-
Cirklen er nok den mest grundlæggende form i vores univers.
-
Den er der, når man ser på planetbanerne,
-
når man ser på hjulet, eller når man ser på former i den molekylære verden.
-
Cirklen bliver ved at med poppe op igen og igen.
-
Det er derfor værd at forstå nogle af cirklens egenskaber.
-
De første folk, som opdagede og studerede cirklen spurgte sig selv:
-
Hvilke egenskaber gælder for alle cirkler?
-
Noget af det første, de opdagede var, at en cirkel er alle de punkter,
-
der er lige langt fra punktet i midten af cirklen.
-
Alle disse punkter langs kanten er lige langt fra det centrum, dér.
-
En en af de første ting, man måske vil spørge sig selv om er derfor:
-
Hvad er så den afstand, hvor alle punkterne er lige langt fra centrum?
-
Dér.
-
Vi kalder den afstand for radius i cirklen.
-
Det er netop afstanden fra centrum og ud til kanten.
-
Hvis denne radius er 3 centimeter, så er denne radius også 3 centimeter.
-
Og denne radius er 3 centimeter.
-
Det vil aldrig ændres.
-
Per definition er en cirkel alle de punkter, der er lige langt fra midtpunktet.
-
Den afstand er radius.
-
Den næste interessante spørgsmål, som man kunne stille er:
-
Hvor stor er cirklen?
-
Hvor bred er cirklen ved det bredeste sted?
-
Hvis man vil klippe cirklen over, der hvor den er bredest,
-
hvad er så den afstand man skal klippe?
-
Det behøver ikke at være lige dér.
-
V kunne have lige så godt, have klippet langs det bredeste sted her.
-
Vi klipper ikke et sted som her,
-
fordi det ville ikke være det bredeste sted.
-
men der er mange steder, hvor man kunne klippe på det bredeste sted.
-
Vi har lige set på radius og vi kan nu se at det bredeste punkt går gennem centrum
-
og fortsætter lige over.
-
Det er altså to radier.
-
En radius her og en radius her.
-
Vi kalder afstanden langs det bredeste sted af cirklen for diameteren.
-
Det er cirklens diameter.
-
Den har en meget simpel relation til radius.
-
Diameter er lig med to gange radius.
-
Den næste meget interessante ting, som man muligvis
-
undrer sig over er: hvor langt er rundt om en cirkel?
-
Hvis vi skulle måle hele vejen omkring cirklen med et målebånd,
-
hvad ville så blive vores resultat?
-
Vi kalder det for omkredsen af cirklen.
-
Vi kender nu forholdet mellem diameter og radius,
-
men hvordan afhænger omkredsen af diameteren?
-
Det kan vi regne ud.
-
Man har fundet ud af, hvordan de her ting hænger sammen.
-
For mange tusind år siden tog folk deres målebånd
-
frem og blev ved og ved med at måle cirklers omkreds og deres radier.
-
I starten var deres målebånd ikke så præcise.
-
Det målte måske, at omkredsen af cirklen var cirka 3.
-
Når de bagefter målte diameteren samme cirkel,
-
fandt de, at den var omtrent 1.
-
Lad os skrive det her ned.
-
Vi er interesseret i forholdet
-
mellem omkreds og diameteren.
-
Hvis vi har en en cirkel herovre.
-
Vi har en cirkel her.
-
I starten målte man ikke så præcist.
-
Man målte, at omkredsen cirka var lig med 3,
-
og at cirklens diameter cirka var lig med 1.
-
Det er interessant.
-
Forholdet mellem omkredsen og diameteren er tæt på 3.
-
Måske er omkredsen altid 3 gange diameteren.
-
På den tid målte man en masse cirkler for at finde ud af, om det gjaldt for alle cirkler.
-
Det kunne eksempelvis være den her, som er lidt mindre.
-
Lad os sige, at de målte omkring den cirkel og fandt ud af,
-
at omkredsen er omtrent 6 centimeter.
-
De havde jo et dårligt målebånd, så det var ikke helt præcist.
-
Derefter fandt de ud af, at diameteren var cirka 2 centimeter.
-
Igen var forholdet mellem omkreds og diameter cirka 3.
-
Det ligner et mønster.
-
Måske er forholdet mellem omkreds og diameter konstant for alle cirkler.
-
De undersøgte det derfor endnu mere.
-
Det var meget spændende.
-
Da de fik bedre målebånd, målte de,
-
at diameteren var præcis 1.
-
De var sikker på diameteren var 1,
-
men omkredsen var faktisk tættere på 3,1.
-
Det samme skete her.
-
De lagde mærke til, at dette forhold var tættere på 3,1.
-
De blev ved med at måle, og de blev bedre og bedre og bedre.
-
De målte mere og mere præcist og kom frem til, at forholdet var:
-
3,14159
-
De blev ved med at tilføje decimaler.
-
men decimalerne gentog sig aldrig.
-
Det var et mærkeligt fascinerende metafysisk tal som hele tiden dukkede op i andre sammenhænge.
-
Det tal er så grundlæggende for vores univers,
-
fordi cirklen er så grundlæggende for vores univers.
