1 00:00:00,509 --> 00:00:04,320 "De natuurwetten zijn niets anders dan de wiskundige gedachten van God." 2 00:00:04,320 --> 00:00:06,981 Dit is een citaat van Euclides van Alexandrië, 3 00:00:06,981 --> 00:00:11,857 een Grieks wiskundige en filosoof die ongeveer 300 jaar voor Christus leefde. 4 00:00:11,857 --> 00:00:19,263 De reden dat ik dit citaat noem is omdat Euclides wordt gezien als de vader van de geometrie (meetkunde). 5 00:00:19,263 --> 00:00:22,153 En het is een mooi citaat, ongeacht je mening over God, 6 00:00:22,153 --> 00:00:24,544 of God bestaat of niet, of de aard van God. 7 00:00:24,544 --> 00:00:27,006 Het zegt iets fundamenteels over de natuur. 8 00:00:27,006 --> 00:00:30,999 De natuurwetten zijn niets anders dan de wiskundige gedachten van God, 9 00:00:30,999 --> 00:00:34,506 dat wiskunde de basis is van alle natuurwetten. 10 00:00:34,506 --> 00:00:37,292 Het woord "geometrie" heeft zijn oorsprong in het Grieks. 11 00:00:37,292 --> 00:00:40,473 "Geo" komt van het Grieks voor "aarde", 12 00:00:40,473 --> 00:00:43,701 "metrie" komt van het Grieks voor "meten". 13 00:00:43,701 --> 00:00:46,673 Je bent waarschijnlijk bekend met het metrische systeem. 14 00:00:46,673 --> 00:00:49,622 Euclides wordt gezien als de vader van de geometrie. 15 00:00:49,622 --> 00:00:52,292 Niet omdat hij de eerste was die het onderzocht, 16 00:00:52,292 --> 00:00:56,057 je kunt je voorstellen dat de eerste mensen geometrie onderzochten: 17 00:00:56,057 --> 00:00:57,949 Ze keken mogelijk naar twee takjes op de grond 18 00:00:57,949 --> 00:00:59,404 die op iets als dit leken als dit 19 00:00:59,404 --> 00:01:01,102 en ze keken naar twee andere takjes 20 00:01:01,102 --> 00:01:01,910 die leken op dit 21 00:01:01,910 --> 00:01:04,608 en ze zeiden "Hier is een grotere opening. Wat is de relatie hier?" 22 00:01:04,608 --> 00:01:08,153 Of ze keken mogelijk naar een boom 23 00:01:08,153 --> 00:01:13,088 die een tak had die eraf kwam zoals dit 24 00:01:13,088 --> 00:01:17,574 en ze zeiden: "Er lijkt iets hetzelfde aan deze opening hier en deze hier". 25 00:01:18,044 --> 00:01:19,313 Of ze vroegen zichzelf af: 26 00:01:19,313 --> 00:01:22,582 "Wat is de verhouding..." 27 00:01:22,582 --> 00:01:25,618 "...tussen de omtrek en diameter van een cirkel?" 28 00:01:25,618 --> 00:01:27,912 "En is dat hetzelfde voor alle cirkels?" 29 00:01:27,912 --> 00:01:31,712 "Is er een manier voor ons om te weten dat dit absoluut waar is?" 30 00:01:32,072 --> 00:01:35,595 Tegen de tijd van de vroege Grieken werd er 31 00:01:35,595 --> 00:01:39,118 zorgvuldiger nagedacht over geometrie, 32 00:01:39,118 --> 00:01:42,642 door Griekse wiskundigen zoals Pythagoras, 33 00:01:42,882 --> 00:01:44,932 die eerder leefde dan Euclides. 34 00:01:44,932 --> 00:01:46,735 De reden dat Euclides wordt gezien 35 00:01:46,735 --> 00:01:48,538 als de vader van de geometrie 36 00:01:48,538 --> 00:01:51,512 en waarom we vaak praten over Euclidische meetkunde 37 00:01:51,512 --> 00:01:53,856 is omdat rond 300 BC 38 00:01:53,856 --> 00:01:56,318 - en dit is een weergave van Euclides 39 00:01:56,318 --> 00:01:57,739 geschilderd door Raphael. 