Quadratic formula (proof) | Quadratic equations | Algebra I | Khan Academy
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0:01 - 0:03配方的视频中我一直在说
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0:01 - 0:15本字幕由网易公开课提供，更多课程请到http//open.163.com
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0:03 - 0:06二次公式本质就是配方
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0:06 - 0:07二次公式本质就是配方
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0:07 - 0:10我一直以为我做过证明
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0:10 - 0:12其实我却没有
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0:12 - 0:17下面通过配方证明二次公式
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0:17 - 0:25网易公开课官方微博 http://t.163.com/163open
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0:20 - 0:23二次方程也就是我们要求解的
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0:23 - 0:26二次方程也就是我们要求解的
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0:26 - 0:29而求解的结果通常用二次公式表示
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0:29 - 0:30而求解的结果通常用二次公式表示
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0:30 - 0:33我不怎么喜欢纠结于术语
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0:30 - 0:45oCourse字幕组翻译：只做公开课的字幕组 http://ocourse.org
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0:33 - 0:36二次方程是
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0:36 - 0:46Ax2+Bx+C=0
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0:46 - 0:49下面配方 怎么做呢
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0:49 - 0:52两侧先同时减去C
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0:52 - 1:01有Ax2+Bx=-C
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1:01 - 1:03配方那一讲我说过
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1:03 - 1:06我不喜欢x2项系数
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1:06 - 1:08我喜欢将方程两侧同时除以A
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1:08 - 1:11我喜欢将方程两侧同时除以A
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1:11 - 1:21于是有x2+B/Ax=-C/A
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1:21 - 1:28于是有x2+B/Ax=-C/A
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1:28 - 1:30然后准备配方
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1:30 - 1:31配方
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1:31 - 1:35也就是在表达式上加上某数
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1:35 - 1:39使得表达式成为完全平方式
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1:39 - 1:43什么意思呢 我附带讲解下
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1:43 - 1:52(x+a)2=x2+2ax+a2 对吧
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1:52 - 1:58(x+a)2=x2+2ax+a2 对吧
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1:58 - 2:01左侧这里加上一个数后
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2:01 - 2:06表达式会像这样 然后反过来
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2:06 - 2:10它等于x+某数的平方
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2:10 - 2:12那么两侧同时加上什么呢
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2:12 - 2:15看了上次的配方视频应该能有些启发
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2:15 - 2:18看了上次的配方视频应该能有些启发
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2:18 - 2:23这里是B/A 对应2a
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2:23 - 2:28a是x项系数的1/2
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2:28 - 2:32这是a 然后要加a2
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2:32 - 2:35所以 取这个的1/2 然后平方
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2:35 - 2:36加到两侧
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2:36 - 2:41我换种颜色 洋红吧
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2:41 - 2:43取这个的1/2 配方
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2:43 - 2:47就是我们之前学的 加上这个的1/2
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2:47 - 2:50也就是B/(2A)
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2:50 - 2:54乘以1/2后 还要平方
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2:54 - 2:56方程左侧运算
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2:56 - 3:01右侧也得相应运算 加[B/(2A)]2
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3:07 - 3:11此时方程左侧就是(x+某数)2的形式
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3:11 - 3:15此时方程左侧就是(x+某数)2的形式
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3:15 - 3:19具体是什么 我换种颜色
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3:19 - 3:22方程左侧具体是什么呢
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3:22 - 3:29可以反着按这个等式 x加什么
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3:29 - 3:33我说过 a是1/2的x项系数
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3:33 - 3:36或者说 最后这个的平方根
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3:36 - 3:41其实a也就是B/(2A)
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3:41 - 3:49所以左侧是[x+B/(2A)]2
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3:49 - 3:56再看方程右侧 看看怎么化简
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3:56 - 4:00再看方程右侧 看看怎么化简
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4:00 - 4:05首先看公分母是多少
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4:05 - 4:08这个平方要算出来 所以是4A2
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4:08 - 4:11这个平方要算出来 所以是4A2
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4:11 - 4:17这个是B2/(4A2)
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4:17 - 4:19这两个分式相加
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4:19 - 4:30通分 分母是4A2
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4:30 - 4:34分母是4A2 那么-C/A是什么
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4:34 - 4:39分母乘以了4A
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4:39 - 4:42那么分子也要乘以4A
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4:42 - 4:50分子得到-4AC
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4:50 - 4:55而这里B2/(4A2) 上面是B2
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4:55 - 4:57以上是一些代数运算
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4:57 - 4:59但愿大家明白 我展开了这个
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4:59 - 5:02求平方 得到B2/(4A2)
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5:02 - 5:05然后加到这里 通分
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5:05 - 5:10-C/A变成4AC/(4A2)
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5:10 - 5:13然后两侧同时开根号
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5:13 - 5:17这大家或许就眼熟了
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5:17 - 5:21两侧同时开根号
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5:21 - 5:30得到x+B/(2A)=这个的平方根
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5:30 - 5:32分子分母同时开根号
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5:32 - 5:36分子中 B2放到前面
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5:36 - 5:38改变顺序 不影响结果
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5:38 - 5:44根号(B2-4AC)
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5:44 - 5:47这是分子开根号的结果
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5:47 - 5:50再看分母开根号
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5:50 - 5:524A2的平方根是多少
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5:52 - 5:56是2A
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5:56 - 5:59还有一点很重要
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5:59 - 6:00这是求平方根
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6:00 - 6:01不是求算术平方根
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6:01 - 6:03平方根有正有负
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6:03 - 6:07这个我们看得很多了
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6:07 - 6:09这里其实也可以有个±号
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6:09 - 6:11写上面 写下面都行
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6:11 - 6:12只写一次就行了
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6:12 - 6:15想想 为什么只用写一次
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6:15 - 6:18如果上下都有±号
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6:18 - 6:19有时会抵消 比如-和-
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6:19 - 6:21这和上面一个+号一样
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6:21 - 6:22你们应该懂的
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6:22 - 6:26下面两侧同时减去B/(2A)
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6:26 - 6:34马上就是令人激动的时刻了
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6:34 - 6:43x=-B/(2A)±这个
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6:43 - 6:52±根号(B2-4AC) 这个除以2A
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6:52 - 6:55分母相同 分子相加
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6:55 - 6:59我要用生机勃勃的颜色来表示
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6:59 - 7:03绿色如何 我们得到
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7:03 - 7:11x=[-B±根号(B2-4AC)]/(2A)
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7:11 - 7:19x=[-B±根号(B2-4AC)]/(2A)
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7:19 - 7:23这就是著名的二次公式
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7:23 - 7:25证明完毕
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7:25 - 7:28方法是配方
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7:28 - 7:32希望大家对这一节感兴趣
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7:32 - 7:33再见
- Title:
- Quadratic formula (proof) | Quadratic equations | Algebra I | Khan Academy
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- Video Language:
- English
- Team:
Khan Academy
- Duration:
- 07:34
