WEBVTT 00:00:00.509 --> 00:00:04.320 "De natuurwetten zijn niets anders dan de wiskundige gedachten van God." 00:00:04.320 --> 00:00:06.981 Dit is een citaat van Euclides van Alexandrië, 00:00:06.981 --> 00:00:11.857 een Grieks wiskundige en filosoof die ongeveer 300 jaar voor Christus leefde. 00:00:11.857 --> 00:00:19.263 De reden dat ik dit citaat noem is omdat Euclides wordt gezien als de vader van de geometrie (meetkunde). 00:00:19.263 --> 00:00:22.153 En het is een mooi citaat, ongeacht je mening over God, 00:00:22.153 --> 00:00:24.544 of God bestaat of niet, of de aard van God. 00:00:24.544 --> 00:00:27.006 Het zegt iets fundamenteels over de natuur. 00:00:27.006 --> 00:00:30.999 De natuurwetten zijn niets anders dan de wiskundige gedachten van God, 00:00:30.999 --> 00:00:34.506 dat wiskunde de basis is van alle natuurwetten. 00:00:34.506 --> 00:00:37.292 Het woord "geometrie" heeft zijn oorsprong in het Grieks. 00:00:37.292 --> 00:00:40.473 "Geo" komt van het Grieks voor "aarde", 00:00:40.473 --> 00:00:43.701 "metrie" komt van het Grieks voor "meten". 00:00:43.701 --> 00:00:46.673 Je bent waarschijnlijk bekend met het metrische systeem. 00:00:46.673 --> 00:00:49.622 Euclides wordt gezien als de vader van de geometrie. 00:00:49.622 --> 00:00:52.292 Niet omdat hij de eerste was die het onderzocht, 00:00:52.292 --> 00:00:56.057 je kunt je voorstellen dat de eerste mensen geometrie onderzochten: 00:00:56.057 --> 00:00:57.949 Ze keken mogelijk naar twee takjes op de grond 00:00:57.949 --> 00:00:59.404 die op iets als dit leken als dit 00:00:59.404 --> 00:01:01.102 en ze keken naar twee andere takjes 00:01:01.102 --> 00:01:01.910 die leken op dit 00:01:01.910 --> 00:01:04.608 en ze zeiden "Hier is een grotere opening. Wat is de relatie hier?" 00:01:04.608 --> 00:01:08.153 Of ze keken mogelijk naar een boom 00:01:08.153 --> 00:01:13.088 die een tak had die eraf kwam zoals dit 00:01:13.088 --> 00:01:17.574 en ze zeiden: "Er lijkt iets hetzelfde aan deze opening hier en deze hier". 00:01:18.044 --> 00:01:19.313 Of ze vroegen zichzelf af: 00:01:19.313 --> 00:01:22.582 "Wat is de verhouding..." 00:01:22.582 --> 00:01:25.618 "...tussen de omtrek en diameter van een cirkel?" 00:01:25.618 --> 00:01:27.912 "En is dat hetzelfde voor alle cirkels?" 00:01:27.912 --> 00:01:31.712 "Is er een manier voor ons om te weten dat dit absoluut waar is?" 00:01:32.072 --> 00:01:35.595 Tegen de tijd van de vroege Grieken werd er 00:01:35.595 --> 00:01:39.118 zorgvuldiger nagedacht over geometrie, 00:01:39.118 --> 00:01:42.642 door Griekse wiskundigen zoals Pythagoras, 00:01:42.882 --> 00:01:44.932 die eerder leefde dan Euclides. 00:01:44.932 --> 00:01:46.735 De reden dat Euclides wordt gezien 00:01:46.735 --> 00:01:48.538 als de vader van de geometrie 00:01:48.538 --> 00:01:51.512 en waarom we vaak praten over Euclidische meetkunde 00:01:51.512 --> 00:01:53.856 is omdat rond 300 BC 00:01:53.856 --> 00:01:56.318 - en dit is een weergave van Euclides 00:01:56.318 --> 00:01:57.739 geschilderd door Raphael. 