02:24.773
(และอาจเรียกได้ว่าเป็นหนังสือเรียนชื่อดังที่สุดตลอดกาล)

0:02:24.773,0:02:31.441
และสิ่งที่เขาทำในหนังสือ 13 เล่มนั้น คือการเดินทางที่รัดกุม เต็มไปด้วยความคิด, และเหตุผล

0:02:31.441,0:02:37.524
ผ่านวิชาเรขาคณิต, ทฤษฎีจำนวน, และเรขาคณิตทรงตัน (เรขาคณิตในสามมิติ)

0:02:37.524,0:02:40.682
และเจ้านี่ตรงนั้น คือส่วนหน้าของแบบภาษาอังกฤษ --

0:02:40.682,0:02:44.955
หรือการแปลเป็นภาษาอังกฤษครั้งแรก -- ของ "Euclid's Elements"

0:02:44.955,0:02:47.532
นี่เกิดขึ้นในปี 1570

0:02:47.532,0:02:51.851
แต่แน่นอนมันเขียนครั้งแรกเป็นภาษากรีก, และในช่วงยุคกลาง

0:02:51.851,0:02:55.334
ความรู้ส่งผ่านโดยชาวอาหรับ และมันถูกแปลเป็นภาษาอารบิค

0:02:55.334,0:03:02.393
และสุดท้าย ในช่วงปลายยุคกลาง ได้ถูกต้องเป็นภาษาละตินและภาษาอังกฤษในที่สุด

0:03:02.393,0:03:05.806
และเมื่อผมว่าเขา "เดินทางอย่างรัดกุม" ยูคลิดไม่ได้บอกว่า

0:03:05.806,0:03:14.374
"ด้านสองด้านของสามเหลี่ยมมุมฉากกำลังสอง จะเท่ากับ ด้านตรงข้ามมุมฉาก

0:03:14.374,0:03:18.182
กำลังสอง -- " อะไรพวกนั้น (และเราจะพูดถึงต่อไปว่ามันหมายถึงอะไร)

0:03:18.182,0:03:24.475
เขาบอกว่า "ข้าพเจ้าไม่อยากรู้สึกดีว่ามันน่าจะจริง. ข้าพเจ้าอยากพิสูจน์ด้วยตัวเองว่ามันเป็นจริง"

0:03:24.475,0:03:29.723
และสิ่งที่เขาทำใน "Elements" (โดยเฉพาะหกเล่มแรก เกี่ยวข้องกับเรขาคณิตบนระนาบ)

0:03:33.215,0:03:37.721
คือเขาเริ่มต้นด้วยข้อสมมุติพื้นฐาน

0:03:37.721,0:03:43.747
และข้อสมมุติพื้นฐานเหล่านี้ "พูดในเชิงเรขาคณิตแล้ว" มันเรียกว่า "สัจพจน์ (axioms)" หรือ "สมมุติฐาน (postulates)"

0:03:43.747,0:03:51.549
แล้วจกานั้น, เขาก็พิสูจน์, เขาสรุปผลได้เป็นประโยคอื่นๆ หรือ "บทสรุป (proposition)" (บางครั้งพวกนี้เรียกว่า "ทฤษฏีบท (theorems)" )

0:03:51.549,0:03:55.729
แล้วเขาบอกว่า "ตอนนี้, ผมรู้แล้ว. ถ้านี่เป็นจริง, และนี่เป็นจริง, นี่ต้องเป็นจริงด้วย"

0:03:55.729,0:03:58.492
แล้วเขาก็สามารถพิสูจน์หลายอย่างได้ว่ามันไม่จริง

0:03:58.492,0:04:01.255
แล้วเขาก็พิสูจน์ว่านี่จะไม่เป็นจริง

0:04:01.255,0:04:04.042
เขาไม่ได้บอกว่า "วงกลมทุกวันที่ผมเจอ จะมีสมบัตินี้"

0:04:04.042,0:04:06.155
เขาบอกว่า "ผมได้พิสูจน์แล้วว่านี่เป็นจริง"

0:04:06.155,0:04:11.402
แล้วล จากนี้, เขาก็ทำไปแล้วก็สรุปบทสรุปอื่นๆ หรือ "ทฤษฏีบท"

0:04:11.402,0:04:14.096
(และเราสามารถใช้ "สัจพจน์" เดิมในการพิสูจน์ด้วย)

0:04:14.096,0:04:17.068
และสิ่งที่พิเศษเกี่ยวกับมันคือว่า ไม่มีใครเคยทำมาก่อน

0:04:17.068,0:04:23.477
การพิสูจน์อย่างรัดกุม อยู่เหนือเงาแห่งความสงสัยที่พาดผ่านทั่วดินแดนความรู้

