WEBVTT 00:00:00.333 --> 00:00:05.572 Cirklen er nok den mest grundlæggende form i vores univers. 00:00:05.572 --> 00:00:08.690 Den er der, når man ser på planetbanerne, 00:00:08.690 --> 00:00:12.724 når man ser på hjulet, eller når man ser på former i den molekylære verden. 00:00:12.840 --> 00:00:17.244 Cirklen bliver ved at med poppe op igen og igen. 00:00:17.275 --> 00:00:23.263 Det er derfor værd at forstå nogle af cirklens egenskaber. 00:00:23.330 --> 00:00:28.907 De første folk, som opdagede og studerede cirklen spurgte sig selv: 00:00:28.960 --> 00:00:32.831 Hvilke egenskaber gælder for alle cirkler? 00:00:32.910 --> 00:00:37.672 Noget af det første, de opdagede var, at en cirkel er alle de punkter, 00:00:37.672 --> 00:00:40.397 der er lige langt fra punktet i midten af cirklen. 00:00:40.440 --> 00:00:45.125 Alle disse punkter langs kanten er lige langt fra det centrum, dér. 00:00:45.210 --> 00:00:47.620 En en af de første ting, man måske vil spørge sig selv om er derfor: 00:00:47.620 --> 00:00:51.633 Hvad er så den afstand, hvor alle punkterne er lige langt fra centrum? 00:00:51.770 --> 00:00:52.950 Dér. 00:00:52.950 --> 00:00:58.110 Vi kalder den afstand for radius i cirklen. 00:00:58.110 --> 00:01:00.350 Det er netop afstanden fra centrum og ud til kanten. 00:01:00.350 --> 00:01:04.420 Hvis denne radius er 3 centimeter, så er denne radius også 3 centimeter. 00:01:04.490 --> 00:01:07.170 Og denne radius er 3 centimeter. 00:01:07.170 --> 00:01:08.270 Det vil aldrig ændres. 00:01:08.270 --> 00:01:13.336 Per definition er en cirkel alle de punkter, der er lige langt fra midtpunktet. 00:01:13.400 --> 00:01:17.050 Den afstand er radius. 00:01:17.050 --> 00:01:20.110 Den næste interessante spørgsmål, som man kunne stille er: 00:01:20.110 --> 00:01:22.040 Hvor stor er cirklen? 00:01:22.040 --> 00:01:26.360 Hvor bred er cirklen ved det bredeste sted? 00:01:26.360 --> 00:01:28.386 Hvis man vil klippe cirklen over, der hvor den er bredest, 00:01:28.386 --> 00:01:30.390 hvad er så den afstand man skal klippe? 00:01:30.390 --> 00:01:32.016 Det behøver ikke at være lige dér. 00:01:32.016 --> 00:01:35.490 V kunne have lige så godt, have klippet langs det bredeste sted her. 00:01:35.490 --> 00:01:38.520 Vi klipper ikke et sted som her, 00:01:38.520 --> 00:01:40.120 fordi det ville ikke være det bredeste sted. 00:01:40.120 --> 00:01:43.379 men der er mange steder, hvor man kunne klippe på det bredeste sted. 00:01:43.480 --> 00:01:48.145 Vi har lige set på radius og vi kan nu se at det bredeste punkt går gennem centrum 00:01:48.145 --> 00:01:49.580 og fortsætter lige over. 00:01:49.580 --> 00:01:52.920 Det er altså to radier. 00:01:52.920 --> 00:01:57.163 En radius her og en radius her. 00:01:57.240 --> 00:02:02.949 Vi kalder afstanden langs det bredeste sted af cirklen for diameteren. 00:02:03.030 --> 00:02:06.390 Det er cirklens diameter. 00:02:06.390 --> 00:02:09.260 Den har en meget simpel relation til radius. 00:02:09.260 --> 00:02:18.970 Diameter er lig med to gange radius. 00:02:19.060 --> 00:02:21.790 Den næste meget interessante ting, som man muligvis 00:02:21.790 --> 00:02:24.560 undrer sig over er: hvor langt er rundt om en cirkel? 00:02:24.560 --> 00:02:32.785 Hvis vi skulle måle hele vejen omkring cirklen med et målebånd, 00:02:32.785 --> 00:02:35.910 hvad ville så blive vores resultat? 00:02:35.910 --> 00:02:44.710 Vi kalder det for omkredsen af cirklen. 