< Return to Video

Cirkler: Radius, Diameter og Omkreds

  • 0:00 - 0:06
    Cirklen er nok den mest grundlæggende form i vores univers.
  • 0:06 - 0:09
    Den er der, når man ser på planetbanerne,
  • 0:09 - 0:13
    når man ser på hjulet, eller når man ser på former i den molekylære verden.
  • 0:13 - 0:17
    Cirklen bliver ved at med poppe op igen og igen.
  • 0:17 - 0:23
    Det er derfor værd at forstå nogle af cirklens egenskaber.
  • 0:23 - 0:29
    De første folk, som opdagede og studerede cirklen spurgte sig selv:
  • 0:29 - 0:33
    Hvilke egenskaber gælder for alle cirkler?
  • 0:33 - 0:38
    Noget af det første, de opdagede var, at en cirkel er alle de punkter,
  • 0:38 - 0:40
    der er lige langt fra punktet i midten af cirklen.
  • 0:40 - 0:45
    Alle disse punkter langs kanten er lige langt fra det centrum, dér.
  • 0:45 - 0:48
    En en af de første ting, man måske vil spørge sig selv om er derfor:
  • 0:48 - 0:52
    Hvad er så den afstand, hvor alle punkterne er lige langt fra centrum?
  • 0:52 - 0:53
    Dér.
  • 0:53 - 0:58
    Vi kalder den afstand for radius i cirklen.
  • 0:58 - 1:00
    Det er netop afstanden fra centrum og ud til kanten.
  • 1:00 - 1:04
    Hvis denne radius er 3 centimeter, så er denne radius også 3 centimeter.
  • 1:04 - 1:07
    Og denne radius er 3 centimeter.
  • 1:07 - 1:08
    Det vil aldrig ændres.
  • 1:08 - 1:13
    Per definition er en cirkel alle de punkter, der er lige langt fra midtpunktet.
  • 1:13 - 1:17
    Den afstand er radius.
  • 1:17 - 1:20
    Den næste interessante spørgsmål, som man kunne stille er:
  • 1:20 - 1:22
    Hvor stor er cirklen?
  • 1:22 - 1:26
    Hvor bred er cirklen ved det bredeste sted?
  • 1:26 - 1:28
    Hvis man vil klippe cirklen over, der hvor den er bredest,
  • 1:28 - 1:30
    hvad er så den afstand man skal klippe?
  • 1:30 - 1:32
    Det behøver ikke at være lige dér.
  • 1:32 - 1:35
    V kunne have lige så godt, have klippet langs det bredeste sted her.
  • 1:35 - 1:39
    Vi klipper ikke et sted som her,
  • 1:39 - 1:40
    fordi det ville ikke være det bredeste sted.
  • 1:40 - 1:43
    men der er mange steder, hvor man kunne klippe på det bredeste sted.
  • 1:43 - 1:48
    Vi har lige set på radius og vi kan nu se at det bredeste punkt går gennem centrum
  • 1:48 - 1:50
    og fortsætter lige over.
  • 1:50 - 1:53
    Det er altså to radier.
  • 1:53 - 1:57
    En radius her og en radius her.
  • 1:57 - 2:03
    Vi kalder afstanden langs det bredeste sted af cirklen for diameteren.
  • 2:03 - 2:06
    Det er cirklens diameter.
  • 2:06 - 2:09
    Den har en meget simpel relation til radius.
  • 2:09 - 2:19
    Diameter er lig med to gange radius.
  • 2:19 - 2:22
    Den næste meget interessante ting, som man muligvis
  • 2:22 - 2:25
    undrer sig over er: hvor langt er rundt om en cirkel?
  • 2:25 - 2:33
    Hvis vi skulle måle hele vejen omkring cirklen med et målebånd,
  • 2:33 - 2:36
    hvad ville så blive vores resultat?
  • 2:36 - 2:45
    Vi kalder det for omkredsen af cirklen.
  • 2:45 - 2:47
    Vi kender nu forholdet mellem diameter og radius,
  • 2:47 - 2:50
    men hvordan afhænger omkredsen af diameteren?