0:04:23.477,0:04:30.095
ไม่ใช่การพิสูจน์อันหนึ่งสำหรับอันนี้ หรืออันนั้น. เราทำมันสำหรับ "เซต" ความรู้ทั้งหมด

0:04:30.884,0:04:39.692
การ "เดินทาง" อย่างรัดกุมผ่านหัวข้อต่างๆ โดยที่เขาสร้างชุด "สัจพจน์" กับ "สมมุติฐาน" ขึ้นมา แล้วก็ "ทฤษฎีบท" กับ "บทสรุป"

0:04:39.692,0:04:42.022
(และทฤษฎีบทกับบทสรุปนั้นเหมือนกัน)

0:04:43.069,0:04:47.881
และเมื่อผ่านไปประมาณ 2,000 ปีหลังยุคยูคลิด (นี่เป็นหนังสือที่อยู่มานานอย่างไม่น่าเชื่อ!)

0:04:47.881,0:04:55.427
คุณจะไม่มองคุณว่ามีการศึกษา หากคุณยังไม่ได้อ่านหรือเข้าใจ "Elements" ของยูคลิด

0:04:55.427,0:04:59.862
และ "Euclid's Elements" (ตัวหนังสือเอง) เป็นหนังสือที่พิมพ์มากที่สุดในโลกตะวันตก

0:04:59.862,0:05:01.581
ต่อจากคัมภีร์ไบเบิ้ล

0:05:01.581,0:05:04.344
นี่คือหนังสือเรียนคณิตศาสตร์ ถัดจากไบเบิ้ล

0:05:04.344,0:05:07.943
เมื่อสำนักพิมพ์แห่งแรกเปิดตัว เขาบอกว่า "โอเค, พิมพ์คัมภีร์ไบเบิ้ลกัน, แล้วอะไรอต่อ"

0:05:07.943,0:05:09.940
"พิมพ์ 'Euclid's Elements' ดีกว่า"

0:05:10.525,0:05:16.606
และเพื่อให้เห็นว่านี่ยังคงเกี่ยวข้องกับอดีตเมื่อเร็วๆ นี้ (มันอาจจะขึ้นอยู่กับว่าคุณ

0:05:16.606,0:05:19.416
เห็นว่า 150-160 ปีก่อนเป็นอดีตเมื่อเร็วๆ นี้หรือเปล่า)

0:05:19.816,0:05:23.779
เจ้านี่ตรงนี้คือคำพูดจากอับราฮัม ลินคอล์น (หนึ่งในประธานาธิบดี

0:05:23.779,0:05:26.612
ที่ใหญ่ของอเมริกาแน่นอน). ผมชอบภาพของอับราฮัม ลินคอล์น ภาพนี้

0:05:26.612,0:05:29.747
นี่คือภาพถ่ายจริงของลินคอล์นในช่วงอายุปลาย 30

0:05:29.747,0:05:35.900
แต่เขาเป็นแฟนตัวยงของ "Euclid's Elements". เขาใช้มันเพื่อ "จูน" ความคิดเขา

0:05:35.900,0:05:38.872
ตอนที่เขาขี่ม้า, เขาจะอ่าน "Euclid's Elements". ในขณะที่อยู่ใน

0:05:38.872,0:05:40.777
ไวท์เฮ้าส์ เขาก็อ่าน "Euclid's Elements"

0:05:41.207,0:05:43.795
แต่นี่คือคำพูดโดยตรงจากลินคอล์น,

0:05:43.795,0:05:48.415
"ตอนที่ข้าพเจ้าอ่านหนังสือกฎหมาย, ข้าพเจ้ามักพบคำว่า 'แสดง (demonstrate)'

0:05:48.415,0:05:53.454
ตอนแรกข้าพเจ้าคิดว่า ข้าพเจ้าเข้าใจความหมายของมัน, แต่ในไม่ช้า ข้าพเจ้ากลับไม่พอใจ

0:05:53.454,0:05:59.375
ข้าพเจ้าถามตัวเอง ว่าข้าพเจ้าจะทำอย่างไรเมื่อข้าพเจ้าแสดงมากกว่าให้เหตุผลหรือพิสูจน์?

0:05:59.375,0:06:02.580
แล้ว 'การแสดง' จะต่างจากการพิสูจน์อื่นอย่างไร --"

0:06:02.580,0:06:08.454
ลินคอล์นบอกว่า มันมีคำว่า 'การแสดง' หมายถึงการพิสูจน์เหนือข้อสงสัยใดๆ

0:06:08.454,0:06:13.307
บางอย่างที่รัดกุมกว่า -- มากกว่าแค่รู้สึกดีกับอะไรสักอย่างหรือการให้เหตุผลเกี่ยวกับสิ่งนั้น

0:06:13.307,0:06:17.998
" -- ข้าพเจ้าค้นหาพจนานุกรมของเว็บสเตอร์ --" (ดังนั้นพจนานุกรมของเว็บสเตอร์ก็มีในยุคของลินคอล์นแล้ว)