40 00:01:57,739 --> 00:01:59,410 Niemand wist precies hoe Euclides eruit zag, of zelfs 41 00:01:59,410 --> 00:02:01,030 wanneer hij was geboren of wanneer hij overleed, 42 00:02:01,030 --> 00:02:04,490 dus dit is Raphaels' impressie van hoe Euclides er 43 00:02:04,490 --> 00:02:07,502 mogelijk uitzag toen hij les gaf in Alexandrie. 44 00:02:07,502 --> 00:02:10,110 Wat Euclides de vader van de meetkunde maakte, zijn 45 00:02:10,110 --> 00:02:14,308 zijn geschriften: "Elementen van Euclides". 46 00:02:14,308 --> 00:02:20,966 De "Elementen" waren eigenlijk een dertiendelig lesboek, 47 00:02:20,966 --> 00:02:24,203 misschien wel de beroemdste aller tijden. 48 00:02:24,203 --> 00:02:28,412 Wat hij deed in die dertien delen was een rigoreuze, 49 00:02:28,412 --> 00:02:31,091 goed doordachte, logische tocht 50 00:02:31,091 --> 00:02:36,651 door de meetkunde, getaltheorie en meetkunde in 3 dimensies 51 00:02:36,651 --> 00:02:40,504 Dit is de voorkant van de Engelse versie, 52 00:02:40,504 --> 00:02:43,077 of eigenlijk de eerste Engelse vertaling van de 53 00:02:43,077 --> 00:02:44,180 "Elementen van Euclides". 54 00:02:44,180 --> 00:02:46,675 Dit was gedaan in 1570. 55 00:02:46,675 --> 00:02:49,342 Het was oorspronkelijk geschreven in het Grieks. 56 00:02:49,342 --> 00:02:52,232 Tijdens de Middeleeuwen werd deze kennis 57 00:02:52,232 --> 00:02:53,246 overgenomen door de Arabieren en 58 00:02:53,246 --> 00:02:55,210 werd het vertaald naar het Arabisch. 59 00:02:55,210 --> 00:02:59,137 Tijdens de late Middeleeuwen werd het vertaald 60 00:02:59,137 --> 00:03:01,974 naar Latijn en toen uiteindelijk naar Engels. 61 00:03:01,974 --> 00:03:03,674 Daarom had ik het over een "rigoreuze tocht", 62 00:03:03,674 --> 00:03:05,228 Euclides zei niet simpelweg: 63 00:03:05,228 --> 00:03:08,732 "Oh, het kwadraat van één zijde van een rechthoekige" 64 00:03:08,732 --> 00:03:12,761 "driehoek plus het kwadraat van de andere zijde is" 65 00:03:12,761 --> 00:03:14,608 "gelijk aan het kwadraat van de schuine zijde" 66 00:03:14,608 --> 00:03:17,756 En al die andere dingen, waar we later dieper op ingaan. 67 00:03:17,756 --> 00:03:21,099 Hij zei: "Ik wil niet denken dat het waarschijnlijk waar is," 68 00:03:21,099 --> 00:03:24,442 "ik wil voor mezelf bewijzen dat het zo is." 69 00:03:24,442 --> 00:03:26,746 Wat hij deed in "Elementen", vooral de zes 70 00:03:26,746 --> 00:03:30,292 delen over vlakke meetkunde - 71 00:03:30,292 --> 00:03:33,838 of eigenlijk alle delen, maar vooral in de meetkunde - 72 00:03:33,838 --> 00:03:37,385 was dat hij uitging van simpele aannames. 73 00:03:37,385 --> 00:03:41,979 Deze aannames worden ook wel "axiomen" 74 00:03:41,979 --> 00:03:43,353 of "postulaten" genoemd. 75 00:03:43,353 --> 00:03:47,465 Van hieruit bewees hij andere beweringen, ook wel 76 00:03:47,465 --> 00:03:50,770 stellingen of "theorema" genoemd. 77 00:03:50,770 --> 00:03:52,244 En hij zegt: "Nu weet ik het zeker." 78 00:03:52,244 --> 00:03:55,478 "Als dit waar is en dit is waar, dan moet dit ook waar zijn" 79 00:03:55,478 --> 00:03:57,273 Hij kon zo ook bewijzen dat sommige 80 00:03:57,273 --> 00:04:00,508 dingen niet mogelijk zijn. 81 00:04:00,508 --> 00:04:02,357 Hij zei niet: "Elke cirkel waar ik in heb" 82 00:04:02,357 --> 00:04:03,766 "gezeten had deze eigenschappen." 