1
00:00:00,789 --> 00:00:04,600
"กฎของธรรมชาติไม่ใช่อะไรนอกจากความคิดทางคณิตศาสตร์ของพระเจ้า"

2
00:00:04,862 --> 00:00:07,523
และนี่คือคำพูดถึงยูคลิดแห่งอเลกซานเดรีย

3
00:00:07,523 --> 00:00:12,655
เขาคือนักคณิตศาสตร์และนักปรัชญาขาวกรีก ที่มีชีวิตอยู่ประมาณ 300 ปีก่อนคริสต์

4
00:00:12,655 --> 00:00:19,691
และสาเหตุที่ผมใส่คำพูดเขาในนีน้ เพราะยูคลิดนับว่าเป็นบิดาของเรขาคณิต

5
00:00:19,691 --> 00:00:22,663
และมันเป็นคำกล่าวที่เนี๊ยบมาก, ไม่ว่าคุณจะมองเรื่องพระเจ้าอย่างไร

6
00:00:22,663 --> 00:00:25,054
ไม่ว่าพระเจ้ามีจริงหรือไม่ หรือธรรมชาติของพระเจ้าคืออะไร

7
00:00:25,054 --> 00:00:27,516
มันบอกถึงหลักพื้นฐานอย่างยิ่งเกี่ยวกับธรรมชาติ

8
00:00:27,516 --> 00:00:31,649
กฏของธรรมชาติไม่ใช่อะไรออกจาความคิดทางคณิตศาสตร์ของพรเจ้า

9
00:00:31,649 --> 00:00:35,016
คณิตศาสตร์ฝังอยู่ในกฏของธรรมชาติทุกอย่าง

10
00:00:35,016 --> 00:00:37,802
และคำว่า "เรขาคณิต" (geometry) เองมาจากรากศัพท์กรีก

11
00:00:37,802 --> 00:00:40,983
"geo" มาจากคำกรีก แปลว่า "โลก"

12
00:00:40,983 --> 00:00:44,211
"metry" มาจากคำกรีก แปลว่า "การวัด"

13
00:00:44,211 --> 00:00:47,183
คุณอาจเคยได้ยินคำว่าระบบ "เมทริก"

14
00:00:47,183 --> 00:00:50,132
และยูคลิดนับว่าเป็นบิดาแห่งเรขาคณิต

15
00:00:50,132 --> 00:00:52,802
(ไม่ใช่เพราะว่าเขาเป็นคนแรกที่ศึกษาเรขาคณิต"

16
00:00:52,802 --> 00:00:56,285
คุณคงจินตนาการได้ว่ามนุษย์คนแรกๆ ก็เรียนเรขาคณิตเหมือนกัน

17
00:00:56,562 --> 00:01:00,024
พวกเขาอาจดูกิ่งไม้สองอันบนพื้น ที่เป็นแบบนั้น

18
00:01:00,024 --> 00:01:02,462
และพวกเขาดูกิ่งไม้อีกคู๋ที่เป็นแบบนั้น

19
00:01:02,462 --> 00:01:05,178
แล้วบอกว่า "อันนี้เปิดมากกว่านะ. มันมีความสัมพันธ์อะไรอยู่?"

20
00:01:05,178 --> 00:01:13,654
หรือพวกเขาอาจมองต้นไม้ที่กิ่งก้านออกมาแบบนั้น

21
00:01:13,654 --> 00:01:18,274
และเขาบอกว่า "อืม, มันมีอะไรคล้ายๆ ระหว่างมุมนี้ กับมุมนี้ตรงนี้นะ"

22
00:01:18,274 --> 00:01:19,737
หรือพวกเขาอาจถามตัวเอง

23
00:01:19,737 --> 00:01:26,123
"อัตราส่วน หรือความสัมพันธ์ระหว่างระยะรอบวงกลม กับระยะตัดมันคืออะไร?

24
00:01:26,123 --> 00:01:28,352
และมันเท่ากับสำหรับวงกลมทุกวงหรืเปล่า?

25
00:01:28,352 --> 00:01:31,812
และมันมีวิธีที่ทำให้เราพอใจว่ามันเป็นจริงเสมอไหม?"

