0:00:00.333,0:00:05.572
Cirklen er nok den mest grundlæggende form i vores univers.

0:00:05.572,0:00:08.690
Den er der, når man ser på planetbanerne,

0:00:08.690,0:00:12.724
når man ser på hjulet, eller når man ser på former i den molekylære verden.

0:00:12.840,0:00:17.244
Cirklen bliver ved at med poppe op igen og igen.

0:00:17.275,0:00:23.263
Det er derfor værd at forstå nogle af cirklens egenskaber.

0:00:23.330,0:00:28.907
De første folk, som opdagede og studerede cirklen spurgte sig selv:

0:00:28.960,0:00:32.831
Hvilke egenskaber gælder for alle cirkler?

0:00:32.910,0:00:37.672
Noget af det første, de opdagede var, at en cirkel er alle de punkter,

0:00:37.672,0:00:40.397
der er lige langt fra punktet i midten af cirklen.

0:00:40.440,0:00:45.125
Alle disse punkter langs kanten er lige langt fra det centrum, dér.

0:00:45.210,0:00:47.620
En en af de første ting, man måske vil spørge sig selv om er derfor:

0:00:47.620,0:00:51.633
Hvad er så den afstand, hvor alle punkterne er lige langt fra centrum?

0:00:51.770,0:00:52.950
Dér.

0:00:52.950,0:00:58.110
Vi kalder den afstand for radius i cirklen.

0:00:58.110,0:01:00.350
Det er netop afstanden fra centrum og ud til kanten.

0:01:00.350,0:01:04.420
Hvis denne radius er 3 centimeter, så er denne radius også 3 centimeter.

0:01:04.490,0:01:07.170
Og denne radius er 3 centimeter.

0:01:07.170,0:01:08.270
Det vil aldrig ændres.

0:01:08.270,0:01:13.336
Per definition er en cirkel alle de punkter, der er lige langt fra midtpunktet.

0:01:13.400,0:01:17.050
Den afstand er radius.

0:01:17.050,0:01:20.110
Den næste interessante spørgsmål, som man kunne stille er:

0:01:20.110,0:01:22.040
Hvor stor er cirklen?

0:01:22.040,0:01:26.360
Hvor bred er cirklen ved det bredeste sted?

0:01:26.360,0:01:28.386
Hvis man vil klippe cirklen over, der hvor den er bredest,

0:01:28.386,0:01:30.390
hvad er så den afstand man skal klippe?

0:01:30.390,0:01:32.016
Det behøver ikke at være lige dér.

0:01:32.016,0:01:35.490
V kunne have lige så godt, have klippet langs det bredeste sted her.

0:01:35.490,0:01:38.520
Vi klipper ikke et sted som her,

0:01:38.520,0:01:40.120
fordi det ville ikke være det bredeste sted.

0:01:40.120,0:01:43.379
men der er mange steder, hvor man kunne klippe på det bredeste sted.

0:01:43.480,0:01:48.145
Vi har lige set på radius og vi kan nu se at det bredeste punkt går gennem centrum

0:01:48.145,0:01:49.580
og fortsætter lige over.

0:01:49.580,0:01:52.920
Det er altså to radier.

0:01:52.920,0:01:57.163
En radius her og en radius her.

0:01:57.240,0:02:02.949
Vi kalder afstanden langs det bredeste sted af cirklen for diameteren.

0:02:03.030,0:02:06.390
Det er cirklens diameter.

0:02:06.390,0:02:09.260
Den har en meget simpel relation til radius.

0:02:09.260,0:02:18.970
Diameter er lig med to gange radius.

0:02:19.060,0:02:21.790
Den næste meget interessante ting, som man muligvis

0:02:21.790,0:02:24.560
undrer sig over er: hvor langt er rundt om en cirkel?

0:02:24.560,0:02:32.785
Hvis vi skulle måle hele vejen omkring cirklen med et målebånd,

0:02:32.785,0:02:35.910
hvad ville så blive vores resultat?

0:02:35.910,0:02:44.710
Vi kalder det for omkredsen af cirklen.

0:02:44.710,0:02:47.440
Vi kender nu forholdet mellem diameter og radius,

0:02:47.440,0:02:49.790
men hvordan afhænger omkredsen af diameteren?