00:02:44.710 --> 00:02:47.440 Vi kender nu forholdet mellem diameter og radius, 00:02:47.440 --> 00:02:49.790 men hvordan afhænger omkredsen af diameteren? 00:02:49.790 --> 00:02:51.550 Det kan vi regne ud. 00:02:51.550 --> 00:02:54.290 Man har fundet ud af, hvordan de her ting hænger sammen. 00:02:54.290 --> 00:02:57.130 For mange tusind år siden tog folk deres målebånd 00:02:57.130 --> 00:03:00.274 frem og blev ved og ved med at måle cirklers omkreds og deres radier. 00:03:00.430 --> 00:03:03.280 I starten var deres målebånd ikke så præcise. 00:03:03.280 --> 00:03:07.902 Det målte måske, at omkredsen af cirklen var cirka 3. 00:03:07.960 --> 00:03:11.600 Når de bagefter målte diameteren samme cirkel, 00:03:11.600 --> 00:03:16.187 fandt de, at den var omtrent 1. 00:03:16.290 --> 00:03:17.740 Lad os skrive det her ned. 00:03:17.740 --> 00:03:22.550 Vi er interesseret i forholdet 00:03:22.660 --> 00:03:37.462 mellem omkreds og diameteren. 00:03:37.560 --> 00:03:40.900 Hvis vi har en en cirkel herovre. 00:03:40.900 --> 00:03:43.170 Vi har en cirkel her. 00:03:43.170 --> 00:03:45.880 I starten målte man ikke så præcist. 00:03:45.880 --> 00:03:50.401 Man målte, at omkredsen cirka var lig med 3, 00:03:50.490 --> 00:03:54.953 og at cirklens diameter cirka var lig med 1. 00:03:55.050 --> 00:03:56.000 Det er interessant. 00:03:56.000 --> 00:03:58.396 Forholdet mellem omkredsen og diameteren er tæt på 3. 00:03:58.500 --> 00:04:01.927 Måske er omkredsen altid 3 gange diameteren. 00:04:02.020 --> 00:04:05.579 På den tid målte man en masse cirkler for at finde ud af, om det gjaldt for alle cirkler. 00:04:05.720 --> 00:04:07.870 Det kunne eksempelvis være den her, som er lidt mindre. 00:04:07.870 --> 00:04:11.200 Lad os sige, at de målte omkring den cirkel og fandt ud af, 00:04:11.200 --> 00:04:14.960 at omkredsen er omtrent 6 centimeter. 00:04:14.960 --> 00:04:18.210 De havde jo et dårligt målebånd, så det var ikke helt præcist. 00:04:18.210 --> 00:04:23.448 Derefter fandt de ud af, at diameteren var cirka 2 centimeter. 00:04:23.520 --> 00:04:30.105 Igen var forholdet mellem omkreds og diameter cirka 3. 00:04:30.230 --> 00:04:32.140 Det ligner et mønster. 00:04:32.140 --> 00:04:37.983 Måske er forholdet mellem omkreds og diameter konstant for alle cirkler. 00:04:38.080 --> 00:04:40.260 De undersøgte det derfor endnu mere. 00:04:40.260 --> 00:04:42.510 Det var meget spændende. 00:04:42.510 --> 00:04:45.090 Da de fik bedre målebånd, målte de, 00:04:45.090 --> 00:04:47.630 at diameteren var præcis 1. 00:04:47.630 --> 00:04:49.430 De var sikker på diameteren var 1, 00:04:49.430 --> 00:04:55.871 men omkredsen var faktisk tættere på 3,1. 00:04:56.000 --> 00:04:57.290 Det samme skete her. 00:04:57.290 --> 00:04:59.370 De lagde mærke til, at dette forhold var tættere på 3,1. 00:04:59.370 --> 00:05:01.830 De blev ved med at måle, og de blev bedre og bedre og bedre. 00:05:01.876 --> 00:05:07.864 De målte mere og mere præcist og kom frem til, at forholdet var: 00:05:07.956 --> 00:05:10.807 3,14159 00:05:10.807 --> 00:05:12.550 De blev ved med at tilføje decimaler. 00:05:12.550 --> 00:05:14.096 men decimalerne gentog sig aldrig. 00:05:14.096 --> 00:05:18.193 Det var et mærkeligt fascinerende metafysisk tal som hele tiden dukkede op i andre sammenhænge. 00:05:18.300 --> 00:05:20.940 Det tal er så grundlæggende for vores univers, 00:05:20.940 --> 00:05:23.500 fordi cirklen er så grundlæggende for vores univers. 00:05:23.500 --> 00:05:26.680 Tallet går igen i alle cirklen. 