83 00:04:03,766 --> 00:04:05,695 "Ik heb nu bewezen dat dit waar is." 84 00:04:05,695 --> 00:04:10,132 Nu kunnen we andere dingen afleiden, 85 00:04:10,132 --> 00:04:12,444 en we kunnen sommige van onze "axiomen" 86 00:04:12,444 --> 00:04:14,096 gebruiken om dat te doen. 87 00:04:14,096 --> 00:04:15,538 Het speciale is dat hij iets deed wat 88 00:04:15,538 --> 00:04:16,898 nog nooit iemand had gedaan. 89 00:04:16,898 --> 00:04:19,918 Iets rigoreus en zonder twijfel bewijzen 90 00:04:19,918 --> 00:04:22,948 over een breed kennisgebied. 91 00:04:22,948 --> 00:04:25,458 Niet een bewezen stelling hier en daar, 92 00:04:25,458 --> 00:04:30,188 maar meerdere stellingen over meerdere onderwerpen. 93 00:04:30,188 --> 00:04:32,358 Een rigoreuze tocht door een onderwerp, 94 00:04:32,358 --> 00:04:35,998 zodat hij kon beginnen met axiomen en van daaruit 95 00:04:35,998 --> 00:04:41,828 op kon bouwen naar bredere stellingen. 96 00:04:41,828 --> 00:04:44,538 Tot zo'n 2.000 jaar na Euclides, 97 00:04:44,538 --> 00:04:47,728 dit is een enorm lange tijd voor een lesboek, 98 00:04:47,728 --> 00:04:51,728 zag men je niet als geleerd als je de "Elementen van 99 00:04:51,728 --> 00:04:54,808 Euclides" niet had gelezen en begrepen. 100 00:04:54,808 --> 00:04:58,228 Het boek zelf was het op één na meest geprinte 101 00:04:58,228 --> 00:05:00,448 boek in de Westerse wereld, na de Bijbel. 102 00:05:00,448 --> 00:05:02,688 Dit was een wiskundeboek, met enkel de Bijbel 103 00:05:02,688 --> 00:05:03,588 boven zich! 104 00:05:03,588 --> 00:05:05,308 Toen de eerste drukpers werd gemaakt, dacht men: 105 00:05:05,308 --> 00:05:06,488 "Laten we de Bijbel drukken." 106 00:05:06,488 --> 00:05:07,618 "Wat printen we erna?" 107 00:05:07,618 --> 00:05:09,888 "Laten we de 'Elementen van Euclides' drukken." 108 00:05:09,888 --> 00:05:12,328 Om aan te geven dat dit relevant is: 109 00:05:12,328 --> 00:05:16,528 In het recente verleden - al kun je discussieren 110 00:05:16,528 --> 00:05:18,708 of 150 jaar geleden recent is. 111 00:05:18,708 --> 00:05:22,398 Dit is een direct citaat van Abraham Lincoln, 112 00:05:22,398 --> 00:05:24,488 een bekende Amerikaanse president. 113 00:05:24,488 --> 00:05:27,278 Ik vind dit een mooie foto van Lincoln, 114 00:05:27,278 --> 00:05:29,608 hier is hij achter in de dertig 115 00:05:29,608 --> 00:05:32,658 Hij was een groot fan van de "Elementen van Euclides" 116 00:05:32,658 --> 00:05:35,468 Hij gebruikte het om zijn geest te scherpen. 117 00:05:35,468 --> 00:05:38,608 Hij las het tijdens het paardrijden, en ook terwijl hij in 118 00:05:38,608 --> 00:05:40,518 het Witte Huis was. 119 00:05:40,518 --> 00:05:43,308 Dit is een direct citaat van Lincoln: 120 00:05:43,308 --> 00:05:46,678 "Tijdens het lezen van mijn boeken over recht kwam ik" 121 00:05:46,678 --> 00:05:48,298 "steeds het woord 'demonstreren' tegen." 122 00:05:48,298 --> 00:05:51,188 "Ik dacht dat ik de betekenis begreep, maar het werd" 123 00:05:51,188 --> 00:05:53,078 "me duidelijk dat dit niet zo was." 124 00:05:53,078 --> 00:05:55,668 "Ik zei tegen mezelf: 'Wat doe ik meer als ik iets'" 125 00:05:55,668 --> 00:05:58,038 "'demonstreer, dan wanneer ik iets berenedeer'" 126 00:05:58,038 --> 00:06:01,538 "'of bewijs? Hoe verschilt demonstratie van elk ander'" 127 00:06:01,538 --> 00:06:02,328 "'bewijs?'" 