26
00:01:31,812 --> 00:01:34,412
แล้วเมื่อคุณไปยังยุคกรีกตอนต้น

27
00:01:34,412 --> 00:01:39,010
พวกเขาก็เริ่มคิดอย่างละเอียดลออกเกี่ยวกับเรขาคณิตแล้ว

28
00:01:39,010 --> 00:01:43,259
เวลาคุณพูดถึงนักคณิตศาสตร์ชาวกรีกอย่างปีทาโกรัส

29
00:01:43,259 --> 00:01:45,535
(เขามาก่อนยูคลิด)

30
00:01:45,535 --> 00:01:54,511
สาเหตุที่คนมักพูดถึง "เรขาคณิตแบบยูคลิด" คือประมาณ 300 ปีก่อนคริสตกาล

31
00:01:54,511 --> 00:01:59,832
(และนี่ตรงนี้คือภาพของยูคลิดวาดโดยราฟาเอล, และไม่มีใครรู้ว่ายูคลิดเป็นอย่างไร

32
00:01:59,832 --> 00:02:05,793
หรือแม้กระทั่งว่าเขาเกิดที่ไหน ตายเมื่อไหร่, นี่จึงคือมุมมองของราฟาเอลว่ายูคลิดน่าจะเป็นอย่างไร

33
00:02:05,793 --> 00:02:08,383
ตอนที่เขาสอนอยู่ที่เมืองอเลกซานเดรีย)

34
00:02:08,383 --> 00:02:14,397
แต่สิ่งที่ทำให้ยูคลิดเป็น "บิดาแห่งเรขาคณิต" คืองานเขียนที่ชื่อ "Euclid's Elements"

35
00:02:14,397 --> 00:02:21,263
และ "Euclid's Elements" เป็นหนังสือเรียน 13 เล่ม

36
00:02:21,263 --> 00:02:24,773
(และอาจเรียกได้ว่าเป็นหนังสือเรียนชื่อดังที่สุดตลอดกาล)

37
00:02:24,773 --> 00:02:31,441
และสิ่งที่เขาทำในหนังสือ 13 เล่มนั้น คือการเดินทางที่รัดกุม เต็มไปด้วยความคิด, และเหตุผล

38
00:02:31,441 --> 00:02:37,524
ผ่านวิชาเรขาคณิต, ทฤษฎีจำนวน, และเรขาคณิตทรงตัน (เรขาคณิตในสามมิติ)

39
00:02:37,524 --> 00:02:40,682
และเจ้านี่ตรงนั้น คือส่วนหน้าของแบบภาษาอังกฤษ --

40
00:02:40,682 --> 00:02:44,955
หรือการแปลเป็นภาษาอังกฤษครั้งแรก -- ของ "Euclid's Elements"

41
00:02:44,955 --> 00:02:47,532
นี่เกิดขึ้นในปี 1570

42
00:02:47,532 --> 00:02:51,851
แต่แน่นอนมันเขียนครั้งแรกเป็นภาษากรีก, และในช่วงยุคกลาง

43
00:02:51,851 --> 00:02:55,334
ความรู้ส่งผ่านโดยชาวอาหรับ และมันถูกแปลเป็นภาษาอารบิค

44
00:02:55,334 --> 00:03:02,393
และสุดท้าย ในช่วงปลายยุคกลาง ได้ถูกต้องเป็นภาษาละตินและภาษาอังกฤษในที่สุด

45
00:03:02,393 --> 00:03:05,806
และเมื่อผมว่าเขา "เดินทางอย่างรัดกุม" ยูคลิดไม่ได้บอกว่า

46
00:03:05,806 --> 00:03:14,374
"ด้านสองด้านของสามเหลี่ยมมุมฉากกำลังสอง จะเท่ากับ ด้านตรงข้ามมุมฉาก

47
00:03:14,374 --> 00:03:18,182
กำลังสอง -- " อะไรพวกนั้น (และเราจะพูดถึงต่อไปว่ามันหมายถึงอะไร)

48
00:03:18,182 --> 00:03:24,475
เขาบอกว่า "ข้าพเจ้าไม่อยากรู้สึกดีว่ามันน่าจะจริง. ข้าพเจ้าอยากพิสูจน์ด้วยตัวเองว่ามันเป็นจริง"

49
00:03:24,475 --> 00:03:29,723
และสิ่งที่เขาทำใน "Elements" (โดยเฉพาะหกเล่มแรก เกี่ยวข้องกับเรขาคณิตบนระนาบ)