0:02:49.790,0:02:51.550
Det kan vi regne ud.

0:02:51.550,0:02:54.290
Man har fundet ud af, hvordan de her ting hænger sammen.

0:02:54.290,0:02:57.130
For mange tusind år siden tog folk deres målebånd

0:02:57.130,0:03:00.274
frem og blev ved og ved med at måle cirklers omkreds og deres radier.

0:03:00.430,0:03:03.280
I starten var deres målebånd ikke så præcise.

0:03:03.280,0:03:07.902
Det målte måske, at omkredsen af cirklen var cirka 3.

0:03:07.960,0:03:11.600
Når de bagefter målte diameteren samme cirkel,

0:03:11.600,0:03:16.187
fandt de, at den var omtrent 1.

0:03:16.290,0:03:17.740
Lad os skrive det her ned.

0:03:17.740,0:03:22.550
Vi er interesseret i forholdet

0:03:22.660,0:03:37.462
mellem omkreds og diameteren.

0:03:37.560,0:03:40.900
Hvis vi har en en cirkel herovre.

0:03:40.900,0:03:43.170
Vi har en cirkel her.

0:03:43.170,0:03:45.880
I starten målte man ikke så præcist.

0:03:45.880,0:03:50.401
Man målte, at omkredsen cirka var lig med 3,

0:03:50.490,0:03:54.953
og at cirklens diameter cirka var lig med 1.

0:03:55.050,0:03:56.000
Det er interessant.

0:03:56.000,0:03:58.396
Forholdet mellem omkredsen og diameteren er tæt på 3.

0:03:58.500,0:04:01.927
Måske er omkredsen altid 3 gange diameteren.

0:04:02.020,0:04:05.579
På den tid målte man en masse cirkler for at finde ud af, om det gjaldt for alle cirkler.

0:04:05.720,0:04:07.870
Det kunne eksempelvis være den her, som er lidt mindre.

0:04:07.870,0:04:11.200
Lad os sige, at de målte omkring den cirkel og fandt ud af,

0:04:11.200,0:04:14.960
at omkredsen er omtrent 6 centimeter.

0:04:14.960,0:04:18.210
De havde jo et dårligt målebånd, så det var ikke helt præcist.

0:04:18.210,0:04:23.448
Derefter fandt de ud af, at diameteren var cirka 2 centimeter.

0:04:23.520,0:04:30.105
Igen var forholdet mellem omkreds og diameter cirka 3.

0:04:30.230,0:04:32.140
Det ligner et mønster.

0:04:32.140,0:04:37.983
Måske er forholdet mellem omkreds og diameter konstant for alle cirkler.

0:04:38.080,0:04:40.260
De undersøgte det derfor endnu mere.

0:04:40.260,0:04:42.510
Det var meget spændende.

0:04:42.510,0:04:45.090
Da de fik bedre målebånd, målte de,

0:04:45.090,0:04:47.630
at diameteren var præcis 1.

0:04:47.630,0:04:49.430
De var sikker på diameteren var 1,

0:04:49.430,0:04:55.871
men omkredsen var faktisk tættere på 3,1.

0:04:56.000,0:04:57.290
Det samme skete her.

0:04:57.290,0:04:59.370
De lagde mærke til, at dette forhold var tættere på 3,1.

0:04:59.370,0:05:01.830
De blev ved med at måle, og de blev bedre og bedre og bedre.

0:05:01.876,0:05:07.864
De målte mere og mere præcist og kom frem til, at forholdet var:

0:05:07.956,0:05:10.807
3,14159

0:05:10.807,0:05:12.550
De blev ved med at tilføje decimaler.

0:05:12.550,0:05:14.096
men decimalerne gentog sig aldrig.

0:05:14.096,0:05:18.193
Det var et mærkeligt fascinerende metafysisk tal som hele tiden dukkede op i andre sammenhænge.

0:05:18.300,0:05:20.940
Det tal er så grundlæggende for vores univers,

0:05:20.940,0:05:23.500
fordi cirklen er så grundlæggende for vores univers.

0:05:23.500,0:05:26.680
Tallet går igen i alle cirklen.

0:05:26.680,0:05:28.865
Forholdet mellem omkredsen af diameteren var lig med dette tal.