00:01:57.739 --> 00:01:59.410 Niemand wist precies hoe Euclides eruit zag, of zelfs 00:01:59.410 --> 00:02:01.030 wanneer hij was geboren of wanneer hij overleed, 00:02:01.030 --> 00:02:04.490 dus dit is Raphaels' impressie van hoe Euclides er 00:02:04.490 --> 00:02:07.502 mogelijk uitzag toen hij les gaf in Alexandrie. 00:02:07.502 --> 00:02:10.110 Wat Euclides de vader van de meetkunde maakte, zijn 00:02:10.110 --> 00:02:14.308 zijn geschriften: "Elementen van Euclides". 00:02:14.308 --> 00:02:20.966 De "Elementen" waren eigenlijk een dertiendelig lesboek, 00:02:20.966 --> 00:02:24.203 misschien wel de beroemdste aller tijden. 00:02:24.203 --> 00:02:28.412 Wat hij deed in die dertien delen was een rigoreuze, 00:02:28.412 --> 00:02:31.091 goed doordachte, logische tocht 00:02:31.091 --> 00:02:36.651 door de meetkunde, getaltheorie en meetkunde in 3 dimensies 00:02:36.651 --> 00:02:40.504 Dit is de voorkant van de Engelse versie, 00:02:40.504 --> 00:02:43.077 of eigenlijk de eerste Engelse vertaling van de 00:02:43.077 --> 00:02:44.180 "Elementen van Euclides". 00:02:44.180 --> 00:02:46.675 Dit was gedaan in 1570. 00:02:46.675 --> 00:02:49.342 Het was oorspronkelijk geschreven in het Grieks. 00:02:49.342 --> 00:02:52.232 Tijdens de Middeleeuwen werd deze kennis 00:02:52.232 --> 00:02:53.246 overgenomen door de Arabieren en 00:02:53.246 --> 00:02:55.210 werd het vertaald naar het Arabisch. 00:02:55.210 --> 00:02:59.137 Tijdens de late Middeleeuwen werd het vertaald 00:02:59.137 --> 00:03:01.974 naar Latijn en toen uiteindelijk naar Engels. 00:03:01.974 --> 00:03:03.674 Daarom had ik het over een "rigoreuze tocht", 00:03:03.674 --> 00:03:05.228 Euclides zei niet simpelweg: 00:03:05.228 --> 00:03:08.732 "Oh, het kwadraat van één zijde van een rechthoekige" 00:03:08.732 --> 00:03:12.761 "driehoek plus het kwadraat van de andere zijde is" 00:03:12.761 --> 00:03:14.608 "gelijk aan het kwadraat van de schuine zijde" 00:03:14.608 --> 00:03:17.756 En al die andere dingen, waar we later dieper op ingaan. 00:03:17.756 --> 00:03:21.099 Hij zei: "Ik wil niet denken dat het waarschijnlijk waar is," 00:03:21.099 --> 00:03:24.442 "ik wil voor mezelf bewijzen dat het zo is." 00:03:24.442 --> 00:03:26.746 Wat hij deed in "Elementen", vooral de zes 00:03:26.746 --> 00:03:30.292 delen over vlakke meetkunde - 00:03:30.292 --> 00:03:33.838 of eigenlijk alle delen, maar vooral in de meetkunde - 00:03:33.838 --> 00:03:37.385 was dat hij uitging van simpele aannames. 00:03:37.385 --> 00:03:41.979 Deze aannames worden ook wel "axiomen" 00:03:41.979 --> 00:03:43.353 of "postulaten" genoemd. 00:03:43.353 --> 00:03:47.465 Van hieruit bewees hij andere beweringen, ook wel 00:03:47.465 --> 00:03:50.770 stellingen of "theorema" genoemd. 00:03:50.770 --> 00:03:52.244 En hij zegt: "Nu weet ik het zeker." 00:03:52.244 --> 00:03:55.478 "Als dit waar is en dit is waar, dan moet dit ook waar zijn" 00:03:55.478 --> 00:03:57.273 Hij kon zo ook bewijzen dat sommige 00:03:57.273 --> 00:04:00.508 dingen niet mogelijk zijn. 00:04:00.508 --> 00:04:02.357 Hij zei niet: "Elke cirkel waar ik in heb" 00:04:02.357 --> 00:04:03.766 "gezeten had deze eigenschappen." 