1
00:00:00,333 --> 00:00:05,572
Cirklen er nok den mest grundlæggende form i vores univers.

2
00:00:05,572 --> 00:00:08,690
Den er der, når man ser på planetbanerne,

3
00:00:08,690 --> 00:00:12,724
når man ser på hjulet, eller når man ser på former i den molekylære verden.

4
00:00:12,840 --> 00:00:17,244
Cirklen bliver ved at med poppe op igen og igen.

5
00:00:17,275 --> 00:00:23,263
Det er derfor værd at forstå nogle af cirklens egenskaber.

6
00:00:23,330 --> 00:00:28,907
De første folk, som opdagede og studerede cirklen spurgte sig selv:

7
00:00:28,960 --> 00:00:32,831
Hvilke egenskaber gælder for alle cirkler?

8
00:00:32,910 --> 00:00:37,672
Noget af det første, de opdagede var, at en cirkel er alle de punkter,

9
00:00:37,672 --> 00:00:40,397
der er lige langt fra punktet i midten af cirklen.

10
00:00:40,440 --> 00:00:45,125
Alle disse punkter langs kanten er lige langt fra det centrum, dér.

11
00:00:45,210 --> 00:00:47,620
En en af de første ting, man måske vil spørge sig selv om er derfor:

12
00:00:47,620 --> 00:00:51,633
Hvad er så den afstand, hvor alle punkterne er lige langt fra centrum?

13
00:00:51,770 --> 00:00:52,950
Dér.

14
00:00:52,950 --> 00:00:58,110
Vi kalder den afstand for radius i cirklen.

15
00:00:58,110 --> 00:01:00,350
Det er netop afstanden fra centrum og ud til kanten.

16
00:01:00,350 --> 00:01:04,420
Hvis denne radius er 3 centimeter, så er denne radius også 3 centimeter.

17
00:01:04,490 --> 00:01:07,170
Og denne radius er 3 centimeter.

18
00:01:07,170 --> 00:01:08,270
Det vil aldrig ændres.

19
00:01:08,270 --> 00:01:13,336
Per definition er en cirkel alle de punkter, der er lige langt fra midtpunktet.

20
00:01:13,400 --> 00:01:17,050
Den afstand er radius.

21
00:01:17,050 --> 00:01:20,110
Den næste interessante spørgsmål, som man kunne stille er:

22
00:01:20,110 --> 00:01:22,040
Hvor stor er cirklen?

23
00:01:22,040 --> 00:01:26,360
Hvor bred er cirklen ved det bredeste sted?

24
00:01:26,360 --> 00:01:28,386
Hvis man vil klippe cirklen over, der hvor den er bredest,

25
00:01:28,386 --> 00:01:30,390
hvad er så den afstand man skal klippe?

26
00:01:30,390 --> 00:01:32,016
Det behøver ikke at være lige dér.

27
00:01:32,016 --> 00:01:35,490
V kunne have lige så godt, have klippet langs det bredeste sted her.

28
00:01:35,490 --> 00:01:38,520
Vi klipper ikke et sted som her,

29
00:01:38,520 --> 00:01:40,120
fordi det ville ikke være det bredeste sted.

30
00:01:40,120 --> 00:01:43,379
men der er mange steder, hvor man kunne klippe på det bredeste sted.

31
00:01:43,480 --> 00:01:48,145
Vi har lige set på radius og vi kan nu se at det bredeste punkt går gennem centrum

32
00:01:48,145 --> 00:01:49,580
og fortsætter lige over.

33
00:01:49,580 --> 00:01:52,920
Det er altså to radier.

34
00:01:52,920 --> 00:01:57,163
En radius her og en radius her.

35
00:01:57,240 --> 00:02:02,949
Vi kalder afstanden langs det bredeste sted af cirklen for diameteren.

36
00:02:03,030 --> 00:02:06,390
Det er cirklens diameter.

37
00:02:06,390 --> 00:02:09,260
Den har en meget simpel relation til radius.

38
00:02:09,260 --> 00:02:18,970
Diameter er lig med to gange radius.

39
00:02:19,060 --> 00:02:21,790
Den næste meget interessante ting, som man muligvis

40
00:02:21,790 --> 00:02:24,560
undrer sig over er: hvor langt er rundt om en cirkel?

41
00:02:24,560 --> 00:02:32,785
Hvis vi skulle måle hele vejen omkring cirklen med et målebånd,

42
00:02:32,785 --> 00:02:35,910
hvad ville så blive vores resultat?

43
00:02:35,910 --> 00:02:44,710
Vi kalder det for omkredsen af cirklen.

44
00:02:44,710 --> 00:02:47,440
Vi kender nu forholdet mellem diameter og radius,

45
00:02:47,440 --> 00:02:49,790
men hvordan afhænger omkredsen af diameteren?

