Euclides als de vader van de geometrie

Euclides en zijn lesboek "Elementen van Euclides" (en hoeveel Abraham Lincoln deze waardeerde!)

"De natuurwetten zijn niets anders dan de wiskundige gedachten van God."

Dit is een citaat van Euclides van Alexandrië,

een Grieks wiskundige en filosoof die ongeveer 300 jaar voor Christus leefde.

De reden dat ik dit citaat noem is omdat Euclides wordt gezien als de vader van de geometrie (meetkunde).

En het is een mooi citaat, ongeacht je mening over God,

of God bestaat of niet, of de aard van God.

Het zegt iets fundamenteels over de natuur.

De natuurwetten zijn niets anders dan de wiskundige gedachten van God,

dat wiskunde de basis is van alle natuurwetten.

Het woord "geometrie" heeft zijn oorsprong in het Grieks.

"Geo" komt van het Grieks voor "aarde",

"metrie" komt van het Grieks voor "meten".

Je bent waarschijnlijk bekend met het metrische systeem.

Euclides wordt gezien als de vader van de geometrie.

Niet omdat hij de eerste was die het onderzocht,

je kunt je voorstellen dat de eerste mensen geometrie onderzochten:

Ze keken mogelijk naar twee takjes op de grond

die op iets als dit leken als dit

en ze keken naar twee andere takjes

die leken op dit

en ze zeiden "Hier is een grotere opening. Wat is de relatie hier?"

Of ze keken mogelijk naar een boom

die een tak had die eraf kwam zoals dit

en ze zeiden: "Er lijkt iets hetzelfde aan deze opening hier en deze hier".

Of ze vroegen zichzelf af:

"Wat is de verhouding..."

"...tussen de omtrek en diameter van een cirkel?"

"En is dat hetzelfde voor alle cirkels?"

"Is er een manier voor ons om te weten dat dit absoluut waar is?"

Tegen de tijd van de vroege Grieken werd er

zorgvuldiger nagedacht over geometrie,

door Griekse wiskundigen zoals Pythagoras,

die eerder leefde dan Euclides.

De reden dat Euclides wordt gezien

als de vader van de geometrie

en waarom we vaak praten over Euclidische meetkunde

is omdat rond 300 BC

- en dit is een weergave van Euclides

geschilderd door Raphael.

Niemand wist precies hoe Euclides eruit zag, of zelfs

wanneer hij was geboren of wanneer hij overleed,

dus dit is Raphaels' impressie van hoe Euclides er

mogelijk uitzag toen hij les gaf in Alexandrie.

Wat Euclides de vader van de meetkunde maakte, zijn

zijn geschriften: "Elementen van Euclides".

De "Elementen" waren eigenlijk een dertiendelig lesboek,

misschien wel de beroemdste aller tijden.

Wat hij deed in die dertien delen was een rigoreuze,

goed doordachte, logische tocht

door de meetkunde, getaltheorie en meetkunde in 3 dimensies

Dit is de voorkant van de Engelse versie,

of eigenlijk de eerste Engelse vertaling van de

"Elementen van Euclides".

Dit was gedaan in 1570.

Het was oorspronkelijk geschreven in het Grieks.

Tijdens de Middeleeuwen werd deze kennis

overgenomen door de Arabieren en

werd het vertaald naar het Arabisch.

Tijdens de late Middeleeuwen werd het vertaald

naar Latijn en toen uiteindelijk naar Engels.

Daarom had ik het over een "rigoreuze tocht",

Euclides zei niet simpelweg:

"Oh, het kwadraat van één zijde van een rechthoekige"

"driehoek plus het kwadraat van de andere zijde is"

"gelijk aan het kwadraat van de schuine zijde"

En al die andere dingen, waar we later dieper op ingaan.

Hij zei: "Ik wil niet denken dat het waarschijnlijk waar is,"

"ik wil voor mezelf bewijzen dat het zo is."

Wat hij deed in "Elementen", vooral de zes

delen over vlakke meetkunde -

of eigenlijk alle delen, maar vooral in de meetkunde -

was dat hij uitging van simpele aannames.

Deze aannames worden ook wel "axiomen"

of "postulaten" genoemd.

Van hieruit bewees hij andere beweringen, ook wel

stellingen of "theorema" genoemd.

En hij zegt: "Nu weet ik het zeker."

"Als dit waar is en dit is waar, dan moet dit ook waar zijn"

Hij kon zo ook bewijzen dat sommige

dingen niet mogelijk zijn.

Hij zei niet: "Elke cirkel waar ik in heb"

"gezeten had deze eigenschappen."

