配方的视频中我一直在说
二次公式本质就是配方
我一直以为我做过证明
其实我却没有
下面通过配方证明二次公式
二次方程也就是我们要求解的
而求解的结果通常用二次公式表示
我不怎么喜欢纠结于术语
二次方程是
Ax2+Bx+C=0
下面配方 怎么做呢
两侧先同时减去C
有Ax2+Bx=-C
配方那一讲我说过
我不喜欢x2项系数
我喜欢将方程两侧同时除以A
于是有x2+B/Ax=-C/A
然后准备配方
配方
也就是在表达式上加上某数
使得表达式成为完全平方式
什么意思呢 我附带讲解下
(x+a)2=x2+2ax+a2 对吧
左侧这里加上一个数后
表达式会像这样 然后反过来
它等于x+某数的平方
那么两侧同时加上什么呢
看了上次的配方视频应该能有些启发
这里是B/A 对应2a
a是x项系数的1/2
这是a 然后要加a2
所以 取这个的1/2 然后平方
加到两侧
我换种颜色 洋红吧
取这个的1/2 配方
就是我们之前学的 加上这个的1/2
也就是B/(2A)
乘以1/2后 还要平方
方程左侧运算
右侧也得相应运算 加[B/(2A)]2
此时方程左侧就是(x+某数)2的形式
具体是什么 我换种颜色
方程左侧具体是什么呢
可以反着按这个等式 x加什么
我说过 a是1/2的x项系数
或者说 最后这个的平方根
其实a也就是B/(2A)
所以左侧是[x+B/(2A)]2
再看方程右侧 看看怎么化简
首先看公分母是多少
这个平方要算出来 所以是4A2
这个是B2/(4A2)
这两个分式相加
通分 分母是4A2
分母是4A2 那么-C/A是什么
分母乘以了4A
那么分子也要乘以4A
分子得到-4AC
而这里B2/(4A2) 上面是B2
以上是一些代数运算
但愿大家明白 我展开了这个
求平方 得到B2/(4A2)
然后加到这里 通分
-C/A变成4AC/(4A2)
然后两侧同时开根号
这大家或许就眼熟了
两侧同时开根号
得到x+B/(2A)=这个的平方根
分子分母同时开根号
分子中 B2放到前面
改变顺序 不影响结果
根号(B2-4AC)
这是分子开根号的结果
再看分母开根号
4A2的平方根是多少
是2A
还有一点很重要
这是求平方根
不是求算术平方根
平方根有正有负
这个我们看得很多了
这里其实也可以有个±号
写上面 写下面都行
只写一次就行了
想想 为什么只用写一次
如果上下都有±号
有时会抵消 比如-和-
这和上面一个+号一样
你们应该懂的
下面两侧同时减去B/(2A)
马上就是令人激动的时刻了
x=-B/(2A)±这个
±根号(B2-4AC) 这个除以2A
分母相同 分子相加
我要用生机勃勃的颜色来表示
绿色如何 我们得到
x=[-B±根号(B2-4AC)]/(2A)
这就是著名的二次公式
证明完毕
方法是配方
希望大家对这一节感兴趣
再见
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