46
00:02:49,790 --> 00:02:51,550
Det kan vi regne ud.

47
00:02:51,550 --> 00:02:54,290
Man har fundet ud af, hvordan de her ting hænger sammen.

48
00:02:54,290 --> 00:02:57,130
For mange tusind år siden tog folk deres målebånd

49
00:02:57,130 --> 00:03:00,274
frem og blev ved og ved med at måle cirklers omkreds og deres radier.

50
00:03:00,430 --> 00:03:03,280
I starten var deres målebånd ikke så præcise.

51
00:03:03,280 --> 00:03:07,902
Det målte måske, at omkredsen af cirklen var cirka 3.

52
00:03:07,960 --> 00:03:11,600
Når de bagefter målte diameteren samme cirkel,

53
00:03:11,600 --> 00:03:16,187
fandt de, at den var omtrent 1.

54
00:03:16,290 --> 00:03:17,740
Lad os skrive det her ned.

55
00:03:17,740 --> 00:03:22,550
Vi er interesseret i forholdet

56
00:03:22,660 --> 00:03:37,462
mellem omkreds og diameteren.

57
00:03:37,560 --> 00:03:40,900
Hvis vi har en en cirkel herovre.

58
00:03:40,900 --> 00:03:43,170
Vi har en cirkel her.

59
00:03:43,170 --> 00:03:45,880
I starten målte man ikke så præcist.

60
00:03:45,880 --> 00:03:50,401
Man målte, at omkredsen cirka var lig med 3,

61
00:03:50,490 --> 00:03:54,953
og at cirklens diameter cirka var lig med 1.

62
00:03:55,050 --> 00:03:56,000
Det er interessant.

63
00:03:56,000 --> 00:03:58,396
Forholdet mellem omkredsen og diameteren er tæt på 3.

64
00:03:58,500 --> 00:04:01,927
Måske er omkredsen altid 3 gange diameteren.

65
00:04:02,020 --> 00:04:05,579
På den tid målte man en masse cirkler for at finde ud af, om det gjaldt for alle cirkler.

66
00:04:05,720 --> 00:04:07,870
Det kunne eksempelvis være den her, som er lidt mindre.

67
00:04:07,870 --> 00:04:11,200
Lad os sige, at de målte omkring den cirkel og fandt ud af,

68
00:04:11,200 --> 00:04:14,960
at omkredsen er omtrent 6 centimeter.

69
00:04:14,960 --> 00:04:18,210
De havde jo et dårligt målebånd, så det var ikke helt præcist.

70
00:04:18,210 --> 00:04:23,448
Derefter fandt de ud af, at diameteren var cirka 2 centimeter.

71
00:04:23,520 --> 00:04:30,105
Igen var forholdet mellem omkreds og diameter cirka 3.

72
00:04:30,230 --> 00:04:32,140
Det ligner et mønster.

73
00:04:32,140 --> 00:04:37,983
Måske er forholdet mellem omkreds og diameter konstant for alle cirkler.

74
00:04:38,080 --> 00:04:40,260
De undersøgte det derfor endnu mere.

75
00:04:40,260 --> 00:04:42,510
Det var meget spændende.

76
00:04:42,510 --> 00:04:45,090
Da de fik bedre målebånd, målte de,

77
00:04:45,090 --> 00:04:47,630
at diameteren var præcis 1.

78
00:04:47,630 --> 00:04:49,430
De var sikker på diameteren var 1,

79
00:04:49,430 --> 00:04:55,871
men omkredsen var faktisk tættere på 3,1.

80
00:04:56,000 --> 00:04:57,290
Det samme skete her.

81
00:04:57,290 --> 00:04:59,370
De lagde mærke til, at dette forhold var tættere på 3,1.

82
00:04:59,370 --> 00:05:01,830
De blev ved med at måle, og de blev bedre og bedre og bedre.

83
00:05:01,876 --> 00:05:07,864
De målte mere og mere præcist og kom frem til, at forholdet var:

84
00:05:07,956 --> 00:05:10,807
3,14159

85
00:05:10,807 --> 00:05:12,550
De blev ved med at tilføje decimaler.

86
00:05:12,550 --> 00:05:14,096
men decimalerne gentog sig aldrig.

87
00:05:14,096 --> 00:05:18,193
Det var et mærkeligt fascinerende metafysisk tal som hele tiden dukkede op i andre sammenhænge.

88
00:05:18,300 --> 00:05:20,940
Det tal er så grundlæggende for vores univers,

89
00:05:20,940 --> 00:05:23,500
fordi cirklen er så grundlæggende for vores univers.

90
00:05:23,500 --> 00:05:26,680
Tallet går igen i alle cirklen.

91
00:05:26,680 --> 00:05:28,865
Forholdet mellem omkredsen af diameteren var lig med dette tal.

92
00:05:28,865 --> 00:05:32,390
Tallet fik sit eget specielle navn.