50
00:03:33,215 --> 00:03:37,721
คือเขาเริ่มต้นด้วยข้อสมมุติพื้นฐาน

51
00:03:37,721 --> 00:03:43,747
และข้อสมมุติพื้นฐานเหล่านี้ "พูดในเชิงเรขาคณิตแล้ว" มันเรียกว่า "สัจพจน์ (axioms)" หรือ "สมมุติฐาน (postulates)"

52
00:03:43,747 --> 00:03:51,549
แล้วจกานั้น, เขาก็พิสูจน์, เขาสรุปผลได้เป็นประโยคอื่นๆ หรือ "บทสรุป (proposition)" (บางครั้งพวกนี้เรียกว่า "ทฤษฏีบท (theorems)" )

53
00:03:51,549 --> 00:03:55,729
แล้วเขาบอกว่า "ตอนนี้, ผมรู้แล้ว. ถ้านี่เป็นจริง, และนี่เป็นจริง, นี่ต้องเป็นจริงด้วย"

54
00:03:55,729 --> 00:03:58,492
แล้วเขาก็สามารถพิสูจน์หลายอย่างได้ว่ามันไม่จริง

55
00:03:58,492 --> 00:04:01,255
แล้วเขาก็พิสูจน์ว่านี่จะไม่เป็นจริง

56
00:04:01,255 --> 00:04:04,042
เขาไม่ได้บอกว่า "วงกลมทุกวันที่ผมเจอ จะมีสมบัตินี้"

57
00:04:04,042 --> 00:04:06,155
เขาบอกว่า "ผมได้พิสูจน์แล้วว่านี่เป็นจริง"

58
00:04:06,155 --> 00:04:11,402
แล้วล จากนี้, เขาก็ทำไปแล้วก็สรุปบทสรุปอื่นๆ หรือ "ทฤษฏีบท"

59
00:04:11,402 --> 00:04:14,096
(และเราสามารถใช้ "สัจพจน์" เดิมในการพิสูจน์ด้วย)

60
00:04:14,096 --> 00:04:17,068
และสิ่งที่พิเศษเกี่ยวกับมันคือว่า ไม่มีใครเคยทำมาก่อน

61
00:04:17,068 --> 00:04:23,477
การพิสูจน์อย่างรัดกุม อยู่เหนือเงาแห่งความสงสัยที่พาดผ่านทั่วดินแดนความรู้

62
00:04:23,477 --> 00:04:30,095
ไม่ใช่การพิสูจน์อันหนึ่งสำหรับอันนี้ หรืออันนั้น. เราทำมันสำหรับ "เซต" ความรู้ทั้งหมด

63
00:04:30,884 --> 00:04:39,692
การ "เดินทาง" อย่างรัดกุมผ่านหัวข้อต่างๆ โดยที่เขาสร้างชุด "สัจพจน์" กับ "สมมุติฐาน" ขึ้นมา แล้วก็ "ทฤษฎีบท" กับ "บทสรุป"

64
00:04:39,692 --> 00:04:42,022
(และทฤษฎีบทกับบทสรุปนั้นเหมือนกัน)

65
00:04:43,069 --> 00:04:47,881
และเมื่อผ่านไปประมาณ 2,000 ปีหลังยุคยูคลิด (นี่เป็นหนังสือที่อยู่มานานอย่างไม่น่าเชื่อ!)

66
00:04:47,881 --> 00:04:55,427
คุณจะไม่มองคุณว่ามีการศึกษา หากคุณยังไม่ได้อ่านหรือเข้าใจ "Elements" ของยูคลิด

67
00:04:55,427 --> 00:04:59,862
และ "Euclid's Elements" (ตัวหนังสือเอง) เป็นหนังสือที่พิมพ์มากที่สุดในโลกตะวันตก

68
00:04:59,862 --> 00:05:01,581
ต่อจากคัมภีร์ไบเบิ้ล

69
00:05:01,581 --> 00:05:04,344
นี่คือหนังสือเรียนคณิตศาสตร์ ถัดจากไบเบิ้ล

70
00:05:04,344 --> 00:05:07,943
เมื่อสำนักพิมพ์แห่งแรกเปิดตัว เขาบอกว่า "โอเค, พิมพ์คัมภีร์ไบเบิ้ลกัน, แล้วอะไรอต่อ"