0:06:17.998,0:06:23.060
" -- พวกเขาพูดถึงการพิสูจน์ -- การพิสูจน์ที่อยู่เหนือความสงสัยที่เป็นไปได้ใดๆ แต่ข้าพเจ้ายัง

0:06:23.060,0:06:28.005
ไม่รู้จักแนวคิด หรือการพิสูจน์ใดๆ เช่นนั้น. ข้าพเจ้าคิดว่ามีสิ่งต่างๆ มากมายที่ได้รับการพิสูจน์เหนือ

0:06:28.005,0:06:32.649
ข้อสงสัยที่เป็นไปได้ใดๆ โดยไม่ต้องพึ่งกระบวนการให้เหตุผลเหนือ

0:06:32.649,0:06:35.668
ธรรมดาอย่างที่ข้าพเจ้าเข้าใจคำว่า 'การแสดง'

0:06:35.668,0:06:41.241
ข้าพเจ้าค้นหาในพจนานุกรมและหนังสืออ้าอิงที่ข้าพเจ้าจะหาได้ แต่ไม่มีผลที่ดีกว่าใด

0:06:41.241,0:06:45.676
เจ้าอาจนิยามคำว่า 'สีฟ้า' ให้คนตาบอดได้

0:06:45.676,0:06:55.150
สุดท้ายข้าพเจ้าจึงบอกว่า 'ลินคอล์น, เจ้าไม่มีทางเป็นทนายความได้ ถ้าเจ้าไม่เข้าใจว่าคำว่า 'แสดง' คืออะไร

0:06:55.150,0:07:00.467
ข้าพเจ้าจึงหนีจากเมืองสปริงฟีลด์, กลับไปที่บ้านของบิดา, แล้วอยู่ที่นั่น

0:07:00.467,0:07:04.345
กระทั่งข้าพเจ้าสามารถบอกทฤษฎีบทใดๆ ในหนังสือทั้ง 6 เล่มของยูคลิดได้"

0:07:04.345,0:07:06.806
(นี่หมายถึงหนังสือ 6 เล่มที่พูดถึงเรขาคณิตบนระนาบ)

0:07:06.806,0:07:11.868
" -- ข้าพเจ้าจึงเข้าใจคำว่า 'แสดง' และกลับเรียนกฏหมายต่อได้"

0:07:11.868,0:07:17.348
ประธานาธิบดีอเมริกาที่ยิ่งใหญ่ที่สุดตลอดกาลคนหนึ่ง, ตอนที่เขาจะเป็นทนายความผู้ยิ่งใหญ่,

0:07:17.348,0:07:24.128
เขายังต้องเข้าใจ -- สามารถพิสูจน์ทฤษฎีบทใดๆ ในหนังสือทั้ง 6 เล่มของ "Euclid's Elements"

0:07:24.128,0:07:30.885
ได้เอง. แล้ว, เมื่อเขายังอยู่ในไวท์เฮ้าส์ เขาก็ยังทำการ "จูน" สมอง

0:07:30.885,0:07:32.954
เพื่อเป็นประธานาธิบดีผู้ยิ่งใหญ่

0:07:33.447,0:07:36.922
และ, สิ่งที่เราจะทำในรายการวิดีโอเรื่องเรขาคณิตก็เป็นไปตามนั้น

0:07:36.922,0:07:42.806
สิ่งที่เราจะศึกษา -- เราจะคิดว่าเราจะพิสูจน์สิ่งต่างๆ "อย่างรัดกุม" ได้อย่างไร?

0:07:42.868,0:07:49.624
เราจะ -- ในยุคใหม่ -- ศึกษาสิ่งที่ยูคลิดศึกษาเมื่อ 2,300 ปีที่แล้ว

0:07:49.624,0:07:59.812
เพื่อฝึกผูกโยงเหตุผลของประโยคต่างๆ และแน่ใจว่าเวลาเราพูดอะไรสักอย่าง

0:07:59.812,0:08:01.972
เราสามารถพิสูจน์สิ่งที่เราพูดได้จริง

0:08:01.972,0:08:06.388
นี่คือคณิตศาสตร์ "จริง" พื้นฐานที่สุดที่คุณจะทำ

0:08:06.388,0:08:08.525
เลขคณิตเป็นแค่การคำนวณ

0:08:08.525,0:08:12.820
แต่ตอนนี้, ในเรขาคณิต (เราจะทำเรขาคณิตของยูคลิด)

0:08:12.820,0:08:17.000
นี่คือสิงที่คณิตศาสตร์เป็นจริงๆ

0:08:17.000,0:08:21.388
การตั้งสมมติฐานแล้วสรุปสิ่งต่างๆ จากสมมุติฐานเหล่านั้น