00:05:26.680 --> 00:05:28.865 Forholdet mellem omkredsen af diameteren var lig med dette tal. 00:05:28.865 --> 00:05:32.390 Tallet fik sit eget specielle navn. 00:05:32.390 --> 00:05:41.810 Tallet blev kaldt det pi. Det staves "p" "i", men det skrives normalt med det græske bogstav pi sådan her. 00:05:41.880 --> 00:05:46.705 Der bogstav repræsenterer dette tal, som nok er det mest fascinerende tal i vores univers. 00:05:46.790 --> 00:05:51.383 Man opdagede det først som forholdet mellem omkreds og diameteren, 00:05:51.383 --> 00:05:55.916 men som man vil lære på rejsen gennem matematikken, 00:05:55.916 --> 00:05:57.160 indgår tallet mange forskellige steder. NOTE Paragraph 00:05:57.160 --> 00:05:59.130 Det er en af disse grundlæggende ting ved universet, 00:05:59.130 --> 00:06:02.121 som får en til at tro, at der må være er en eller anden form for orden i universet. 00:06:02.121 --> 00:06:05.180 Inden det bliver alt for filosofisk, så lad os se på, 00:06:05.180 --> 00:06:09.330 hvordan vi kan bruge den her viden i vores grundlæggende matematik? 00:06:09.330 --> 00:06:16.104 Nu ved vi, 00:06:16.104 --> 00:06:25.172 hvis vi deler omkredsen med diamteren, 00:06:25.172 --> 00:06:28.400 får vi tallet pi. 00:06:28.400 --> 00:06:29.500 Pi er netop det her tal. 00:06:29.500 --> 00:06:33.570 Vi kunne skrive 3,14159 og bare blive ved og ved og ved med at tilføje koordinater, 00:06:33.570 --> 00:06:35.950 men det ville være spild af plads, og det ville være svært at regne med 00:06:35.950 --> 00:06:38.570 så vi skriver det græske bogstav. 00:06:38.570 --> 00:06:40.330 Det her bogstav. 00:06:40.330 --> 00:06:41.850 Hvordan kan vi bruge det? 00:06:41.850 --> 00:06:44.920 Vi kan gange begge sider af det her med diameteren, 00:06:44.920 --> 00:06:48.640 og vi kan sige, at omkredsen er lig med 00:06:48.640 --> 00:06:50.820 pi gange diameteren. 00:06:50.820 --> 00:06:55.570 Vi kan også sige, 00:06:55.570 --> 00:07:00.266 at omkredsen er lig med 2 gange pi gange radius. 00:07:00.360 --> 00:07:03.450 Det skrives ofte som 00:07:03.450 --> 00:07:07.360 2 pi r. 00:07:07.360 --> 00:07:11.220 Lad os se, om vi kan anvende det til at løse nogle opgaver: 00:07:11.220 --> 00:07:17.240 Lad os sige, at vi har en cirkel som den her. 00:07:17.240 --> 00:07:22.600 Den har en radius på 3. 00:07:22.600 --> 00:07:28.820 Radius er lig med 3. 00:07:28.820 --> 00:07:32.310 Det er måske 3 meter, lad os sætte enheden m for meter på. 00:07:32.310 --> 00:07:34.660 Hvad er omkredsen af cirklen? 00:07:34.660 --> 00:07:38.180 Omkredsen er lig med 2 gange pi gange radius. 00:07:38.180 --> 00:07:42.090 Det er lig med 2 00:07:42.090 --> 00:07:47.280 gange 3 meter, som er lig med 6 meter, gange pi. 00:07:47.280 --> 00:07:49.520 Det er 6 pi meter. 00:07:49.520 --> 00:07:52.430 6 pi meter. 00:07:52.430 --> 00:07:53.740 Nu kan vi gange det ud. 00:07:53.740 --> 00:07:55.900 Husk pi er et tal. 00:07:55.900 --> 00:07:59.680 Pi er 3,14159 med uendeligt mange decimaler. 00:07:59.680 --> 00:08:03.460 Hvis vi ganger 6 med pi, får vi 18 komma 00:08:03.460 --> 00:08:05.600 en masse decimaler. 00:08:05.600 --> 00:08:07.850 Hvis man har sin lommeregner, kan man regne det, 00:08:07.850 --> 00:08:10.490 men for at holde det her simpelt, skriver man som regel 00:08:10.490 --> 00:08:12.120 svaret i enheder af pi. 00:08:12.120 --> 00:08:14.020 Hvis man ganger 6 med 3,14159, 00:08:14.020 --> 00:08:18.510 så må det give et tal mellem 18 og 19. 