71
00:05:07,943 --> 00:05:09,940
"พิมพ์ 'Euclid's Elements' ดีกว่า"

72
00:05:10,525 --> 00:05:16,606
และเพื่อให้เห็นว่านี่ยังคงเกี่ยวข้องกับอดีตเมื่อเร็วๆ นี้ (มันอาจจะขึ้นอยู่กับว่าคุณ

73
00:05:16,606 --> 00:05:19,416
เห็นว่า 150-160 ปีก่อนเป็นอดีตเมื่อเร็วๆ นี้หรือเปล่า)

74
00:05:19,816 --> 00:05:23,779
เจ้านี่ตรงนี้คือคำพูดจากอับราฮัม ลินคอล์น (หนึ่งในประธานาธิบดี

75
00:05:23,779 --> 00:05:26,612
ที่ใหญ่ของอเมริกาแน่นอน). ผมชอบภาพของอับราฮัม ลินคอล์น ภาพนี้

76
00:05:26,612 --> 00:05:29,747
นี่คือภาพถ่ายจริงของลินคอล์นในช่วงอายุปลาย 30

77
00:05:29,747 --> 00:05:35,900
แต่เขาเป็นแฟนตัวยงของ "Euclid's Elements". เขาใช้มันเพื่อ "จูน" ความคิดเขา

78
00:05:35,900 --> 00:05:38,872
ตอนที่เขาขี่ม้า, เขาจะอ่าน "Euclid's Elements". ในขณะที่อยู่ใน

79
00:05:38,872 --> 00:05:40,777
ไวท์เฮ้าส์ เขาก็อ่าน "Euclid's Elements"

80
00:05:41,207 --> 00:05:43,795
แต่นี่คือคำพูดโดยตรงจากลินคอล์น,

81
00:05:43,795 --> 00:05:48,415
"ตอนที่ข้าพเจ้าอ่านหนังสือกฎหมาย, ข้าพเจ้ามักพบคำว่า 'แสดง (demonstrate)'

82
00:05:48,415 --> 00:05:53,454
ตอนแรกข้าพเจ้าคิดว่า ข้าพเจ้าเข้าใจความหมายของมัน, แต่ในไม่ช้า ข้าพเจ้ากลับไม่พอใจ

83
00:05:53,454 --> 00:05:59,375
ข้าพเจ้าถามตัวเอง ว่าข้าพเจ้าจะทำอย่างไรเมื่อข้าพเจ้าแสดงมากกว่าให้เหตุผลหรือพิสูจน์?

84
00:05:59,375 --> 00:06:02,580
แล้ว 'การแสดง' จะต่างจากการพิสูจน์อื่นอย่างไร --"

85
00:06:02,580 --> 00:06:08,454
ลินคอล์นบอกว่า มันมีคำว่า 'การแสดง' หมายถึงการพิสูจน์เหนือข้อสงสัยใดๆ

86
00:06:08,454 --> 00:06:13,307
บางอย่างที่รัดกุมกว่า -- มากกว่าแค่รู้สึกดีกับอะไรสักอย่างหรือการให้เหตุผลเกี่ยวกับสิ่งนั้น

87
00:06:13,307 --> 00:06:17,998
" -- ข้าพเจ้าค้นหาพจนานุกรมของเว็บสเตอร์ --" (ดังนั้นพจนานุกรมของเว็บสเตอร์ก็มีในยุคของลินคอล์นแล้ว)

88
00:06:17,998 --> 00:06:23,060
" -- พวกเขาพูดถึงการพิสูจน์ -- การพิสูจน์ที่อยู่เหนือความสงสัยที่เป็นไปได้ใดๆ แต่ข้าพเจ้ายัง

89
00:06:23,060 --> 00:06:28,005
ไม่รู้จักแนวคิด หรือการพิสูจน์ใดๆ เช่นนั้น. ข้าพเจ้าคิดว่ามีสิ่งต่างๆ มากมายที่ได้รับการพิสูจน์เหนือ

90
00:06:28,005 --> 00:06:32,649
ข้อสงสัยที่เป็นไปได้ใดๆ โดยไม่ต้องพึ่งกระบวนการให้เหตุผลเหนือ

