0:00:00.509,0:00:04.320
"De natuurwetten zijn niets anders dan de wiskundige gedachten van God."

0:00:04.320,0:00:06.981
Dit is een citaat van Euclides van Alexandrië,

0:00:06.981,0:00:11.857
een Grieks wiskundige en filosoof die ongeveer 300 jaar voor Christus leefde.

0:00:11.857,0:00:19.263
De reden dat ik dit citaat noem is omdat Euclides wordt gezien als de vader van de geometrie (meetkunde).

0:00:19.263,0:00:22.153
En het is een mooi citaat, ongeacht je mening over God,

0:00:22.153,0:00:24.544
of God bestaat of niet, of de aard van God.

0:00:24.544,0:00:27.006
Het zegt iets fundamenteels over de natuur.

0:00:27.006,0:00:30.999
De natuurwetten zijn niets anders dan de wiskundige gedachten van God,

0:00:30.999,0:00:34.506
dat wiskunde de basis is van alle natuurwetten.

0:00:34.506,0:00:37.292
Het woord "geometrie" heeft zijn oorsprong in het Grieks.

0:00:37.292,0:00:40.473
"Geo" komt van het Grieks voor "aarde",

0:00:40.473,0:00:43.701
"metrie" komt van het Grieks voor "meten".

0:00:43.701,0:00:46.673
Je bent waarschijnlijk bekend met het metrische systeem.

0:00:46.673,0:00:49.622
Euclides wordt gezien als de vader van de geometrie.

0:00:49.622,0:00:52.292
Niet omdat hij de eerste was die het onderzocht,

0:00:52.292,0:00:56.057
je kunt je voorstellen dat de eerste mensen geometrie onderzochten:

0:00:56.057,0:00:57.949
Ze keken mogelijk naar twee takjes op de grond

0:00:57.949,0:00:59.404
die op iets als dit leken als dit

0:00:59.404,0:01:01.102
en ze keken naar twee andere takjes

0:01:01.102,0:01:01.910
die leken op dit

0:01:01.910,0:01:04.608
en ze zeiden "Hier is een grotere opening. Wat is de relatie hier?"

0:01:04.608,0:01:08.153
Of ze keken mogelijk naar een boom

0:01:08.153,0:01:13.088
die een tak had die eraf kwam zoals dit

0:01:13.088,0:01:17.574
en ze zeiden: "Er lijkt iets hetzelfde aan deze opening hier en deze hier".

0:01:18.044,0:01:19.313
Of ze vroegen zichzelf af:

0:01:19.313,0:01:22.582
"Wat is de verhouding..."

0:01:22.582,0:01:25.618
"...tussen de omtrek en diameter van een cirkel?"

0:01:25.618,0:01:27.912
"En is dat hetzelfde voor alle cirkels?"

0:01:27.912,0:01:31.712
"Is er een manier voor ons om te weten dat dit absoluut waar is?"

0:01:32.072,0:01:35.595
Tegen de tijd van de vroege Grieken werd er

0:01:35.595,0:01:39.118
zorgvuldiger nagedacht over geometrie,

0:01:39.118,0:01:42.642
door Griekse wiskundigen zoals Pythagoras,

0:01:42.882,0:01:44.932
die eerder leefde dan Euclides.

0:01:44.932,0:01:46.735
De reden dat Euclides wordt gezien

0:01:46.735,0:01:48.538
als de vader van de geometrie

0:01:48.538,0:01:51.512
en waarom we vaak praten over Euclidische meetkunde

0:01:51.512,0:01:53.856
is omdat rond 300 BC

0:01:53.856,0:01:56.318
- en dit is een weergave van Euclides

0:01:56.318,0:01:57.739
geschilderd door Raphael.

0:01:57.739,0:01:59.410
Niemand wist precies hoe Euclides eruit zag, of zelfs

0:01:59.410,0:02:01.030
wanneer hij was geboren of wanneer hij overleed,

0:02:01.030,0:02:04.490
dus dit is Raphaels' impressie van hoe Euclides er

0:02:04.490,0:02:07.502
mogelijk uitzag toen hij les gaf in Alexandrie.