0:05:28.865,0:05:32.390
Tallet fik sit eget specielle navn.

0:05:32.390,0:05:41.810
Tallet blev kaldt det pi. Det staves "p" "i", men det skrives normalt med det græske bogstav pi sådan her.

0:05:41.880,0:05:46.705
Der bogstav repræsenterer dette tal, som nok er det mest fascinerende tal i vores univers.

0:05:46.790,0:05:51.383
Man opdagede det først som forholdet mellem omkreds og diameteren,

0:05:51.383,0:05:55.916
men som man vil lære på rejsen gennem matematikken,

0:05:55.916,0:05:57.160
indgår tallet mange forskellige steder.

0:05:57.160,0:05:59.130
Det er en af disse grundlæggende ting ved universet,

0:05:59.130,0:06:02.121
som får en til at tro, at der må være er en eller anden form for orden i universet.

0:06:02.121,0:06:05.180
Inden det bliver alt for filosofisk, så lad os se på,

0:06:05.180,0:06:09.330
hvordan vi kan bruge den her viden i vores grundlæggende matematik?

0:06:09.330,0:06:16.104
Nu ved vi,

0:06:16.104,0:06:25.172
hvis vi deler omkredsen med diamteren,

0:06:25.172,0:06:28.400
får vi tallet pi.

0:06:28.400,0:06:29.500
Pi er netop det her tal.

0:06:29.500,0:06:33.570
Vi kunne skrive 3,14159 og bare blive ved og ved og ved med at tilføje koordinater,

0:06:33.570,0:06:35.950
men det ville være spild af plads, og det ville være svært at regne med

0:06:35.950,0:06:38.570
så vi skriver det græske bogstav.

0:06:38.570,0:06:40.330
Det her bogstav.

0:06:40.330,0:06:41.850
Hvordan kan vi bruge det?

0:06:41.850,0:06:44.920
Vi kan gange begge sider af det her med diameteren,

0:06:44.920,0:06:48.640
og vi kan sige, at omkredsen er lig med

0:06:48.640,0:06:50.820
pi gange diameteren.

0:06:50.820,0:06:55.570
Vi kan også sige,

0:06:55.570,0:07:00.266
at omkredsen er lig med 2 gange pi gange radius.

0:07:00.360,0:07:03.450
Det skrives ofte som

0:07:03.450,0:07:07.360
2 pi r.

0:07:07.360,0:07:11.220
Lad os se, om vi kan anvende det til at løse nogle opgaver:

0:07:11.220,0:07:17.240
Lad os sige, at vi har en cirkel som den her.

0:07:17.240,0:07:22.600
Den har en radius på 3.

0:07:22.600,0:07:28.820
Radius er lig med 3.

0:07:28.820,0:07:32.310
Det er måske 3 meter, lad os sætte enheden m for meter på.

0:07:32.310,0:07:34.660
Hvad er omkredsen af cirklen?

0:07:34.660,0:07:38.180
Omkredsen er lig med 2 gange pi gange radius.

0:07:38.180,0:07:42.090
Det er lig med 2

0:07:42.090,0:07:47.280
gange 3 meter, som er lig med 6 meter, gange pi.

0:07:47.280,0:07:49.520
Det er 6 pi meter.

0:07:49.520,0:07:52.430
6 pi meter.

0:07:52.430,0:07:53.740
Nu kan vi gange det ud.

0:07:53.740,0:07:55.900
Husk pi er et tal.

0:07:55.900,0:07:59.680
Pi er 3,14159 med uendeligt mange decimaler.

0:07:59.680,0:08:03.460
Hvis vi ganger 6 med pi, får vi 18 komma

0:08:03.460,0:08:05.600
en masse decimaler.

0:08:05.600,0:08:07.850
Hvis man har sin lommeregner, kan man regne det,

0:08:07.850,0:08:10.490
men for at holde det her simpelt, skriver man som regel

0:08:10.490,0:08:12.120
svaret i enheder af pi.

0:08:12.120,0:08:14.020
Hvis man ganger 6 med 3,14159,

0:08:14.020,0:08:18.510
så må det give et tal mellem 18 og 19.

0:08:18.510,0:08:21.648
Det er 18 komma nogle decimaler.

