Euclid as the Father of Geometry

"இயற்கை விதிகள் என்பவை,
கடவுளின் கணிதச் சிந்தனைகள்தான்.”

இப்படிச் சொன்னவர்,
அலெக்ஸாண்ட்ரியாவின் யூக்லிட்

அவர் கிமு 300ல் கிரேக்க நாட்டில் வாழ்ந்த
கணித மேதை, தத்துவ அறிஞர்

இந்த யூக்லிட்,
ஜியோமிதியின் தந்தையாகக் கருதப்படுகிறார்

நீங்கள் கடவுளைப்பற்றி என்ன நினைத்தாலும்,
இது ஒரு நல்ல வாசகமே!

கடவுள் இருக்கிறாரா, இல்லையா,
அவருடைய தன்மை என்ன,

அதையெல்லாம் தாண்டி,
இது இயற்கை அடிப்படையை பேசுகிறது

இயற்கை விதிகள், கடவுளின் கணிதச் சிந்தனைகள்

இயற்கை விதிகள் அனைத்துக்கும்
கணிதமே அடிப்படை

ஜியோமிதியின் ஆங்கிலச் சொல் ஜியோமிட்ரி
கிரேக்கத்திலிருந்து வந்தது

’ஜியோ’ என்றால்
கிரேக்க மொழியில் ’பூமி’

’மெட்ரி’ என்றால்
கிரேக்க மொழியில் ’அளத்தல்’

‘மெட்ரிக்’ அமைப்பைப்பற்றி நீங்கள்
கேள்விப்பட்டிருப்பீர்கள்.

யூக்லிட் ஜியோமிதியின் தந்தையாகக்
கருதப்படுகிறார்

இதன் காரணம், அவர்தான் முதலில்
ஜியோமிதியைப் படித்தார் என்பதல்ல

ஆதிமனிதர்கள் ஜியோமிதி படித்திருப்பார்கள்

அவர்கள் நிலத்தில் இப்படிக் கிடந்த
இரண்டு குச்சிகளைப் பார்த்திருப்பார்கள்

இப்படி வேறு குச்சிகளையும்
பார்த்திருப்பார்கள்

‘இந்தத் திறப்பு பெரிதாக உள்ளது ஏன்?’ என
யோசித்திருப்பார்கள்

அல்லது, இப்படிக் கிளை வளர்ந்த ஒரு மரத்தை
அவர்கள் பார்த்திருப்பார்கள்

‘இந்தத் திறப்புக்கும் இந்தத் திறப்புக்கும்
ஏதோ தொடர்பு உள்ளது’ என யோசித்திருப்பார்கள்

அல்லது, அவர்கள் தங்களையே

’வட்டத்தைச் சுற்றியுள்ள பகுதிக்கும், அதன்
குறுக்குப் பகுதிக்கும் உள்ள விகிதம் என்ன?

அது எல்லா வட்டத்துக்கும்
ஒரேமாதிரி இருக்குமா?

அதை எப்படி உறுதிப்படுத்துவது?’
என்று கேட்டுக்கொண்டிருப்பார்கள்

ஆதி கிரேக்கர்கள்

ஜியோமிதிபற்றி நிறைய சிந்தித்தார்கள்

உதாரணமாக, கிரேக்கக் கணித மேதை பிதாகரஸ்

(அவர் யூல்கிடுக்கு முன் வந்தவர்)

மக்கள் அடிக்கடி ‘யூக்லிட் ஜியோமிதி’பற்றிப்
பேசுவது ஏன் என்றால்,

(இது ராஃபெல் வரைந்த யூக்லிட் ஓவியம், அவர்
எப்படி இருந்தார் என யாருக்கும் தெரியாது,

அவர் எப்போது பிறந்தார், எப்போது இறந்தார்,
தெரியாது. ராஃபெல் யூக்லிடைக் கற்பனை செய்து

அவர் அலெக்ஸாண்ட்ரியாவில் கற்பித்த
காட்சியை வரைந்தார்)

யூக்லிட் “ஜியோமிதியின் தந்தை” ஆகக் காரணம்,
அவர் எழுதிய “யூக்லிட் கூறுகள்”தான்

”யூக்லிட் கூறுகள்” 13 தொகுதி கொண்ட
பாடப் புத்தகம்

(இன்றுவரை உலகின் மிகப் பிரபலமான
பாடப் புத்தகம் அதுவாக இருக்கலாம்)