  • 2:50 - 2:52
    Det kan vi regne ud.
  • 2:52 - 2:54
    Man har fundet ud af, hvordan de her ting hænger sammen.
  • 2:54 - 2:57
    For mange tusind år siden tog folk deres målebånd
  • 2:57 - 3:00
    frem og blev ved og ved med at måle cirklers omkreds og deres radier.
  • 3:00 - 3:03
    I starten var deres målebånd ikke så præcise.
  • 3:03 - 3:08
    Det målte måske, at omkredsen af cirklen var cirka 3.
  • 3:08 - 3:12
    Når de bagefter målte diameteren samme cirkel,
  • 3:12 - 3:16
    fandt de, at den var omtrent 1.
  • 3:16 - 3:18
    Lad os skrive det her ned.
  • 3:18 - 3:23
    Vi er interesseret i forholdet
  • 3:23 - 3:37
    mellem omkreds og diameteren.
  • 3:38 - 3:41
    Hvis vi har en en cirkel herovre.
  • 3:41 - 3:43
    Vi har en cirkel her.
  • 3:43 - 3:46
    I starten målte man ikke så præcist.
  • 3:46 - 3:50
    Man målte, at omkredsen cirka var lig med 3,
  • 3:50 - 3:55
    og at cirklens diameter cirka var lig med 1.
  • 3:55 - 3:56
    Det er interessant.
  • 3:56 - 3:58
    Forholdet mellem omkredsen og diameteren er tæt på 3.
  • 3:58 - 4:02
    Måske er omkredsen altid 3 gange diameteren.
  • 4:02 - 4:06
    På den tid målte man en masse cirkler for at finde ud af, om det gjaldt for alle cirkler.
  • 4:06 - 4:08
    Det kunne eksempelvis være den her, som er lidt mindre.
  • 4:08 - 4:11
    Lad os sige, at de målte omkring den cirkel og fandt ud af,
  • 4:11 - 4:15
    at omkredsen er omtrent 6 centimeter.
  • 4:15 - 4:18
    De havde jo et dårligt målebånd, så det var ikke helt præcist.
  • 4:18 - 4:23
    Derefter fandt de ud af, at diameteren var cirka 2 centimeter.
  • 4:24 - 4:30
    Igen var forholdet mellem omkreds og diameter cirka 3.
  • 4:30 - 4:32
    Det ligner et mønster.
  • 4:32 - 4:38
    Måske er forholdet mellem omkreds og diameter konstant for alle cirkler.
  • 4:38 - 4:40
    De undersøgte det derfor endnu mere.
  • 4:40 - 4:43
    Det var meget spændende.
  • 4:43 - 4:45
    Da de fik bedre målebånd, målte de,
  • 4:45 - 4:48
    at diameteren var præcis 1.
  • 4:48 - 4:49
    De var sikker på diameteren var 1,
  • 4:49 - 4:56
    men omkredsen var faktisk tættere på 3,1.
  • 4:56 - 4:57
    Det samme skete her.
  • 4:57 - 4:59
    De lagde mærke til, at dette forhold var tættere på 3,1.
  • 4:59 - 5:02
    De blev ved med at måle, og de blev bedre og bedre og bedre.
  • 5:02 - 5:08
    De målte mere og mere præcist og kom frem til, at forholdet var:
  • 5:08 - 5:11
    3,14159
  • 5:11 - 5:13
    De blev ved med at tilføje decimaler.
  • 5:13 - 5:14
    men decimalerne gentog sig aldrig.
  • 5:14 - 5:18
    Det var et mærkeligt fascinerende metafysisk tal som hele tiden dukkede op i andre sammenhænge.
  • 5:18 - 5:21
    Det tal er så grundlæggende for vores univers,
  • 5:21 - 5:24
    fordi cirklen er så grundlæggende for vores univers.
  • 5:24 - 5:27
    Tallet går igen i alle cirklen.
  • 5:27 - 5:29
    Forholdet mellem omkredsen af diameteren var lig med dette tal.
  • 5:29 - 5:32
    Tallet fik sit eget specielle navn.