93
00:05:32,390 --> 00:05:41,810
Tallet blev kaldt det pi. Det staves "p" "i", men det skrives normalt med det græske bogstav pi sådan her.

94
00:05:41,880 --> 00:05:46,705
Der bogstav repræsenterer dette tal, som nok er det mest fascinerende tal i vores univers.

95
00:05:46,790 --> 00:05:51,383
Man opdagede det først som forholdet mellem omkreds og diameteren,

96
00:05:51,383 --> 00:05:55,916
men som man vil lære på rejsen gennem matematikken,

97
00:05:55,916 --> 00:05:57,160
indgår tallet mange forskellige steder.

98
00:05:57,160 --> 00:05:59,130
Det er en af disse grundlæggende ting ved universet,

99
00:05:59,130 --> 00:06:02,121
som får en til at tro, at der må være er en eller anden form for orden i universet.

100
00:06:02,121 --> 00:06:05,180
Inden det bliver alt for filosofisk, så lad os se på,

101
00:06:05,180 --> 00:06:09,330
hvordan vi kan bruge den her viden i vores grundlæggende matematik?

102
00:06:09,330 --> 00:06:16,104
Nu ved vi,

103
00:06:16,104 --> 00:06:25,172
hvis vi deler omkredsen med diamteren,

104
00:06:25,172 --> 00:06:28,400
får vi tallet pi.

105
00:06:28,400 --> 00:06:29,500
Pi er netop det her tal.

106
00:06:29,500 --> 00:06:33,570
Vi kunne skrive 3,14159 og bare blive ved og ved og ved med at tilføje koordinater,

107
00:06:33,570 --> 00:06:35,950
men det ville være spild af plads, og det ville være svært at regne med

108
00:06:35,950 --> 00:06:38,570
så vi skriver det græske bogstav.

109
00:06:38,570 --> 00:06:40,330
Det her bogstav.

110
00:06:40,330 --> 00:06:41,850
Hvordan kan vi bruge det?

111
00:06:41,850 --> 00:06:44,920
Vi kan gange begge sider af det her med diameteren,

112
00:06:44,920 --> 00:06:48,640
og vi kan sige, at omkredsen er lig med

113
00:06:48,640 --> 00:06:50,820
pi gange diameteren.

114
00:06:50,820 --> 00:06:55,570
Vi kan også sige,

115
00:06:55,570 --> 00:07:00,266
at omkredsen er lig med 2 gange pi gange radius.

116
00:07:00,360 --> 00:07:03,450
Det skrives ofte som

117
00:07:03,450 --> 00:07:07,360
2 pi r.

118
00:07:07,360 --> 00:07:11,220
Lad os se, om vi kan anvende det til at løse nogle opgaver:

119
00:07:11,220 --> 00:07:17,240
Lad os sige, at vi har en cirkel som den her.

120
00:07:17,240 --> 00:07:22,600
Den har en radius på 3.

121
00:07:22,600 --> 00:07:28,820
Radius er lig med 3.

122
00:07:28,820 --> 00:07:32,310
Det er måske 3 meter, lad os sætte enheden m for meter på.

123
00:07:32,310 --> 00:07:34,660
Hvad er omkredsen af cirklen?

124
00:07:34,660 --> 00:07:38,180
Omkredsen er lig med 2 gange pi gange radius.

125
00:07:38,180 --> 00:07:42,090
Det er lig med 2

126
00:07:42,090 --> 00:07:47,280
gange 3 meter, som er lig med 6 meter, gange pi.

127
00:07:47,280 --> 00:07:49,520
Det er 6 pi meter.

128
00:07:49,520 --> 00:07:52,430
6 pi meter.

129
00:07:52,430 --> 00:07:53,740
Nu kan vi gange det ud.

130
00:07:53,740 --> 00:07:55,900
Husk pi er et tal.

131
00:07:55,900 --> 00:07:59,680
Pi er 3,14159 med uendeligt mange decimaler.

132
00:07:59,680 --> 00:08:03,460
Hvis vi ganger 6 med pi, får vi 18 komma

133
00:08:03,460 --> 00:08:05,600
en masse decimaler.

134
00:08:05,600 --> 00:08:07,850
Hvis man har sin lommeregner, kan man regne det,

135
00:08:07,850 --> 00:08:10,490
men for at holde det her simpelt, skriver man som regel

136
00:08:10,490 --> 00:08:12,120
svaret i enheder af pi.

137
00:08:12,120 --> 00:08:14,020
Hvis man ganger 6 med 3,14159,

138
00:08:14,020 --> 00:08:18,510
så må det give et tal mellem 18 og 19.

139
00:08:18,510 --> 00:08:21,648
Det er 18 komma nogle decimaler.

140
00:08:21,720 --> 00:08:23,450
Vi har ikke lige en lommeregner.

