WEBVTT

00:00:00.789 --> 00:00:04.600
"กฎของธรรมชาติไม่ใช่อะไรนอกจากความคิดทางคณิตศาสตร์ของพระเจ้า"

00:00:04.862 --> 00:00:07.523
และนี่คือคำพูดถึงยูคลิดแห่งอเลกซานเดรีย

00:00:07.523 --> 00:00:12.655
เขาคือนักคณิตศาสตร์และนักปรัชญาขาวกรีก ที่มีชีวิตอยู่ประมาณ 300 ปีก่อนคริสต์

00:00:12.655 --> 00:00:19.691
และสาเหตุที่ผมใส่คำพูดเขาในนีน้ เพราะยูคลิดนับว่าเป็นบิดาของเรขาคณิต

00:00:19.691 --> 00:00:22.663
และมันเป็นคำกล่าวที่เนี๊ยบมาก, ไม่ว่าคุณจะมองเรื่องพระเจ้าอย่างไร

00:00:22.663 --> 00:00:25.054
ไม่ว่าพระเจ้ามีจริงหรือไม่ หรือธรรมชาติของพระเจ้าคืออะไร

00:00:25.054 --> 00:00:27.516
มันบอกถึงหลักพื้นฐานอย่างยิ่งเกี่ยวกับธรรมชาติ

00:00:27.516 --> 00:00:31.649
กฏของธรรมชาติไม่ใช่อะไรออกจาความคิดทางคณิตศาสตร์ของพรเจ้า

00:00:31.649 --> 00:00:35.016
คณิตศาสตร์ฝังอยู่ในกฏของธรรมชาติทุกอย่าง

00:00:35.016 --> 00:00:37.802
และคำว่า "เรขาคณิต" (geometry) เองมาจากรากศัพท์กรีก

00:00:37.802 --> 00:00:40.983
"geo" มาจากคำกรีก แปลว่า "โลก"

00:00:40.983 --> 00:00:44.211
"metry" มาจากคำกรีก แปลว่า "การวัด"

00:00:44.211 --> 00:00:47.183
คุณอาจเคยได้ยินคำว่าระบบ "เมทริก"

00:00:47.183 --> 00:00:50.132
และยูคลิดนับว่าเป็นบิดาแห่งเรขาคณิต

00:00:50.132 --> 00:00:52.802
(ไม่ใช่เพราะว่าเขาเป็นคนแรกที่ศึกษาเรขาคณิต"

00:00:52.802 --> 00:00:56.285
คุณคงจินตนาการได้ว่ามนุษย์คนแรกๆ ก็เรียนเรขาคณิตเหมือนกัน

00:00:56.562 --> 00:01:00.024
พวกเขาอาจดูกิ่งไม้สองอันบนพื้น ที่เป็นแบบนั้น

00:01:00.024 --> 00:01:02.462
และพวกเขาดูกิ่งไม้อีกคู๋ที่เป็นแบบนั้น

00:01:02.462 --> 00:01:05.178
แล้วบอกว่า "อันนี้เปิดมากกว่านะ. มันมีความสัมพันธ์อะไรอยู่?"

00:01:05.178 --> 00:01:13.654
หรือพวกเขาอาจมองต้นไม้ที่กิ่งก้านออกมาแบบนั้น

00:01:13.654 --> 00:01:18.274
และเขาบอกว่า "อืม, มันมีอะไรคล้ายๆ ระหว่างมุมนี้ กับมุมนี้ตรงนี้นะ"

00:01:18.274 --> 00:01:19.737
หรือพวกเขาอาจถามตัวเอง

00:01:19.737 --> 00:01:26.123
"อัตราส่วน หรือความสัมพันธ์ระหว่างระยะรอบวงกลม กับระยะตัดมันคืออะไร?

00:01:26.123 --> 00:01:28.352
และมันเท่ากับสำหรับวงกลมทุกวงหรืเปล่า?

00:01:28.352 --> 00:01:31.812
และมันมีวิธีที่ทำให้เราพอใจว่ามันเป็นจริงเสมอไหม?"