91
00:06:32,649 --> 00:06:35,668
ธรรมดาอย่างที่ข้าพเจ้าเข้าใจคำว่า 'การแสดง'

92
00:06:35,668 --> 00:06:41,241
ข้าพเจ้าค้นหาในพจนานุกรมและหนังสืออ้าอิงที่ข้าพเจ้าจะหาได้ แต่ไม่มีผลที่ดีกว่าใด

93
00:06:41,241 --> 00:06:45,676
เจ้าอาจนิยามคำว่า 'สีฟ้า' ให้คนตาบอดได้

94
00:06:45,676 --> 00:06:55,150
สุดท้ายข้าพเจ้าจึงบอกว่า 'ลินคอล์น, เจ้าไม่มีทางเป็นทนายความได้ ถ้าเจ้าไม่เข้าใจว่าคำว่า 'แสดง' คืออะไร

95
00:06:55,150 --> 00:07:00,467
ข้าพเจ้าจึงหนีจากเมืองสปริงฟีลด์, กลับไปที่บ้านของบิดา, แล้วอยู่ที่นั่น

96
00:07:00,467 --> 00:07:04,345
กระทั่งข้าพเจ้าสามารถบอกทฤษฎีบทใดๆ ในหนังสือทั้ง 6 เล่มของยูคลิดได้"

97
00:07:04,345 --> 00:07:06,806
(นี่หมายถึงหนังสือ 6 เล่มที่พูดถึงเรขาคณิตบนระนาบ)

98
00:07:06,806 --> 00:07:11,868
" -- ข้าพเจ้าจึงเข้าใจคำว่า 'แสดง' และกลับเรียนกฏหมายต่อได้"

99
00:07:11,868 --> 00:07:17,348
ประธานาธิบดีอเมริกาที่ยิ่งใหญ่ที่สุดตลอดกาลคนหนึ่ง, ตอนที่เขาจะเป็นทนายความผู้ยิ่งใหญ่,

100
00:07:17,348 --> 00:07:24,128
เขายังต้องเข้าใจ -- สามารถพิสูจน์ทฤษฎีบทใดๆ ในหนังสือทั้ง 6 เล่มของ "Euclid's Elements"

101
00:07:24,128 --> 00:07:30,885
ได้เอง. แล้ว, เมื่อเขายังอยู่ในไวท์เฮ้าส์ เขาก็ยังทำการ "จูน" สมอง

102
00:07:30,885 --> 00:07:32,954
เพื่อเป็นประธานาธิบดีผู้ยิ่งใหญ่

103
00:07:33,447 --> 00:07:36,922
และ, สิ่งที่เราจะทำในรายการวิดีโอเรื่องเรขาคณิตก็เป็นไปตามนั้น

104
00:07:36,922 --> 00:07:42,806
สิ่งที่เราจะศึกษา -- เราจะคิดว่าเราจะพิสูจน์สิ่งต่างๆ "อย่างรัดกุม" ได้อย่างไร?

105
00:07:42,868 --> 00:07:49,624
เราจะ -- ในยุคใหม่ -- ศึกษาสิ่งที่ยูคลิดศึกษาเมื่อ 2,300 ปีที่แล้ว

106
00:07:49,624 --> 00:07:59,812
เพื่อฝึกผูกโยงเหตุผลของประโยคต่างๆ และแน่ใจว่าเวลาเราพูดอะไรสักอย่าง

107
00:07:59,812 --> 00:08:01,972
เราสามารถพิสูจน์สิ่งที่เราพูดได้จริง

108
00:08:01,972 --> 00:08:06,388
นี่คือคณิตศาสตร์ "จริง" พื้นฐานที่สุดที่คุณจะทำ

109
00:08:06,388 --> 00:08:08,525
เลขคณิตเป็นแค่การคำนวณ

110
00:08:08,525 --> 00:08:12,820
แต่ตอนนี้, ในเรขาคณิต (เราจะทำเรขาคณิตของยูคลิด)

111
00:08:12,820 --> 00:08:17,000
นี่คือสิงที่คณิตศาสตร์เป็นจริงๆ

112
00:08:17,000 --> 00:08:21,388
การตั้งสมมติฐานแล้วสรุปสิ่งต่างๆ จากสมมุติฐานเหล่านั้น