141
00:08:23,450 --> 00:08:25,300
I stedet for at skrive decimaltallet,

142
00:08:25,300 --> 00:08:27,060
kan vi skrive 6 pi.

143
00:08:27,060 --> 00:08:29,770
I virkeligheden er svaret nok

144
00:08:29,770 --> 00:08:31,430
lidt under 19.

145
00:08:31,430 --> 00:08:33,770
Lad os stille et andet spørgsmål.

146
00:08:33,770 --> 00:08:38,454
Hvad er diameteren af cirklen?

147
00:08:38,580 --> 00:08:42,690
Hvis den her radius er 3, så er diameter to gange det.

148
00:08:42,690 --> 00:08:45,730
Det er 3 gange 2 eller 3 plus 3,

149
00:08:45,730 --> 00:08:47,170
som er lig med 6 meter.

150
00:08:47,170 --> 00:08:50,750
Omkredsen er 6 pi meter, diameteren er 6 meter,

151
00:08:50,750 --> 00:08:53,620
og radius er 3 meter.

152
00:08:53,620 --> 00:08:55,110
Lad os prøve at regne den anden vej.

153
00:08:55,110 --> 00:09:01,171
Antag, at vi har en anden cirkel.

154
00:09:01,220 --> 00:09:08,466
Dens omkreds er lig med 10 meter.

155
00:09:08,560 --> 00:09:12,990
Hvis man brugte et målebånd og gik rundt om den, ville man måle 10 meter.

156
00:09:12,990 --> 00:09:18,370
Hvad er diameteren på cirklen?

157
00:09:18,370 --> 00:09:22,810
Vi ved, at diameteren gange pi

158
00:09:22,810 --> 00:09:26,830
er lig med omkredsen,

159
00:09:26,830 --> 00:09:28,700
og omkredsen er 10 meter.

160
00:09:28,700 --> 00:09:32,466
For at løse det her, skal vi dele begge sider i den her ligning med pi.

161
00:09:32,520 --> 00:09:35,860
Diameteren er lig med 10 meter over pi

162
00:09:35,860 --> 00:09:38,710
eller 10 over pi meter.

163
00:09:38,710 --> 00:09:40,020
Det giver et tal.

164
00:09:40,020 --> 00:09:42,540
Hvis man har sin lomme regner kan man dele 10 med 3,13159

165
00:09:42,540 --> 00:09:47,445
og så vil man få 3 komma noget.

166
00:09:47,500 --> 00:09:48,960
Det er svært at regne i hovedet.

167
00:09:48,960 --> 00:09:50,070
Resultatet er dog et tal.

168
00:09:50,070 --> 00:09:53,320
Af hensyn til overskueligheden vil man ofte skrive svaret på den her måde.

169
00:09:53,320 --> 00:09:55,270
Hvad er radius så?

170
00:09:55,270 --> 00:09:58,590
Radius er lig med en halvdelen af diameteren.

171
00:09:58,590 --> 00:10:02,870
Diameteren er altså 10 over pi meter.

172
00:10:02,870 --> 00:10:06,230
Hvis vi vil finde radius,

173
00:10:06,230 --> 00:10:07,580
skal vi gange det med en halv.

174
00:10:07,580 --> 00:10:13,160
Vi har altså en halv gange 10 over pi, som er lig med en halv gange 10.

175
00:10:13,160 --> 00:10:18,031
Vi kan nu dele tælleren og nævneren med 2.

176
00:10:18,140 --> 00:10:21,130
Vi får 5 over pi.

177
00:10:21,130 --> 00:10:23,890
Radius er altså 5 over pi.

178
00:10:23,890 --> 00:10:25,690
Det er ret let, når man har lavet nogle stykker af dem her.

179
00:10:25,690 --> 00:10:31,760
Det er vigtigt at huske på, at pi er et tal.

180
00:10:31,820 --> 00:10:38,640
Pi er 3,14159 og uendeligt mange decimaler.

181
00:10:38,640 --> 00:10:41,950
Der er faktisk skrevet rigtig mange bøger om pi.

182
00:10:41,950 --> 00:10:45,100
De kan være spændende at læse.

183
00:10:45,100 --> 00:10:48,340
Det er dog vigtigt at huske,

184
00:10:48,340 --> 00:10:49,340
at pi er et tal.

185
00:10:49,340 --> 00:10:54,372
Det er et meget specielt tal.

186
00:10:54,372 --> 00:10:55,636
Det kan dog skrives som et helt almindeligt tal.

187
00:10:55,680 --> 00:11:00,530
Det er dog oftere lettere at skrive det som pi.

188
00:11:00,640 --> 00:11:01,680
Nu kan man selv regne nogle eksempler med det her.

189
00:11:01,680 --> 00:11:04,843
I den næste video vil vi finde ud af området i en cirkel.