00:01:31.812 --> 00:01:34.412
แล้วเมื่อคุณไปยังยุคกรีกตอนต้น

00:01:34.412 --> 00:01:39.010
พวกเขาก็เริ่มคิดอย่างละเอียดลออกเกี่ยวกับเรขาคณิตแล้ว

00:01:39.010 --> 00:01:43.259
เวลาคุณพูดถึงนักคณิตศาสตร์ชาวกรีกอย่างปีทาโกรัส

00:01:43.259 --> 00:01:45.535
(เขามาก่อนยูคลิด)

00:01:45.535 --> 00:01:54.511
สาเหตุที่คนมักพูดถึง "เรขาคณิตแบบยูคลิด" คือประมาณ 300 ปีก่อนคริสตกาล

00:01:54.511 --> 00:01:59.832
(และนี่ตรงนี้คือภาพของยูคลิดวาดโดยราฟาเอล, และไม่มีใครรู้ว่ายูคลิดเป็นอย่างไร

00:01:59.832 --> 00:02:05.793
หรือแม้กระทั่งว่าเขาเกิดที่ไหน ตายเมื่อไหร่, นี่จึงคือมุมมองของราฟาเอลว่ายูคลิดน่าจะเป็นอย่างไร

00:02:05.793 --> 00:02:08.383
ตอนที่เขาสอนอยู่ที่เมืองอเลกซานเดรีย)

00:02:08.383 --> 00:02:14.397
แต่สิ่งที่ทำให้ยูคลิดเป็น "บิดาแห่งเรขาคณิต" คืองานเขียนที่ชื่อ "Euclid's Elements"

00:02:14.397 --> 00:02:21.263
และ "Euclid's Elements" เป็นหนังสือเรียน 13 เล่ม

00:02:21.263 --> 00:02:24.773
(และอาจเรียกได้ว่าเป็นหนังสือเรียนชื่อดังที่สุดตลอดกาล)

00:02:24.773 --> 00:02:31.441
และสิ่งที่เขาทำในหนังสือ 13 เล่มนั้น คือการเดินทางที่รัดกุม เต็มไปด้วยความคิด, และเหตุผล

00:02:31.441 --> 00:02:37.524
ผ่านวิชาเรขาคณิต, ทฤษฎีจำนวน, และเรขาคณิตทรงตัน (เรขาคณิตในสามมิติ)

00:02:37.524 --> 00:02:40.682
และเจ้านี่ตรงนั้น คือส่วนหน้าของแบบภาษาอังกฤษ --

00:02:40.682 --> 00:02:44.955
หรือการแปลเป็นภาษาอังกฤษครั้งแรก -- ของ "Euclid's Elements"

00:02:44.955 --> 00:02:47.532
นี่เกิดขึ้นในปี 1570

00:02:47.532 --> 00:02:51.851
แต่แน่นอนมันเขียนครั้งแรกเป็นภาษากรีก, และในช่วงยุคกลาง

00:02:51.851 --> 00:02:55.334
ความรู้ส่งผ่านโดยชาวอาหรับ และมันถูกแปลเป็นภาษาอารบิค

00:02:55.334 --> 00:03:02.393
และสุดท้าย ในช่วงปลายยุคกลาง ได้ถูกต้องเป็นภาษาละตินและภาษาอังกฤษในที่สุด

00:03:02.393 --> 00:03:05.806
และเมื่อผมว่าเขา "เดินทางอย่างรัดกุม" ยูคลิดไม่ได้บอกว่า

00:03:05.806 --> 00:03:14.374
"ด้านสองด้านของสามเหลี่ยมมุมฉากกำลังสอง จะเท่ากับ ด้านตรงข้ามมุมฉาก

00:03:14.374 --> 00:03:18.182
กำลังสอง -- " อะไรพวกนั้น (และเราจะพูดถึงต่อไปว่ามันหมายถึงอะไร)

00:03:18.182 --> 00:03:24.475
เขาบอกว่า "ข้าพเจ้าไม่อยากรู้สึกดีว่ามันน่าจะจริง. ข้าพเจ้าอยากพิสูจน์ด้วยตัวเองว่ามันเป็นจริง"

00:03:24.475 --> 00:03:29.723
และสิ่งที่เขาทำใน "Elements" (โดยเฉพาะหกเล่มแรก เกี่ยวข้องกับเรขาคณิตบนระนาบ)