அந்தத் தொகுதிகளில் அவர் ஜியோமிதி, எண்
கோட்பாடு, திட (முப்பரிமாண) ஜியோமிதி

போன்றவற்றைத் தீவிரமாகச்
சிந்தித்துத் தர்க்கரீதியில் எழுதினார்

இதோ, இதுதான் அதன் ஆங்கில வடிவத்தின்
முன் அட்டை

“யூக்லிட் கூறுகள்” நூலின்
ஆங்கில மொழிபெயர்ப்பு

இது 1570ல் மொழிபெயர்க்கப்பட்டது

முதலில் அது கிரேக்க மொழியில் எழுதப்பட்டது,
பின்னர் மத்தியகாலங்களில்

அது அரேபியர்களால் முன்னிறுத்தப்பட்டு,
அரேபிய மொழியில் மொழிபெயர்க்கப்பட்டது

மத்தியகாலங்களின் பிற்பகுதியில் லத்தீன்,
ஆங்கிலத்திலும் மொழிபெயர்க்கப்பட்டது

இங்கே “தீவிர ஆய்வு” என்பது என்ன?

”செங்கோண முக்கோணத்தின் இரு பக்கங்களின்
வர்க்கம், அதன் விட்டத்தின் வர்க்கத்துக்கு

சமம்” என்பதுபோல் அவர் சொல்லி நிறுத்தவில்லை
(இதை நாம் பின் விளக்கமாகப் பேசுவோம்)

அவர் “சரியாக இருக்கலாம் என சொல்வது போதாது,
அது சரியே என நிரூபிக்க ஆசை” என்கிறார்

”கூறுகள்” நூலில் ஆறு தொகுதிகள் சமதள
ஜியோமிதியைப் பேசுபவை. அவற்றில் அவர்

அடிப்படை ஊகங்களைப்பற்றிப்
பேசத் தொடங்குகிறார்.

அந்த அடிப்படை ஊகங்களை ஜியோமிதிப் பேச்சில்
“axioms" அல்லது “postulates" என்பார்கள்

இதிலிருந்து அவர் பல வாசகங்களை கண்டறிந்தார்,
இவற்றை Propositions(அ) Theorems என்பார்கள்

இப்போது அவர், ‘இது சரி, இது சரி, என்றால்
இது சரியாகதான் இருக்கவேண்டும்’ என்கிறார்

மற்றது சரியாக இருக்காது என்றும்
அவரால் நிரூபிக்க இயலுகிறது

இது சரியல்ல என்று அவரால்
நிரூபிக்க இயலுகிறது

அவர் “நான் பார்த்த வட்டங்கள் இப்படி”
என்று சொல்லவில்லை

“இது உண்மை என்று
நிரூபித்துவிட்டேன்” என்றார்

அங்கிருந்து அவர் மற்ற Prepositions
அல்லது Theoremsகளைக் கண்டறிந்தார்

(இதைச் செய்ய நாம் நமது மூல "axioms"
சிலவற்றைப் பயன்படுத்தலாம்)

இதன் சிறப்பு, அதற்குமுன் யாரும்
அப்படிச் செய்ததில்லை

பல விஷயங்களைத் துளி சந்தேகமில்லாதபடி
தீவிரமாகச் செயல்பட்டு நிரூபித்தார்

இங்கே ஒரு நிரூபணம், அங்கே ஒரு நிரூபணம்
அல்ல,முழு அறிவுத் தொகுப்பையும் நிரூபித்தார்

பாடங்களைத் தீவிரமாக ஆய்ந்து, axioms,
postulates, theorems, propositionsஐ உருவாக்கினார்

(theorems, propositions இரண்டும் ஒன்றுதான்)

யூக்லிடுக்குப்பின் 2,000 ஆண்டுகள்
அவரது புத்தகம் நிலைத்திருந்தது

யூக்லிடின் “கூறுகளை” வாசித்து,
புரிந்துகொள்ளாதவரைப் படித்தவராகவே யாரும் எண்ணமாட்டார்கள்