128 00:06:02,328 --> 00:06:05,278 Lincoln denkt dat dit woord, 'demonstratie', een 129 00:06:05,278 --> 00:06:08,048 bredere betekenis heeft: 'Onomstotelijk bewijzen'. 130 00:06:08,048 --> 00:06:12,838 Iets rigoreuzer, meer dan denken dat het ongeveer klopt 131 00:06:12,945 --> 00:06:14,995 "Ik zocht het op in Websters woordenboek" 132 00:06:14,995 --> 00:06:17,645 Dit woordenboek bestond in die tijd dus al 133 00:06:17,645 --> 00:06:19,631 "Zij hadden het over een bepaald bewijs," 134 00:06:19,631 --> 00:06:22,027 "bewijs zonder ruimte voor twijfel." 135 00:06:22,027 --> 00:06:25,265 "Maar ik kon me niet voorstellen wat voor bewijs dit was" 136 00:06:25,265 --> 00:06:29,015 "Ik dacht dat veel dingen onomstotelijk waren bewezen" 137 00:06:29,015 --> 00:06:32,315 "zonder zo'n uitgebreide redenatie nodig te hebben" 138 00:06:32,315 --> 00:06:34,865 "als wat ik begreep dat 'demonstratie' was." 139 00:06:35,025 --> 00:06:38,245 "Ik zocht het op in allerlei woordenboeken" 140 00:06:38,245 --> 00:06:40,935 "die ik kon vinden, zonder beter resultaat." 141 00:06:40,935 --> 00:06:45,195 "Je kon net zo goed uitleggen wat 'blauw' is aan een blinde." 142 00:06:45,195 --> 00:06:48,575 "Uiteindelijk zei ik: 'Lincoln'" - hij praat tegen zichzelf 143 00:06:48,575 --> 00:06:52,575 "Uiteindelijk zei ik: 'Lincoln, je kunt nooit een goede' 144 00:06:52,575 --> 00:06:54,985 'advocaat worden als je niet begrijpt wat 'demonstratie' betekent.'" 145 00:06:54,985 --> 00:06:58,725 "Ik verliet mijn woonplaats en ging terug naar mijn vader" 146 00:06:58,725 --> 00:07:03,245 "en bleef daar tot ik alle stellingen kon geven uit zes" 147 00:07:03,245 --> 00:07:06,505 "delen van Euclides over vlakke meetkunde" 148 00:07:06,505 --> 00:07:09,575 "Toen begreep ik van 'demonstreren' betekent en" 149 00:07:09,575 --> 00:07:11,265 "ging ik terug naar mijn studie rechten." 150 00:07:11,265 --> 00:07:15,105 Een van Amerika's grootste presidenten vond dat, 151 00:07:15,105 --> 00:07:18,565 om een goede advocaat te kunnen zijn, hij alle stellingen 152 00:07:18,565 --> 00:07:25,075 uit zes delen van Euclides moest kunnen bewijzen. 153 00:07:25,075 --> 00:07:29,075 Toen hij eenmaal president was, bleef hij dit doen om 154 00:07:29,075 --> 00:07:31,845 zijn geest scherp te houden, zodat hij een goede 155 00:07:31,845 --> 00:07:32,905 president zou zijn. 156 00:07:32,905 --> 00:07:36,775 Dit is ook wat we gaan doen in deze afspeellijst. 157 00:07:36,775 --> 00:07:42,545 We gaan leren hoe we iets onomstotelijk bewijzen. 158 00:07:42,545 --> 00:07:46,545 We gaan, op een iets modernere manier, onderzoeken 159 00:07:46,545 --> 00:07:49,035 wat Euclides 2300 jaar geleden onderzocht. 160 00:07:49,035 --> 00:07:55,245 Om onze redenatie waterdicht te maken 161 00:07:55,245 --> 00:07:58,515 over verschillende stellingen en er zeker van zijn dat 162 00:07:58,515 --> 00:08:01,705 als we iets zeggen, we dit ook kunnen bewijzen. 163 00:08:01,705 --> 00:08:05,125 Dit is een van de meest fundamentele wiskunde dat je 164 00:08:05,125 --> 00:08:05,925 zult doen. 165 00:08:05,925 --> 00:08:08,245 Rekenkunde is enkel iets uitrekenen. 166 00:08:08,245 --> 00:08:13,025 Wat we nu gaan doen, Euclidische meetkunde, is waar 167 00:08:13,025 --> 00:08:16,245 wiskunde om draait. 168 00:08:16,245 --> 00:08:21,105 Aannames doen en daaruit andere dingen afleiden.