  • 5:32 - 5:42
    Tallet blev kaldt det pi. Det staves "p" "i", men det skrives normalt med det græske bogstav pi sådan her.
  • 5:42 - 5:47
    Der bogstav repræsenterer dette tal, som nok er det mest fascinerende tal i vores univers.
  • 5:47 - 5:51
    Man opdagede det først som forholdet mellem omkreds og diameteren,
  • 5:51 - 5:56
    men som man vil lære på rejsen gennem matematikken,
  • 5:56 - 5:57
    indgår tallet mange forskellige steder.
  • 5:57 - 5:59
    Det er en af disse grundlæggende ting ved universet,
  • 5:59 - 6:02
    som får en til at tro, at der må være er en eller anden form for orden i universet.
  • 6:02 - 6:05
    Inden det bliver alt for filosofisk, så lad os se på,
  • 6:05 - 6:09
    hvordan vi kan bruge den her viden i vores grundlæggende matematik?
  • 6:09 - 6:16
    Nu ved vi,
  • 6:16 - 6:25
    hvis vi deler omkredsen med diamteren,
  • 6:25 - 6:28
    får vi tallet pi.
  • 6:28 - 6:30
    Pi er netop det her tal.
  • 6:30 - 6:34
    Vi kunne skrive 3,14159 og bare blive ved og ved og ved med at tilføje koordinater,
  • 6:34 - 6:36
    men det ville være spild af plads, og det ville være svært at regne med
  • 6:36 - 6:39
    så vi skriver det græske bogstav.
  • 6:39 - 6:40
    Det her bogstav.
  • 6:40 - 6:42
    Hvordan kan vi bruge det?
  • 6:42 - 6:45
    Vi kan gange begge sider af det her med diameteren,
  • 6:45 - 6:49
    og vi kan sige, at omkredsen er lig med
  • 6:49 - 6:51
    pi gange diameteren.
  • 6:51 - 6:56
    Vi kan også sige,
  • 6:56 - 7:00
    at omkredsen er lig med 2 gange pi gange radius.
  • 7:00 - 7:03
    Det skrives ofte som
  • 7:03 - 7:07
    2 pi r.
  • 7:07 - 7:11
    Lad os se, om vi kan anvende det til at løse nogle opgaver:
  • 7:11 - 7:17
    Lad os sige, at vi har en cirkel som den her.
  • 7:17 - 7:23
    Den har en radius på 3.
  • 7:23 - 7:29
    Radius er lig med 3.
  • 7:29 - 7:32
    Det er måske 3 meter, lad os sætte enheden m for meter på.
  • 7:32 - 7:35
    Hvad er omkredsen af cirklen?
  • 7:35 - 7:38
    Omkredsen er lig med 2 gange pi gange radius.
  • 7:38 - 7:42
    Det er lig med 2
  • 7:42 - 7:47
    gange 3 meter, som er lig med 6 meter, gange pi.
  • 7:47 - 7:50
    Det er 6 pi meter.
  • 7:50 - 7:52
    6 pi meter.
  • 7:52 - 7:54
    Nu kan vi gange det ud.
  • 7:54 - 7:56
    Husk pi er et tal.
  • 7:56 - 8:00
    Pi er 3,14159 med uendeligt mange decimaler.
  • 8:00 - 8:03
    Hvis vi ganger 6 med pi, får vi 18 komma
  • 8:03 - 8:06
    en masse decimaler.
  • 8:06 - 8:08
    Hvis man har sin lommeregner, kan man regne det,
  • 8:08 - 8:10
    men for at holde det her simpelt, skriver man som regel
  • 8:10 - 8:12
    svaret i enheder af pi.
  • 8:12 - 8:14
    Hvis man ganger 6 med 3,14159,
  • 8:14 - 8:19
    så må det give et tal mellem 18 og 19.
  • 8:19 - 8:22
    Det er 18 komma nogle decimaler.
  • 8:22 - 8:23
    Vi har ikke lige en lommeregner.
  • 8:23 - 8:25
    I stedet for at skrive decimaltallet,
  • 8:25 - 8:27
    kan vi skrive 6 pi.