மேற்கு உலகில் அதிகம் அச்சான 2வது நூல்,
“யூக்லிடின் கூறுகள்”தான்,

பைபிளுக்கு அடுத்த இடம்

பைபிளுக்கு அடுத்து,
ஒரு கணக்கு பாடப் புத்தகம்

அச்சகங்கள் வந்தவுடன் “முதலில் பைபிள்
அச்சிடுவோம், அடுத்து என்ன?” என யோசித்து

யூக்லிடின் கூறுகளை அச்சிட்டார்கள்

சமீப காலம்வரை அது பொருந்துவதாகவே இருந்தது,

சமீப காலம் என்றால், சுமார்
150-160 ஆண்டுகளுக்குமுன்

இந்த வாசகத்தைச் சொன்னவர் ஆபிரகாம் லிங்கன்

சிறந்த அமெரிக்க அதிபர்களில் ஒருவர்,
அவரது இந்தப் படம் எனக்குப் பிடிக்கும்

லிங்கன் முப்பதுகளின் பிற்பகுதியில்
இருந்தபோது எடுத்தது

அவர் யூக்லிட் கூறுகளின் பெரிய ரசிகர்,
அவரது மனத்தை ஒழுங்குபடுத்த அது உதவியதாம்

அவர் குதிரை ஓட்டும்போது
யூக்லிடின் கூறுகளைப் படிப்பார்

வெள்ளை மாளிகையிலும்
யூக்லிட் கூறுகளைப் படித்தார்

இது லிங்கன் சொன்ன வாசகம்,

”சட்டப் புத்தகங்களில் அடிக்கடி
Demonstrate என்ற சொல் வரும்,

அது எனக்குப் புரிந்துவிட்டதாக முதலில் நினைத்தேன்,
புரியவில்லை எனப் பிறகுதான் புரிந்தது

புரிந்துகொள்ளுதல் அல்லது நிரூபித்தலுக்கும்
Demonstrateக்கும் என்ன வித்தியாசம்?

மற்ற நிரூபணங்களிலிருந்து இந்த
Demonstration எப்படி மாறுபடுகிறது?

லிங்கன் சொல்கிறார், Demonstration என்றால்
சந்தேகத்துக்கு இடமின்றி நிரூபித்தல்

தீவிரமாக நிரூபிக்கவேண்டும். சும்மா
எதையோ நினைத்தாலோ சிந்தித்தாலோ போதாது

“நான் வெப்ஸ்டர் அகராதியைப் பார்த்தேன்”
(லிங்கன் காலத்தில் வெப்ஸ்டர் அகராதி இருந்துள்ளது)

அங்கே சந்தேகத்துக்கிடமின்றி நிரூபித்தல் என
குறிப்பிடப்பட்டிருந்தது. ஆனால்

அது எந்தமாதிரி நிரூபணம் என்று புரியவில்லை.
பல விஷயங்கள் சந்தேகத்துக்கு இடமின்றி

நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளன. ஆனால் அவை
Demonstrationஆக இருந்தனவா?

நான் இதைச் சரியாகப் புரிந்துகொண்டுள்ளேனா?

நான் எல்லா அகராதிகள், மேற்கோள் நூல்களையும்
பார்த்தேன். பலன் இல்லை.

கண் தெரியாத ஒருவருக்கு ‘நீலம்’ என்ற சொல்லை
விளக்குவதுபோல் அது இருந்தது.

நிறைவாக நான் சொன்னேன், ‘லிங்கன், இந்த சொல்
புரியாவிட்டால், நீ வழக்கறிஞராக இயலாது.’

நான் ஸ்ப்ரிங்ஃபீல்டை விட்டு என் தந்தை
வீட்டுக்கு சென்றேன், அங்கேயே தங்கி

யூக்லிடின் ஆறு புத்தகங்களையும் வாசித்தேன்.

(அவர் சொல்வது தள ஜியோமிதிதொடர்பான
ஆறு புத்தகங்களை)

அப்போது எனக்கு ‘Demonstrate'ன் பொருள்
புரிந்தது. சட்டம் படிப்பதற்குத் திரும்பினேன்

ஆக, சிறந்த அமெரிக்க அதிபர்களில் ஒருவர்
யாரேனும் சிறந்த வழக்கறிஞராக விரும்பினால்

அவர் யூக்லிடின் கூறுகள் 6 தொகுதிகளில் உள்ள
Propositionகளையெல்லாம் நிரூபிக்கவேண்டும் என நினைத்தார்

அதுமட்டுமில்லை, அவர் வெள்ளை மாளிகை
வந்ததும், தன் மனத்தை ஒழுங்குபடுத்தி

சிறந்த அதிபரானார்

ஆகவே, நாம் ஜியோமிதிப் பாடங்களில்
கற்கவுள்ளது என்னவென்றால்

நாம் விஷயங்களைத்
தீவிரமாக நிரூபிப்பது எப்படி?

2,300 ஆண்டுகளுக்குமுன் யூக்லிட் படித்ததை
நாம் நவீன முறையில் படிக்கவுள்ளோம்

பல வாசகங்களை நன்கு புரிந்துகொண்டு,
நாம் சொல்வது எதுவானாலும்

அதை நிஜமாக நிரூபிக்கவேண்டும்

இவை அடிப்படையான, “நிஜமான” கணக்குகள்

Arithmetic என்பது வெறும் கணக்கிடல்தான்

ஜியோமிதிதான் (யூக்லிட் ஜியோமிதியை
நாம் காணப்போகிறோம்) நிஜமான கணிதம்

--

சில ஊகங்களைச் செய்துகொண்டு,
அவற்றிலிருந்து பிற விஷயங்களைக் கண்டறிவது