配方的视频中我一直在说

二次公式本质就是配方

二次公式本质就是配方

我一直以为我做过证明

其实我却没有

下面通过配方证明二次公式

二次方程也就是我们要求解的

二次方程也就是我们要求解的

而求解的结果通常用二次公式表示

而求解的结果通常用二次公式表示

我不怎么喜欢纠结于术语

二次方程是

Ax2+Bx+C=0

下面配方 怎么做呢

两侧先同时减去C

有Ax2+Bx=-C

配方那一讲我说过

我不喜欢x2项系数

我喜欢将方程两侧同时除以A

我喜欢将方程两侧同时除以A

于是有x2+B/Ax=-C/A

于是有x2+B/Ax=-C/A

然后准备配方

配方

也就是在表达式上加上某数

使得表达式成为完全平方式

什么意思呢 我附带讲解下

(x+a)2=x2+2ax+a2 对吧

(x+a)2=x2+2ax+a2 对吧

左侧这里加上一个数后

表达式会像这样 然后反过来

它等于x+某数的平方

那么两侧同时加上什么呢

看了上次的配方视频应该能有些启发

看了上次的配方视频应该能有些启发

这里是B/A 对应2a

a是x项系数的1/2

这是a 然后要加a2

所以 取这个的1/2 然后平方

加到两侧

我换种颜色 洋红吧

取这个的1/2 配方

就是我们之前学的 加上这个的1/2

也就是B/(2A)

乘以1/2后 还要平方

方程左侧运算

右侧也得相应运算 加[B/(2A)]2

此时方程左侧就是(x+某数)2的形式

此时方程左侧就是(x+某数)2的形式

具体是什么 我换种颜色

方程左侧具体是什么呢

可以反着按这个等式 x加什么

我说过 a是1/2的x项系数

或者说 最后这个的平方根

其实a也就是B/(2A)

所以左侧是[x+B/(2A)]2

再看方程右侧 看看怎么化简

再看方程右侧 看看怎么化简

首先看公分母是多少

这个平方要算出来 所以是4A2

这个平方要算出来 所以是4A2

这个是B2/(4A2)

这两个分式相加

通分 分母是4A2

分母是4A2 那么-C/A是什么

分母乘以了4A

那么分子也要乘以4A

分子得到-4AC

而这里B2/(4A2) 上面是B2

以上是一些代数运算

但愿大家明白 我展开了这个

求平方 得到B2/(4A2)

然后加到这里 通分

-C/A变成4AC/(4A2)

然后两侧同时开根号

这大家或许就眼熟了

两侧同时开根号

得到x+B/(2A)=这个的平方根

分子分母同时开根号

分子中 B2放到前面

改变顺序 不影响结果

根号(B2-4AC)

这是分子开根号的结果

再看分母开根号

4A2的平方根是多少

是2A

还有一点很重要

这是求平方根

不是求算术平方根

平方根有正有负

这个我们看得很多了

这里其实也可以有个±号

写上面 写下面都行

只写一次就行了

想想 为什么只用写一次

如果上下都有±号

有时会抵消 比如-和-

这和上面一个+号一样

你们应该懂的

下面两侧同时减去B/(2A)

马上就是令人激动的时刻了

x=-B/(2A)±这个

±根号(B2-4AC) 这个除以2A

分母相同 分子相加

我要用生机勃勃的颜色来表示

绿色如何 我们得到

x=[-B±根号(B2-4AC)]/(2A)

x=[-B±根号(B2-4AC)]/(2A)

这就是著名的二次公式

证明完毕

方法是配方

希望大家对这一节感兴趣

再见

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