0:02:07.502,0:02:10.110
Wat Euclides de vader van de meetkunde maakte, zijn

0:02:10.110,0:02:14.308
zijn geschriften: "Elementen van Euclides".

0:02:14.308,0:02:20.966
De "Elementen" waren eigenlijk een dertiendelig lesboek,

0:02:20.966,0:02:24.203
misschien wel de beroemdste aller tijden.

0:02:24.203,0:02:28.412
Wat hij deed in die dertien delen was een rigoreuze,

0:02:28.412,0:02:31.091
goed doordachte, logische tocht

0:02:31.091,0:02:36.651
door de meetkunde, getaltheorie en meetkunde in 3 dimensies

0:02:36.651,0:02:40.504
Dit is de voorkant van de Engelse versie,

0:02:40.504,0:02:43.077
of eigenlijk de eerste Engelse vertaling van de

0:02:43.077,0:02:44.180
"Elementen van Euclides".

0:02:44.180,0:02:46.675
Dit was gedaan in 1570.

0:02:46.675,0:02:49.342
Het was oorspronkelijk geschreven in het Grieks.

0:02:49.342,0:02:52.232
Tijdens de Middeleeuwen werd deze kennis

0:02:52.232,0:02:53.246
overgenomen door de Arabieren en

0:02:53.246,0:02:55.210
werd het vertaald naar het Arabisch.

0:02:55.210,0:02:59.137
Tijdens de late Middeleeuwen werd het vertaald

0:02:59.137,0:03:01.974
naar Latijn en toen uiteindelijk naar Engels.

0:03:01.974,0:03:03.674
Daarom had ik het over een "rigoreuze tocht",

0:03:03.674,0:03:05.228
Euclides zei niet simpelweg:

0:03:05.228,0:03:08.732
"Oh, het kwadraat van één zijde van een rechthoekige"

0:03:08.732,0:03:12.761
"driehoek plus het kwadraat van de andere zijde is"

0:03:12.761,0:03:14.608
"gelijk aan het kwadraat van de schuine zijde"

0:03:14.608,0:03:17.756
En al die andere dingen, waar we later dieper op ingaan.

0:03:17.756,0:03:21.099
Hij zei: "Ik wil niet denken dat het waarschijnlijk waar is,"

0:03:21.099,0:03:24.442
"ik wil voor mezelf bewijzen dat het zo is."

0:03:24.442,0:03:26.746
Wat hij deed in "Elementen", vooral de zes

0:03:26.746,0:03:30.292
delen over vlakke meetkunde -

0:03:30.292,0:03:33.838
of eigenlijk alle delen, maar vooral in de meetkunde -

0:03:33.838,0:03:37.385
was dat hij uitging van simpele aannames.

0:03:37.385,0:03:41.979
Deze aannames worden ook wel "axiomen"

0:03:41.979,0:03:43.353
of "postulaten" genoemd.

0:03:43.353,0:03:47.465
Van hieruit bewees hij andere beweringen, ook wel

0:03:47.465,0:03:50.770
stellingen of "theorema" genoemd.

0:03:50.770,0:03:52.244
En hij zegt: "Nu weet ik het zeker."

0:03:52.244,0:03:55.478
"Als dit waar is en dit is waar, dan moet dit ook waar zijn"

0:03:55.478,0:03:57.273
Hij kon zo ook bewijzen dat sommige

0:03:57.273,0:04:00.508
dingen niet mogelijk zijn.

0:04:00.508,0:04:02.357
Hij zei niet: "Elke cirkel waar ik in heb"

0:04:02.357,0:04:03.766
"gezeten had deze eigenschappen."

0:04:03.766,0:04:05.695
"Ik heb nu bewezen dat dit waar is."

