Área de um Paralelogramo

Mostrando que a área de um paralelogramo é base vezes altura.

...

Nós sabemos que esse quadrilátero ABCD é um pararelogramo

e o que eu quero discutir neste vídeo é a maneira geral de encontrar a área de um paralelogramo.

No último vídeo falamos sobre um jeito específico de encontra a área de um losango,

você pode calcular a metade do produto de suas diagonais,

e o losango é um paralelogramo, mas você não pode pegar

a metade do produto das diagonais de qualquer paralelogramo (como sendo sua área),

somente de um losango. Então agora vamos falar sobre os paralelogramos...

O que sabemos sobre paralelogramos?

Bom, sabemos que os lados opostos entre si são paralelos,

Este lado é paralelo a este e este, paralelo a este,

e também sabemos que lados opostos são congruentes,

então este comprimento é igual a este

e este é igual a este lado aqui.

Agora, se desenharmos uma diagonal,

vou desenhar a diagonal AC,

podemos dividir nosso paralelogramo em dois triângulos.

e já provamos diversas vezes que estes dois triângulos são congruentes,

podemos fazer isso de uma forma bem direta:

obviamente o lado AD é igual ao lado BC

temos que DC é igual a AB

e ambos os triângulos compartilham esse terceiro lado

ambos dividem o lado AC.

Então podemos dizer que o triângulo (vou escrever isto em amarelo),

podemos dizer que o triângulo ADC é congruente ao triângulo...vamos fazer da maneira correta,

como eu disse, o ADC:

primeiro peguei o lado de cor magenta, depois o rosa e então o último

entao direi que é congurente ao triângulo CBA porque assim pego primeiro o lado magenta, depois o rosa e por fim o último,

então, triângulo CBA.

e isso é congruência de lados,

todos os três lados são correspondentes e congruentes uns aos outros,

portanto os triângulos são congruentes entre si.

Isso nos mostra que as áreas desses triângulos serão as mesmas.

Então, se quero encontrar a área de ABCD (do paralelogramo)

ela será igual a área do triângulo ADC mais a área do triângulo CBA,

mas a área de CBA é a mesma de ADC

porque eles são congruentes.

Então isso será igual ao dobro da área do triângulo ADC,

o que é conveniente para nós porque sabemos calcular a área de triângulos,

a área dos triângulos é, literalmente, meio vezes a base vezes a altura,

então é meio vezes a base vezes a altura desse triângulo,

e nos deram a base de ADC,

é essa medida aqui,

é DC. Você pode considerar isso como a base do paralelogramo

e se você quisesse descobrir a altura

podíamos desenhar uma reta assim

que é perpendicular, e podíamos chamá-la de altura (h).

Então se você quer a área total do paralelogramo ABCD

ela é igual a duas vezes meio vezes base vezes altura,

mas duas vezes meio é igual a um,

então sobra apenas base vezes altura,

temos b vezes essa altura.

Então esse é o resultado, e você pode ter adivinhado que seria isso mesmo,

mas se você quer calcular a área de qualquer paralelogramo

e se puder calcular a altura

você pode, literalmente, escolher uma das bases (porque os lados opostos são iguais) vezes a altura,

e esse é um jeito de calcular a área.

Ou você poderia multiplicar, o outro jeito de pensar nisso

é que se rotacionarmos o paralelogramo, ele ficaria mais ou menos assim

se eu o rotacionasse dessa maneira

e o colocar desse jeito, esse seria o ponto A,

esse o ponto D,

esse o ponto C,

e esse seria o ponto B.

Você poderia fazer desse jeito, a área seria base vezes altura.

Entao, a área poderia ser igual a h vezes DC

Você poderia dizer que seria igual a h vezes o comprimento de DC,

esse é um jeito de calcular, utilizando esta base e esta altura.

Ou você poderia dizer que a área é igual a AD vezes

(vou chamar essa reta de h2) vezes h2,

(e vou chamar essa de h1)

Então você pode pegar essa base vezes essa altura,

ou você pode pegar essa base vezes essa altura aqui

essa é h2.

Então se alguém te der um paralelogramo,

só para esclarecer as coisas,

obviamente você teria que encontrar um jeito de calcular a altura,

então, se alguém te desse um paralelogramo como este,

ele te diriam que esse é um paralelogramo,

se te dissessem que essa medida é cinco

e se dissessem que esse distância é seis,

então a área desse paralelogramo seria cinco vezes seis.

Eu desenhei a altura fora do paralelogramo,

eu poderia ter desenhado aqui, e também seria seis.

Portanto, a área desse paralelogramo seria trinta.