  • 8:27 - 8:30
    I virkeligheden er svaret nok
  • 8:30 - 8:31
    lidt under 19.
  • 8:31 - 8:34
    Lad os stille et andet spørgsmål.
  • 8:34 - 8:38
    Hvad er diameteren af cirklen?
  • 8:39 - 8:43
    Hvis den her radius er 3, så er diameter to gange det.
  • 8:43 - 8:46
    Det er 3 gange 2 eller 3 plus 3,
  • 8:46 - 8:47
    som er lig med 6 meter.
  • 8:47 - 8:51
    Omkredsen er 6 pi meter, diameteren er 6 meter,
  • 8:51 - 8:54
    og radius er 3 meter.
  • 8:54 - 8:55
    Lad os prøve at regne den anden vej.
  • 8:55 - 9:01
    Antag, at vi har en anden cirkel.
  • 9:01 - 9:08
    Dens omkreds er lig med 10 meter.
  • 9:09 - 9:13
    Hvis man brugte et målebånd og gik rundt om den, ville man måle 10 meter.
  • 9:13 - 9:18
    Hvad er diameteren på cirklen?
  • 9:18 - 9:23
    Vi ved, at diameteren gange pi
  • 9:23 - 9:27
    er lig med omkredsen,
  • 9:27 - 9:29
    og omkredsen er 10 meter.
  • 9:29 - 9:32
    For at løse det her, skal vi dele begge sider i den her ligning med pi.
  • 9:33 - 9:36
    Diameteren er lig med 10 meter over pi
  • 9:36 - 9:39
    eller 10 over pi meter.
  • 9:39 - 9:40
    Det giver et tal.
  • 9:40 - 9:43
    Hvis man har sin lomme regner kan man dele 10 med 3,13159
  • 9:43 - 9:47
    og så vil man få 3 komma noget.
  • 9:48 - 9:49
    Det er svært at regne i hovedet.
  • 9:49 - 9:50
    Resultatet er dog et tal.
  • 9:50 - 9:53
    Af hensyn til overskueligheden vil man ofte skrive svaret på den her måde.
  • 9:53 - 9:55
    Hvad er radius så?
  • 9:55 - 9:59
    Radius er lig med en halvdelen af diameteren.
  • 9:59 - 10:03
    Diameteren er altså 10 over pi meter.
  • 10:03 - 10:06
    Hvis vi vil finde radius,
  • 10:06 - 10:08
    skal vi gange det med en halv.
  • 10:08 - 10:13
    Vi har altså en halv gange 10 over pi, som er lig med en halv gange 10.
  • 10:13 - 10:18
    Vi kan nu dele tælleren og nævneren med 2.
  • 10:18 - 10:21
    Vi får 5 over pi.
  • 10:21 - 10:24
    Radius er altså 5 over pi.
  • 10:24 - 10:26
    Det er ret let, når man har lavet nogle stykker af dem her.
  • 10:26 - 10:32
    Det er vigtigt at huske på, at pi er et tal.
  • 10:32 - 10:39
    Pi er 3,14159 og uendeligt mange decimaler.
  • 10:39 - 10:42
    Der er faktisk skrevet rigtig mange bøger om pi.
  • 10:42 - 10:45
    De kan være spændende at læse.
  • 10:45 - 10:48
    Det er dog vigtigt at huske,
  • 10:48 - 10:49
    at pi er et tal.
  • 10:49 - 10:54
    Det er et meget specielt tal.
  • 10:54 - 10:56
    Det kan dog skrives som et helt almindeligt tal.
  • 10:56 - 11:01
    Det er dog oftere lettere at skrive det som pi.
  • 11:01 - 11:02
    Nu kan man selv regne nogle eksempler med det her.
  • 11:02 - 11:05
    I den næste video vil vi finde ud af området i en cirkel.
Title:
Cirkler: Radius, Diameter og Omkreds
Description:

Forklaring af forholdene mellem radius, diameter og omkredsen af en cirkel og en introduktion til det fascinerende tal pi.

more » « less
Video Language:
English
Duration:
11:05

Danish subtitles

Revisions