00:04:03.766 --> 00:04:05.695 "Ik heb nu bewezen dat dit waar is." 00:04:05.695 --> 00:04:10.132 Nu kunnen we andere dingen afleiden, 00:04:10.132 --> 00:04:12.444 en we kunnen sommige van onze "axiomen" 00:04:12.444 --> 00:04:14.096 gebruiken om dat te doen. 00:04:14.096 --> 00:04:15.538 Het speciale is dat hij iets deed wat 00:04:15.538 --> 00:04:16.898 nog nooit iemand had gedaan. 00:04:16.898 --> 00:04:19.918 Iets rigoreus en zonder twijfel bewijzen 00:04:19.918 --> 00:04:22.948 over een breed kennisgebied. 00:04:22.948 --> 00:04:25.458 Niet een bewezen stelling hier en daar, 00:04:25.458 --> 00:04:30.188 maar meerdere stellingen over meerdere onderwerpen. 00:04:30.188 --> 00:04:32.358 Een rigoreuze tocht door een onderwerp, 00:04:32.358 --> 00:04:35.998 zodat hij kon beginnen met axiomen en van daaruit 00:04:35.998 --> 00:04:41.828 op kon bouwen naar bredere stellingen. 00:04:41.828 --> 00:04:44.538 Tot zo'n 2.000 jaar na Euclides, 00:04:44.538 --> 00:04:47.728 dit is een enorm lange tijd voor een lesboek, 00:04:47.728 --> 00:04:51.728 zag men je niet als geleerd als je de "Elementen van 00:04:51.728 --> 00:04:54.808 Euclides" niet had gelezen en begrepen. 00:04:54.808 --> 00:04:58.228 Het boek zelf was het op één na meest geprinte 00:04:58.228 --> 00:05:00.448 boek in de Westerse wereld, na de Bijbel. 00:05:00.448 --> 00:05:02.688 Dit was een wiskundeboek, met enkel de Bijbel 00:05:02.688 --> 00:05:03.588 boven zich! 00:05:03.588 --> 00:05:05.308 Toen de eerste drukpers werd gemaakt, dacht men: 00:05:05.308 --> 00:05:06.488 "Laten we de Bijbel drukken." 00:05:06.488 --> 00:05:07.618 "Wat printen we erna?" 00:05:07.618 --> 00:05:09.888 "Laten we de 'Elementen van Euclides' drukken." 00:05:09.888 --> 00:05:12.328 Om aan te geven dat dit relevant is: 00:05:12.328 --> 00:05:16.528 In het recente verleden - al kun je discussieren 00:05:16.528 --> 00:05:18.708 of 150 jaar geleden recent is. 00:05:18.708 --> 00:05:22.398 Dit is een direct citaat van Abraham Lincoln, 00:05:22.398 --> 00:05:24.488 een bekende Amerikaanse president. 00:05:24.488 --> 00:05:27.278 Ik vind dit een mooie foto van Lincoln, 00:05:27.278 --> 00:05:29.608 hier is hij achter in de dertig 00:05:29.608 --> 00:05:32.658 Hij was een groot fan van de "Elementen van Euclides" 00:05:32.658 --> 00:05:35.468 Hij gebruikte het om zijn geest te scherpen. 00:05:35.468 --> 00:05:38.608 Hij las het tijdens het paardrijden, en ook terwijl hij in 00:05:38.608 --> 00:05:40.518 het Witte Huis was. 00:05:40.518 --> 00:05:43.308 Dit is een direct citaat van Lincoln: 00:05:43.308 --> 00:05:46.678 "Tijdens het lezen van mijn boeken over recht kwam ik" 00:05:46.678 --> 00:05:48.298 "steeds het woord 'demonstreren' tegen." 00:05:48.298 --> 00:05:51.188 "Ik dacht dat ik de betekenis begreep, maar het werd" 00:05:51.188 --> 00:05:53.078 "me duidelijk dat dit niet zo was." 00:05:53.078 --> 00:05:55.668 "Ik zei tegen mezelf: 'Wat doe ik meer als ik iets'" 00:05:55.668 --> 00:05:58.038 "'demonstreer, dan wanneer ik iets berenedeer'" 00:05:58.038 --> 00:06:01.538 "'of bewijs? Hoe verschilt demonstratie van elk ander'" 00:06:01.538 --> 00:06:02.328 "'bewijs?'" 