00:03:33.215 --> 00:03:37.721
คือเขาเริ่มต้นด้วยข้อสมมุติพื้นฐาน

00:03:37.721 --> 00:03:43.747
และข้อสมมุติพื้นฐานเหล่านี้ "พูดในเชิงเรขาคณิตแล้ว" มันเรียกว่า "สัจพจน์ (axioms)" หรือ "สมมุติฐาน (postulates)"

00:03:43.747 --> 00:03:51.549
แล้วจกานั้น, เขาก็พิสูจน์, เขาสรุปผลได้เป็นประโยคอื่นๆ หรือ "บทสรุป (proposition)" (บางครั้งพวกนี้เรียกว่า "ทฤษฏีบท (theorems)" )

00:03:51.549 --> 00:03:55.729
แล้วเขาบอกว่า "ตอนนี้, ผมรู้แล้ว. ถ้านี่เป็นจริง, และนี่เป็นจริง, นี่ต้องเป็นจริงด้วย"

00:03:55.729 --> 00:03:58.492
แล้วเขาก็สามารถพิสูจน์หลายอย่างได้ว่ามันไม่จริง

00:03:58.492 --> 00:04:01.255
แล้วเขาก็พิสูจน์ว่านี่จะไม่เป็นจริง

00:04:01.255 --> 00:04:04.042
เขาไม่ได้บอกว่า "วงกลมทุกวันที่ผมเจอ จะมีสมบัตินี้"

00:04:04.042 --> 00:04:06.155
เขาบอกว่า "ผมได้พิสูจน์แล้วว่านี่เป็นจริง"

00:04:06.155 --> 00:04:11.402
แล้วล จากนี้, เขาก็ทำไปแล้วก็สรุปบทสรุปอื่นๆ หรือ "ทฤษฏีบท"

00:04:11.402 --> 00:04:14.096
(และเราสามารถใช้ "สัจพจน์" เดิมในการพิสูจน์ด้วย)

00:04:14.096 --> 00:04:17.068
และสิ่งที่พิเศษเกี่ยวกับมันคือว่า ไม่มีใครเคยทำมาก่อน

00:04:17.068 --> 00:04:23.477
การพิสูจน์อย่างรัดกุม อยู่เหนือเงาแห่งความสงสัยที่พาดผ่านทั่วดินแดนความรู้

00:04:23.477 --> 00:04:30.095
ไม่ใช่การพิสูจน์อันหนึ่งสำหรับอันนี้ หรืออันนั้น. เราทำมันสำหรับ "เซต" ความรู้ทั้งหมด

00:04:30.884 --> 00:04:39.692
การ "เดินทาง" อย่างรัดกุมผ่านหัวข้อต่างๆ โดยที่เขาสร้างชุด "สัจพจน์" กับ "สมมุติฐาน" ขึ้นมา แล้วก็ "ทฤษฎีบท" กับ "บทสรุป"

00:04:39.692 --> 00:04:42.022
(และทฤษฎีบทกับบทสรุปนั้นเหมือนกัน)

00:04:43.069 --> 00:04:47.881
และเมื่อผ่านไปประมาณ 2,000 ปีหลังยุคยูคลิด (นี่เป็นหนังสือที่อยู่มานานอย่างไม่น่าเชื่อ!)

00:04:47.881 --> 00:04:55.427
คุณจะไม่มองคุณว่ามีการศึกษา หากคุณยังไม่ได้อ่านหรือเข้าใจ "Elements" ของยูคลิด

00:04:55.427 --> 00:04:59.862
และ "Euclid's Elements" (ตัวหนังสือเอง) เป็นหนังสือที่พิมพ์มากที่สุดในโลกตะวันตก

00:04:59.862 --> 00:05:01.581
ต่อจากคัมภีร์ไบเบิ้ล

00:05:01.581 --> 00:05:04.344
นี่คือหนังสือเรียนคณิตศาสตร์ ถัดจากไบเบิ้ล

00:05:04.344 --> 00:05:07.943
เมื่อสำนักพิมพ์แห่งแรกเปิดตัว เขาบอกว่า "โอเค, พิมพ์คัมภีร์ไบเบิ้ลกัน, แล้วอะไรอต่อ"