0:04:05.695,0:04:10.132
Nu kunnen we andere dingen afleiden,

0:04:10.132,0:04:12.444
en we kunnen sommige van onze "axiomen"

0:04:12.444,0:04:14.096
gebruiken om dat te doen.

0:04:14.096,0:04:15.538
Het speciale is dat hij iets deed wat

0:04:15.538,0:04:16.898
nog nooit iemand had gedaan.

0:04:16.898,0:04:19.918
Iets rigoreus en zonder twijfel bewijzen

0:04:19.918,0:04:22.948
over een breed kennisgebied.

0:04:22.948,0:04:25.458
Niet een bewezen stelling hier en daar,

0:04:25.458,0:04:30.188
maar meerdere stellingen over meerdere onderwerpen.

0:04:30.188,0:04:32.358
Een rigoreuze tocht door een onderwerp,

0:04:32.358,0:04:35.998
zodat hij kon beginnen met axiomen en van daaruit

0:04:35.998,0:04:41.828
op kon bouwen naar bredere stellingen.

0:04:41.828,0:04:44.538
Tot zo'n 2.000 jaar na Euclides,

0:04:44.538,0:04:47.728
dit is een enorm lange tijd voor een lesboek,

0:04:47.728,0:04:51.728
zag men je niet als geleerd als je de "Elementen van

0:04:51.728,0:04:54.808
Euclides" niet had gelezen en begrepen.

0:04:54.808,0:04:58.228
Het boek zelf was het op één na meest geprinte

0:04:58.228,0:05:00.448
boek in de Westerse wereld, na de Bijbel.

0:05:00.448,0:05:02.688
Dit was een wiskundeboek, met enkel de Bijbel

0:05:02.688,0:05:03.588
boven zich!

0:05:03.588,0:05:05.308
Toen de eerste drukpers werd gemaakt, dacht men:

0:05:05.308,0:05:06.488
"Laten we de Bijbel drukken."

0:05:06.488,0:05:07.618
"Wat printen we erna?"

0:05:07.618,0:05:09.888
"Laten we de 'Elementen van Euclides' drukken."

0:05:09.888,0:05:12.328
Om aan te geven dat dit relevant is:

0:05:12.328,0:05:16.528
In het recente verleden - al kun je discussieren

0:05:16.528,0:05:18.708
of 150 jaar geleden recent is.

0:05:18.708,0:05:22.398
Dit is een direct citaat van Abraham Lincoln,

0:05:22.398,0:05:24.488
een bekende Amerikaanse president.

0:05:24.488,0:05:27.278
Ik vind dit een mooie foto van Lincoln,

0:05:27.278,0:05:29.608
hier is hij achter in de dertig

0:05:29.608,0:05:32.658
Hij was een groot fan van de "Elementen van Euclides"

0:05:32.658,0:05:35.468
Hij gebruikte het om zijn geest te scherpen.

0:05:35.468,0:05:38.608
Hij las het tijdens het paardrijden, en ook terwijl hij in

0:05:38.608,0:05:40.518
het Witte Huis was.

0:05:40.518,0:05:43.308
Dit is een direct citaat van Lincoln:

0:05:43.308,0:05:46.678
"Tijdens het lezen van mijn boeken over recht kwam ik"

0:05:46.678,0:05:48.298
"steeds het woord 'demonstreren' tegen."

0:05:48.298,0:05:51.188
"Ik dacht dat ik de betekenis begreep, maar het werd"

0:05:51.188,0:05:53.078
"me duidelijk dat dit niet zo was."

0:05:53.078,0:05:55.668
"Ik zei tegen mezelf: 'Wat doe ik meer als ik iets'"

0:05:55.668,0:05:58.038
"'demonstreer, dan wanneer ik iets berenedeer'"

0:05:58.038,0:06:01.538
"'of bewijs? Hoe verschilt demonstratie van elk ander'"

0:06:01.538,0:06:02.328
"'bewijs?'"

0:06:02.328,0:06:05.278
Lincoln denkt dat dit woord, 'demonstratie', een

0:06:05.278,0:06:08.048
bredere betekenis heeft: 'Onomstotelijk bewijzen'.