00:06:02.328 --> 00:06:05.278 Lincoln denkt dat dit woord, 'demonstratie', een 00:06:05.278 --> 00:06:08.048 bredere betekenis heeft: 'Onomstotelijk bewijzen'. 00:06:08.048 --> 00:06:12.838 Iets rigoreuzer, meer dan denken dat het ongeveer klopt 00:06:12.945 --> 00:06:14.995 "Ik zocht het op in Websters woordenboek" 00:06:14.995 --> 00:06:17.645 Dit woordenboek bestond in die tijd dus al 00:06:17.645 --> 00:06:19.631 "Zij hadden het over een bepaald bewijs," 00:06:19.631 --> 00:06:22.027 "bewijs zonder ruimte voor twijfel." 00:06:22.027 --> 00:06:25.265 "Maar ik kon me niet voorstellen wat voor bewijs dit was" 00:06:25.265 --> 00:06:29.015 "Ik dacht dat veel dingen onomstotelijk waren bewezen" 00:06:29.015 --> 00:06:32.315 "zonder zo'n uitgebreide redenatie nodig te hebben" 00:06:32.315 --> 00:06:34.865 "als wat ik begreep dat 'demonstratie' was." 00:06:35.025 --> 00:06:38.245 "Ik zocht het op in allerlei woordenboeken" 00:06:38.245 --> 00:06:40.935 "die ik kon vinden, zonder beter resultaat." 00:06:40.935 --> 00:06:45.195 "Je kon net zo goed uitleggen wat 'blauw' is aan een blinde." 00:06:45.195 --> 00:06:48.575 "Uiteindelijk zei ik: 'Lincoln'" - hij praat tegen zichzelf 00:06:48.575 --> 00:06:52.575 "Uiteindelijk zei ik: 'Lincoln, je kunt nooit een goede' 00:06:52.575 --> 00:06:54.985 'advocaat worden als je niet begrijpt wat 'demonstratie' betekent.'" 00:06:54.985 --> 00:06:58.725 "Ik verliet mijn woonplaats en ging terug naar mijn vader" 00:06:58.725 --> 00:07:03.245 "en bleef daar tot ik alle stellingen kon geven uit zes" 00:07:03.245 --> 00:07:06.505 "delen van Euclides over vlakke meetkunde" 00:07:06.505 --> 00:07:09.575 "Toen begreep ik van 'demonstreren' betekent en" 00:07:09.575 --> 00:07:11.265 "ging ik terug naar mijn studie rechten." 00:07:11.265 --> 00:07:15.105 Een van Amerika's grootste presidenten vond dat, 00:07:15.105 --> 00:07:18.565 om een goede advocaat te kunnen zijn, hij alle stellingen 00:07:18.565 --> 00:07:25.075 uit zes delen van Euclides moest kunnen bewijzen. 00:07:25.075 --> 00:07:29.075 Toen hij eenmaal president was, bleef hij dit doen om 00:07:29.075 --> 00:07:31.845 zijn geest scherp te houden, zodat hij een goede 00:07:31.845 --> 00:07:32.905 president zou zijn. 00:07:32.905 --> 00:07:36.775 Dit is ook wat we gaan doen in deze afspeellijst. 00:07:36.775 --> 00:07:42.545 We gaan leren hoe we iets onomstotelijk bewijzen. 00:07:42.545 --> 00:07:46.545 We gaan, op een iets modernere manier, onderzoeken 00:07:46.545 --> 00:07:49.035 wat Euclides 2300 jaar geleden onderzocht. 00:07:49.035 --> 00:07:55.245 Om onze redenatie waterdicht te maken 00:07:55.245 --> 00:07:58.515 over verschillende stellingen en er zeker van zijn dat 00:07:58.515 --> 00:08:01.705 als we iets zeggen, we dit ook kunnen bewijzen. 00:08:01.705 --> 00:08:05.125 Dit is een van de meest fundamentele wiskunde dat je 00:08:05.125 --> 00:08:05.925 zult doen. 00:08:05.925 --> 00:08:08.245 Rekenkunde is enkel iets uitrekenen. 00:08:08.245 --> 00:08:13.025 Wat we nu gaan doen, Euclidische meetkunde, is waar 00:08:13.025 --> 00:08:16.245 wiskunde om draait. 00:08:16.245 --> 00:08:21.105 Aannames doen en daaruit andere dingen afleiden.