-
Tallet går igen i alle cirklen.
-
Forholdet mellem omkredsen af diameteren var lig med dette tal.
-
Tallet fik sit eget specielle navn.
-
Tallet blev kaldt det pi. Det staves "p" "i", men det skrives normalt med det græske bogstav pi sådan her.
-
Der bogstav repræsenterer dette tal, som nok er det mest fascinerende tal i vores univers.
-
Man opdagede det først som forholdet mellem omkreds og diameteren,
-
men som man vil lære på rejsen gennem matematikken,
-
indgår tallet mange forskellige steder.
-
Det er en af disse grundlæggende ting ved universet,
-
som får en til at tro, at der må være er en eller anden form for orden i universet.
-
Inden det bliver alt for filosofisk, så lad os se på,
-
hvordan vi kan bruge den her viden i vores grundlæggende matematik?
-
Nu ved vi,
-
hvis vi deler omkredsen med diamteren,
-
får vi tallet pi.
-
Pi er netop det her tal.
-
Vi kunne skrive 3,14159 og bare blive ved og ved og ved med at tilføje koordinater,
-
men det ville være spild af plads, og det ville være svært at regne med
-
så vi skriver det græske bogstav.
-
Det her bogstav.
-
Hvordan kan vi bruge det?
-
Vi kan gange begge sider af det her med diameteren,
-
og vi kan sige, at omkredsen er lig med
-
pi gange diameteren.
-
Vi kan også sige,
-
at omkredsen er lig med 2 gange pi gange radius.
-
Det skrives ofte som
-
2 pi r.
-
Lad os se, om vi kan anvende det til at løse nogle opgaver:
-
Lad os sige, at vi har en cirkel som den her.
-
Den har en radius på 3.
-
Radius er lig med 3.
-
Det er måske 3 meter, lad os sætte enheden m for meter på.
-
Hvad er omkredsen af cirklen?
-
Omkredsen er lig med 2 gange pi gange radius.
-
Det er lig med 2
-
gange 3 meter, som er lig med 6 meter, gange pi.
-
Det er 6 pi meter.
-
6 pi meter.
-
Nu kan vi gange det ud.
-
Husk pi er et tal.
-
Pi er 3,14159 med uendeligt mange decimaler.
-
Hvis vi ganger 6 med pi, får vi 18 komma
-
en masse decimaler.
-
Hvis man har sin lommeregner, kan man regne det,
-
men for at holde det her simpelt, skriver man som regel
-
svaret i enheder af pi.
-
Hvis man ganger 6 med 3,14159,
-
så må det give et tal mellem 18 og 19.
-
Det er 18 komma nogle decimaler.
-
Vi har ikke lige en lommeregner.
-
I stedet for at skrive decimaltallet,
-
kan vi skrive 6 pi.
-
I virkeligheden er svaret nok
-
lidt under 19.
-
Lad os stille et andet spørgsmål.
-
Hvad er diameteren af cirklen?
-
Hvis den her radius er 3, så er diameter to gange det.
-
Det er 3 gange 2 eller 3 plus 3,
-
som er lig med 6 meter.
-
Omkredsen er 6 pi meter, diameteren er 6 meter,
-
og radius er 3 meter.
-
Lad os prøve at regne den anden vej.
-
Antag, at vi har en anden cirkel.
-
Dens omkreds er lig med 10 meter.
-
Hvis man brugte et målebånd og gik rundt om den, ville man måle 10 meter.
-
Hvad er diameteren på cirklen?
-
Vi ved, at diameteren gange pi
-
er lig med omkredsen,
-
og omkredsen er 10 meter.
-
For at løse det her, skal vi dele begge sider i den her ligning med pi.
-
Diameteren er lig med 10 meter over pi
-
eller 10 over pi meter.
-
Det giver et tal.
-
Hvis man har sin lomme regner kan man dele 10 med 3,13159
-
og så vil man få 3 komma noget.
-
Det er svært at regne i hovedet.
-
Resultatet er dog et tal.
-
Af hensyn til overskueligheden vil man ofte skrive svaret på den her måde.
-
Hvad er radius så?
-
Radius er lig med en halvdelen af diameteren.
-
Diameteren er altså 10 over pi meter.
-
Hvis vi vil finde radius,
-
skal vi gange det med en halv.
-
Vi har altså en halv gange 10 over pi, som er lig med en halv gange 10.
-
Vi kan nu dele tælleren og nævneren med 2.
-
Vi får 5 over pi.
-
Radius er altså 5 over pi.
-
Det er ret let, når man har lavet nogle stykker af dem her.
-
Det er vigtigt at huske på, at pi er et tal.
-
Pi er 3,14159 og uendeligt mange decimaler.
-
Der er faktisk skrevet rigtig mange bøger om pi.
-
De kan være spændende at læse.
-
Det er dog vigtigt at huske,
-
at pi er et tal.
-
Det er et meget specielt tal.
-
Det kan dog skrives som et helt almindeligt tal.
-
Det er dog oftere lettere at skrive det som pi.
-
Nu kan man selv regne nogle eksempler med det her.
-
I den næste video vil vi finde ud af området i en cirkel.