0:08:21.720,0:08:23.450
Vi har ikke lige en lommeregner.

0:08:23.450,0:08:25.300
I stedet for at skrive decimaltallet,

0:08:25.300,0:08:27.060
kan vi skrive 6 pi.

0:08:27.060,0:08:29.770
I virkeligheden er svaret nok

0:08:29.770,0:08:31.430
lidt under 19.

0:08:31.430,0:08:33.770
Lad os stille et andet spørgsmål.

0:08:33.770,0:08:38.454
Hvad er diameteren af cirklen?

0:08:38.580,0:08:42.690
Hvis den her radius er 3, så er diameter to gange det.

0:08:42.690,0:08:45.730
Det er 3 gange 2 eller 3 plus 3,

0:08:45.730,0:08:47.170
som er lig med 6 meter.

0:08:47.170,0:08:50.750
Omkredsen er 6 pi meter, diameteren er 6 meter,

0:08:50.750,0:08:53.620
og radius er 3 meter.

0:08:53.620,0:08:55.110
Lad os prøve at regne den anden vej.

0:08:55.110,0:09:01.171
Antag, at vi har en anden cirkel.

0:09:01.220,0:09:08.466
Dens omkreds er lig med 10 meter.

0:09:08.560,0:09:12.990
Hvis man brugte et målebånd og gik rundt om den, ville man måle 10 meter.

0:09:12.990,0:09:18.370
Hvad er diameteren på cirklen?

0:09:18.370,0:09:22.810
Vi ved, at diameteren gange pi

0:09:22.810,0:09:26.830
er lig med omkredsen,

0:09:26.830,0:09:28.700
og omkredsen er 10 meter.

0:09:28.700,0:09:32.466
For at løse det her, skal vi dele begge sider i den her ligning med pi.

0:09:32.520,0:09:35.860
Diameteren er lig med 10 meter over pi

0:09:35.860,0:09:38.710
eller 10 over pi meter.

0:09:38.710,0:09:40.020
Det giver et tal.

0:09:40.020,0:09:42.540
Hvis man har sin lomme regner kan man dele 10 med 3,13159

0:09:42.540,0:09:47.445
og så vil man få 3 komma noget.

0:09:47.500,0:09:48.960
Det er svært at regne i hovedet.

0:09:48.960,0:09:50.070
Resultatet er dog et tal.

0:09:50.070,0:09:53.320
Af hensyn til overskueligheden vil man ofte skrive svaret på den her måde.

0:09:53.320,0:09:55.270
Hvad er radius så?

0:09:55.270,0:09:58.590
Radius er lig med en halvdelen af diameteren.

0:09:58.590,0:10:02.870
Diameteren er altså 10 over pi meter.

0:10:02.870,0:10:06.230
Hvis vi vil finde radius,

0:10:06.230,0:10:07.580
skal vi gange det med en halv.

0:10:07.580,0:10:13.160
Vi har altså en halv gange 10 over pi, som er lig med en halv gange 10.

0:10:13.160,0:10:18.031
Vi kan nu dele tælleren og nævneren med 2.

0:10:18.140,0:10:21.130
Vi får 5 over pi.

0:10:21.130,0:10:23.890
Radius er altså 5 over pi.

0:10:23.890,0:10:25.690
Det er ret let, når man har lavet nogle stykker af dem her.

0:10:25.690,0:10:31.760
Det er vigtigt at huske på, at pi er et tal.

0:10:31.820,0:10:38.640
Pi er 3,14159 og uendeligt mange decimaler.

0:10:38.640,0:10:41.950
Der er faktisk skrevet rigtig mange bøger om pi.

0:10:41.950,0:10:45.100
De kan være spændende at læse.

0:10:45.100,0:10:48.340
Det er dog vigtigt at huske,

0:10:48.340,0:10:49.340
at pi er et tal.

0:10:49.340,0:10:54.372
Det er et meget specielt tal.

0:10:54.372,0:10:55.636
Det kan dog skrives som et helt almindeligt tal.

0:10:55.680,0:11:00.530
Det er dog oftere lettere at skrive det som pi.

0:11:00.640,0:11:01.680
Nu kan man selv regne nogle eksempler med det her.

0:11:01.680,0:11:04.843
I den næste video vil vi finde ud af området i en cirkel.