00:05:07.943 --> 00:05:09.940
"พิมพ์ 'Euclid's Elements' ดีกว่า"

00:05:10.525 --> 00:05:16.606
และเพื่อให้เห็นว่านี่ยังคงเกี่ยวข้องกับอดีตเมื่อเร็วๆ นี้ (มันอาจจะขึ้นอยู่กับว่าคุณ

00:05:16.606 --> 00:05:19.416
เห็นว่า 150-160 ปีก่อนเป็นอดีตเมื่อเร็วๆ นี้หรือเปล่า)

00:05:19.816 --> 00:05:23.779
เจ้านี่ตรงนี้คือคำพูดจากอับราฮัม ลินคอล์น (หนึ่งในประธานาธิบดี

00:05:23.779 --> 00:05:26.612
ที่ใหญ่ของอเมริกาแน่นอน). ผมชอบภาพของอับราฮัม ลินคอล์น ภาพนี้

00:05:26.612 --> 00:05:29.747
นี่คือภาพถ่ายจริงของลินคอล์นในช่วงอายุปลาย 30

00:05:29.747 --> 00:05:35.900
แต่เขาเป็นแฟนตัวยงของ "Euclid's Elements". เขาใช้มันเพื่อ "จูน" ความคิดเขา

00:05:35.900 --> 00:05:38.872
ตอนที่เขาขี่ม้า, เขาจะอ่าน "Euclid's Elements". ในขณะที่อยู่ใน

00:05:38.872 --> 00:05:40.777
ไวท์เฮ้าส์ เขาก็อ่าน "Euclid's Elements"

00:05:41.207 --> 00:05:43.795
แต่นี่คือคำพูดโดยตรงจากลินคอล์น,

00:05:43.795 --> 00:05:48.415
"ตอนที่ข้าพเจ้าอ่านหนังสือกฎหมาย, ข้าพเจ้ามักพบคำว่า 'แสดง (demonstrate)'

00:05:48.415 --> 00:05:53.454
ตอนแรกข้าพเจ้าคิดว่า ข้าพเจ้าเข้าใจความหมายของมัน, แต่ในไม่ช้า ข้าพเจ้ากลับไม่พอใจ

00:05:53.454 --> 00:05:59.375
ข้าพเจ้าถามตัวเอง ว่าข้าพเจ้าจะทำอย่างไรเมื่อข้าพเจ้าแสดงมากกว่าให้เหตุผลหรือพิสูจน์?

00:05:59.375 --> 00:06:02.580
แล้ว 'การแสดง' จะต่างจากการพิสูจน์อื่นอย่างไร --"

00:06:02.580 --> 00:06:08.454
ลินคอล์นบอกว่า มันมีคำว่า 'การแสดง' หมายถึงการพิสูจน์เหนือข้อสงสัยใดๆ

00:06:08.454 --> 00:06:13.307
บางอย่างที่รัดกุมกว่า -- มากกว่าแค่รู้สึกดีกับอะไรสักอย่างหรือการให้เหตุผลเกี่ยวกับสิ่งนั้น

00:06:13.307 --> 00:06:17.998
" -- ข้าพเจ้าค้นหาพจนานุกรมของเว็บสเตอร์ --" (ดังนั้นพจนานุกรมของเว็บสเตอร์ก็มีในยุคของลินคอล์นแล้ว)

00:06:17.998 --> 00:06:23.060
" -- พวกเขาพูดถึงการพิสูจน์ -- การพิสูจน์ที่อยู่เหนือความสงสัยที่เป็นไปได้ใดๆ แต่ข้าพเจ้ายัง

00:06:23.060 --> 00:06:28.005
ไม่รู้จักแนวคิด หรือการพิสูจน์ใดๆ เช่นนั้น. ข้าพเจ้าคิดว่ามีสิ่งต่างๆ มากมายที่ได้รับการพิสูจน์เหนือ

00:06:28.005 --> 00:06:32.649
ข้อสงสัยที่เป็นไปได้ใดๆ โดยไม่ต้องพึ่งกระบวนการให้เหตุผลเหนือ