00:08:18.510 --> 00:08:21.648 Det er 18 komma nogle decimaler. 00:08:21.720 --> 00:08:23.450 Vi har ikke lige en lommeregner. 00:08:23.450 --> 00:08:25.300 I stedet for at skrive decimaltallet, 00:08:25.300 --> 00:08:27.060 kan vi skrive 6 pi. 00:08:27.060 --> 00:08:29.770 I virkeligheden er svaret nok 00:08:29.770 --> 00:08:31.430 lidt under 19. NOTE Paragraph 00:08:31.430 --> 00:08:33.770 Lad os stille et andet spørgsmål. 00:08:33.770 --> 00:08:38.454 Hvad er diameteren af cirklen? 00:08:38.580 --> 00:08:42.690 Hvis den her radius er 3, så er diameter to gange det. 00:08:42.690 --> 00:08:45.730 Det er 3 gange 2 eller 3 plus 3, 00:08:45.730 --> 00:08:47.170 som er lig med 6 meter. 00:08:47.170 --> 00:08:50.750 Omkredsen er 6 pi meter, diameteren er 6 meter, 00:08:50.750 --> 00:08:53.620 og radius er 3 meter. 00:08:53.620 --> 00:08:55.110 Lad os prøve at regne den anden vej. 00:08:55.110 --> 00:09:01.171 Antag, at vi har en anden cirkel. 00:09:01.220 --> 00:09:08.466 Dens omkreds er lig med 10 meter. 00:09:08.560 --> 00:09:12.990 Hvis man brugte et målebånd og gik rundt om den, ville man måle 10 meter. 00:09:12.990 --> 00:09:18.370 Hvad er diameteren på cirklen? 00:09:18.370 --> 00:09:22.810 Vi ved, at diameteren gange pi 00:09:22.810 --> 00:09:26.830 er lig med omkredsen, 00:09:26.830 --> 00:09:28.700 og omkredsen er 10 meter. 00:09:28.700 --> 00:09:32.466 For at løse det her, skal vi dele begge sider i den her ligning med pi. 00:09:32.520 --> 00:09:35.860 Diameteren er lig med 10 meter over pi 00:09:35.860 --> 00:09:38.710 eller 10 over pi meter. 00:09:38.710 --> 00:09:40.020 Det giver et tal. 00:09:40.020 --> 00:09:42.540 Hvis man har sin lomme regner kan man dele 10 med 3,13159 00:09:42.540 --> 00:09:47.445 og så vil man få 3 komma noget. 00:09:47.500 --> 00:09:48.960 Det er svært at regne i hovedet. 00:09:48.960 --> 00:09:50.070 Resultatet er dog et tal. NOTE Paragraph 00:09:50.070 --> 00:09:53.320 Af hensyn til overskueligheden vil man ofte skrive svaret på den her måde. 00:09:53.320 --> 00:09:55.270 Hvad er radius så? 00:09:55.270 --> 00:09:58.590 Radius er lig med en halvdelen af diameteren. 00:09:58.590 --> 00:10:02.870 Diameteren er altså 10 over pi meter. 00:10:02.870 --> 00:10:06.230 Hvis vi vil finde radius, 00:10:06.230 --> 00:10:07.580 skal vi gange det med en halv. 00:10:07.580 --> 00:10:13.160 Vi har altså en halv gange 10 over pi, som er lig med en halv gange 10. 00:10:13.160 --> 00:10:18.031 Vi kan nu dele tælleren og nævneren med 2. 00:10:18.140 --> 00:10:21.130 Vi får 5 over pi. 00:10:21.130 --> 00:10:23.890 Radius er altså 5 over pi. 00:10:23.890 --> 00:10:25.690 Det er ret let, når man har lavet nogle stykker af dem her. 00:10:25.690 --> 00:10:31.760 Det er vigtigt at huske på, at pi er et tal. 00:10:31.820 --> 00:10:38.640 Pi er 3,14159 og uendeligt mange decimaler. 00:10:38.640 --> 00:10:41.950 Der er faktisk skrevet rigtig mange bøger om pi. 00:10:41.950 --> 00:10:45.100 De kan være spændende at læse. 00:10:45.100 --> 00:10:48.340 Det er dog vigtigt at huske, 00:10:48.340 --> 00:10:49.340 at pi er et tal. 00:10:49.340 --> 00:10:54.372 Det er et meget specielt tal. 00:10:54.372 --> 00:10:55.636 Det kan dog skrives som et helt almindeligt tal. 00:10:55.680 --> 00:11:00.530 Det er dog oftere lettere at skrive det som pi. 00:11:00.640 --> 00:11:01.680 Nu kan man selv regne nogle eksempler med det her. 00:11:01.680 --> 00:11:04.843 I den næste video vil vi finde ud af området i en cirkel.