"Ik heb nu bewezen dat dit waar is."

Nu kunnen we andere dingen afleiden,

en we kunnen sommige van onze "axiomen"

gebruiken om dat te doen.

Het speciale is dat hij iets deed wat

nog nooit iemand had gedaan.

Iets rigoreus en zonder twijfel bewijzen

over een breed kennisgebied.

Niet een bewezen stelling hier en daar,

maar meerdere stellingen over meerdere onderwerpen.

Een rigoreuze tocht door een onderwerp,

zodat hij kon beginnen met axiomen en van daaruit

op kon bouwen naar bredere stellingen.

Tot zo'n 2.000 jaar na Euclides,

dit is een enorm lange tijd voor een lesboek,

zag men je niet als geleerd als je de "Elementen van

Euclides" niet had gelezen en begrepen.

Het boek zelf was het op één na meest geprinte

boek in de Westerse wereld, na de Bijbel.

Dit was een wiskundeboek, met enkel de Bijbel

boven zich!

Toen de eerste drukpers werd gemaakt, dacht men:

"Laten we de Bijbel drukken."

"Wat printen we erna?"

"Laten we de 'Elementen van Euclides' drukken."

Om aan te geven dat dit relevant is:

In het recente verleden - al kun je discussieren

of 150 jaar geleden recent is.

Dit is een direct citaat van Abraham Lincoln,

een bekende Amerikaanse president.

Ik vind dit een mooie foto van Lincoln,

hier is hij achter in de dertig

Hij was een groot fan van de "Elementen van Euclides"

Hij gebruikte het om zijn geest te scherpen.

Hij las het tijdens het paardrijden, en ook terwijl hij in

het Witte Huis was.

Dit is een direct citaat van Lincoln:

"Tijdens het lezen van mijn boeken over recht kwam ik"

"steeds het woord 'demonstreren' tegen."

"Ik dacht dat ik de betekenis begreep, maar het werd"

"me duidelijk dat dit niet zo was."

"Ik zei tegen mezelf: 'Wat doe ik meer als ik iets'"

"'demonstreer, dan wanneer ik iets berenedeer'"

"'of bewijs? Hoe verschilt demonstratie van elk ander'"

"'bewijs?'"

Lincoln denkt dat dit woord, 'demonstratie', een

bredere betekenis heeft: 'Onomstotelijk bewijzen'.

Iets rigoreuzer, meer dan denken dat het ongeveer klopt

"Ik zocht het op in Websters woordenboek"

Dit woordenboek bestond in die tijd dus al

"Zij hadden het over een bepaald bewijs,"

"bewijs zonder ruimte voor twijfel."

"Maar ik kon me niet voorstellen wat voor bewijs dit was"

"Ik dacht dat veel dingen onomstotelijk waren bewezen"

"zonder zo'n uitgebreide redenatie nodig te hebben"

"als wat ik begreep dat 'demonstratie' was."

"Ik zocht het op in allerlei woordenboeken"

"die ik kon vinden, zonder beter resultaat."

"Je kon net zo goed uitleggen wat 'blauw' is aan een blinde."

"Uiteindelijk zei ik: 'Lincoln'" - hij praat tegen zichzelf

"Uiteindelijk zei ik: 'Lincoln, je kunt nooit een goede'

'advocaat worden als je niet begrijpt wat 'demonstratie' betekent.'"

"Ik verliet mijn woonplaats en ging terug naar mijn vader"

"en bleef daar tot ik alle stellingen kon geven uit zes"

"delen van Euclides over vlakke meetkunde"

"Toen begreep ik van 'demonstreren' betekent en"

"ging ik terug naar mijn studie rechten."

Een van Amerika's grootste presidenten vond dat,

om een goede advocaat te kunnen zijn, hij alle stellingen

uit zes delen van Euclides moest kunnen bewijzen.

Toen hij eenmaal president was, bleef hij dit doen om

zijn geest scherp te houden, zodat hij een goede

president zou zijn.

Dit is ook wat we gaan doen in deze afspeellijst.

We gaan leren hoe we iets onomstotelijk bewijzen.

We gaan, op een iets modernere manier, onderzoeken

wat Euclides 2300 jaar geleden onderzocht.

Om onze redenatie waterdicht te maken

over verschillende stellingen en er zeker van zijn dat

als we iets zeggen, we dit ook kunnen bewijzen.

Dit is een van de meest fundamentele wiskunde dat je

zult doen.

Rekenkunde is enkel iets uitrekenen.

Wat we nu gaan doen, Euclidische meetkunde, is waar

wiskunde om draait.

Aannames doen en daaruit andere dingen afleiden.