00:06:32.649 --> 00:06:35.668
ธรรมดาอย่างที่ข้าพเจ้าเข้าใจคำว่า 'การแสดง'

00:06:35.668 --> 00:06:41.241
ข้าพเจ้าค้นหาในพจนานุกรมและหนังสืออ้าอิงที่ข้าพเจ้าจะหาได้ แต่ไม่มีผลที่ดีกว่าใด

00:06:41.241 --> 00:06:45.676
เจ้าอาจนิยามคำว่า 'สีฟ้า' ให้คนตาบอดได้

00:06:45.676 --> 00:06:55.150
สุดท้ายข้าพเจ้าจึงบอกว่า 'ลินคอล์น, เจ้าไม่มีทางเป็นทนายความได้ ถ้าเจ้าไม่เข้าใจว่าคำว่า 'แสดง' คืออะไร

00:06:55.150 --> 00:07:00.467
ข้าพเจ้าจึงหนีจากเมืองสปริงฟีลด์, กลับไปที่บ้านของบิดา, แล้วอยู่ที่นั่น

00:07:00.467 --> 00:07:04.345
กระทั่งข้าพเจ้าสามารถบอกทฤษฎีบทใดๆ ในหนังสือทั้ง 6 เล่มของยูคลิดได้"

00:07:04.345 --> 00:07:06.806
(นี่หมายถึงหนังสือ 6 เล่มที่พูดถึงเรขาคณิตบนระนาบ)

00:07:06.806 --> 00:07:11.868
" -- ข้าพเจ้าจึงเข้าใจคำว่า 'แสดง' และกลับเรียนกฏหมายต่อได้"

00:07:11.868 --> 00:07:17.348
ประธานาธิบดีอเมริกาที่ยิ่งใหญ่ที่สุดตลอดกาลคนหนึ่ง, ตอนที่เขาจะเป็นทนายความผู้ยิ่งใหญ่,

00:07:17.348 --> 00:07:24.128
เขายังต้องเข้าใจ -- สามารถพิสูจน์ทฤษฎีบทใดๆ ในหนังสือทั้ง 6 เล่มของ "Euclid's Elements"

00:07:24.128 --> 00:07:30.885
ได้เอง. แล้ว, เมื่อเขายังอยู่ในไวท์เฮ้าส์ เขาก็ยังทำการ "จูน" สมอง

00:07:30.885 --> 00:07:32.954
เพื่อเป็นประธานาธิบดีผู้ยิ่งใหญ่

00:07:33.447 --> 00:07:36.922
และ, สิ่งที่เราจะทำในรายการวิดีโอเรื่องเรขาคณิตก็เป็นไปตามนั้น

00:07:36.922 --> 00:07:42.806
สิ่งที่เราจะศึกษา -- เราจะคิดว่าเราจะพิสูจน์สิ่งต่างๆ "อย่างรัดกุม" ได้อย่างไร?

00:07:42.868 --> 00:07:49.624
เราจะ -- ในยุคใหม่ -- ศึกษาสิ่งที่ยูคลิดศึกษาเมื่อ 2,300 ปีที่แล้ว

00:07:49.624 --> 00:07:59.812
เพื่อฝึกผูกโยงเหตุผลของประโยคต่างๆ และแน่ใจว่าเวลาเราพูดอะไรสักอย่าง

00:07:59.812 --> 00:08:01.972
เราสามารถพิสูจน์สิ่งที่เราพูดได้จริง

00:08:01.972 --> 00:08:06.388
นี่คือคณิตศาสตร์ "จริง" พื้นฐานที่สุดที่คุณจะทำ

00:08:06.388 --> 00:08:08.525
เลขคณิตเป็นแค่การคำนวณ

00:08:08.525 --> 00:08:12.820
แต่ตอนนี้, ในเรขาคณิต (เราจะทำเรขาคณิตของยูคลิด)

00:08:12.820 --> 00:08:17.000
นี่คือสิงที่คณิตศาสตร์เป็นจริงๆ

00:08:17.000 --> 00:08:21.388
การตั้งสมมติฐานแล้วสรุปสิ่งต่างๆ จากสมมุติฐานเหล่านั้น