0:06:08.048,0:06:12.838
Iets rigoreuzer, meer dan denken dat het ongeveer klopt

0:06:12.945,0:06:14.995
"Ik zocht het op in Websters woordenboek"

0:06:14.995,0:06:17.645
Dit woordenboek bestond in die tijd dus al

0:06:17.645,0:06:19.631
"Zij hadden het over een bepaald bewijs,"

0:06:19.631,0:06:22.027
"bewijs zonder ruimte voor twijfel."

0:06:22.027,0:06:25.265
"Maar ik kon me niet voorstellen wat voor bewijs dit was"

0:06:25.265,0:06:29.015
"Ik dacht dat veel dingen onomstotelijk waren bewezen"

0:06:29.015,0:06:32.315
"zonder zo'n uitgebreide redenatie nodig te hebben"

0:06:32.315,0:06:34.865
"als wat ik begreep dat 'demonstratie' was."

0:06:35.025,0:06:38.245
"Ik zocht het op in allerlei woordenboeken"

0:06:38.245,0:06:40.935
"die ik kon vinden, zonder beter resultaat."

0:06:40.935,0:06:45.195
"Je kon net zo goed uitleggen wat 'blauw' is aan een blinde."

0:06:45.195,0:06:48.575
"Uiteindelijk zei ik: 'Lincoln'" - hij praat tegen zichzelf

0:06:48.575,0:06:52.575
"Uiteindelijk zei ik: 'Lincoln, je kunt nooit een goede'

0:06:52.575,0:06:54.985
'advocaat worden als je niet begrijpt wat 'demonstratie' betekent.'"

0:06:54.985,0:06:58.725
"Ik verliet mijn woonplaats en ging terug naar mijn vader"

0:06:58.725,0:07:03.245
"en bleef daar tot ik alle stellingen kon geven uit zes"

0:07:03.245,0:07:06.505
"delen van Euclides over vlakke meetkunde"

0:07:06.505,0:07:09.575
"Toen begreep ik van 'demonstreren' betekent en"

0:07:09.575,0:07:11.265
"ging ik terug naar mijn studie rechten."

0:07:11.265,0:07:15.105
Een van Amerika's grootste presidenten vond dat,

0:07:15.105,0:07:18.565
om een goede advocaat te kunnen zijn, hij alle stellingen

0:07:18.565,0:07:25.075
uit zes delen van Euclides moest kunnen bewijzen.

0:07:25.075,0:07:29.075
Toen hij eenmaal president was, bleef hij dit doen om

0:07:29.075,0:07:31.845
zijn geest scherp te houden, zodat hij een goede

0:07:31.845,0:07:32.905
president zou zijn.

0:07:32.905,0:07:36.775
Dit is ook wat we gaan doen in deze afspeellijst.

0:07:36.775,0:07:42.545
We gaan leren hoe we iets onomstotelijk bewijzen.

0:07:42.545,0:07:46.545
We gaan, op een iets modernere manier, onderzoeken

0:07:46.545,0:07:49.035
wat Euclides 2300 jaar geleden onderzocht.

0:07:49.035,0:07:55.245
Om onze redenatie waterdicht te maken

0:07:55.245,0:07:58.515
over verschillende stellingen en er zeker van zijn dat

0:07:58.515,0:08:01.705
als we iets zeggen, we dit ook kunnen bewijzen.

0:08:01.705,0:08:05.125
Dit is een van de meest fundamentele wiskunde dat je

0:08:05.125,0:08:05.925
zult doen.

0:08:05.925,0:08:08.245
Rekenkunde is enkel iets uitrekenen.

0:08:08.245,0:08:13.025
Wat we nu gaan doen, Euclidische meetkunde, is waar

0:08:13.025,0:08:16.245
wiskunde om draait.

0:08:16.245,0:08:21.105
Aannames doen en daaruit andere dingen afleiden.