-
Ve videu o doplňování na čtverec jsem opakoval,
-
že kvadratická rovnice je zkrácený tvar doplnění na čtverec.
-
A měl jsem dojem, že už jsem tento důkaz udělal,
-
ale teď jsem si uvědomil, že ne.
-
Dovolte mi tedy dokázat kvadratickou rovnici
-
doplněním na čtverec.
-
Řekněme, že mám kvadratickou rovnici.
-
Myslím, že kvadratická rovnice je to,
co se snažíte vyřešit,
-
a to, co mnoho lidí nazývá kvadraticko rovnicí,
-
je vlastně vzorec pro výpočet kořenů kvadratické rovnice.
-
Ale nechci se teď zabývat terminologií.
-
Řekněme, že mám kvadratickou rovnici
-
'ax na druhou' plus 'bx' plus 'c' rovná se 0.
-
A doplňme to nyní na čtverec.
-
Jak to tedy uděláme?
-
Od obou stran rovnice odečteme 'c'
-
a dostaneme 'ax na druhou' plus 'bx' se rovná '-c'.
-
A jak už jsem řekl ve videu o doplňování na čtverec,
-
nelíbí se mi tady koeficient 'a'.
-
Chci mít u 'x na druhou' koeficient 1,
-
takže celou rovnici vydělím 'a'.
-
Dostanu 'x na druhou' plus 'b lomeno a, x' se rovná...
-
obě strany jsem vydělil 'a'... mínus 'c lomeno a'.
-
Teď už jsme připraveni doplňovat na čtverec.
-
Jak se to dělá?
-
Je to přičtení něčeho k této rovnici tak,
-
abychom dostali tvar druhé mocniny dvojčlenu.
-
Napíšu to stranou.
-
Když budete mít zadáno (x + a) na druhou,
-
rovná se to 'x na druhou' plus '2ax' plus 'a na druhou', že?
-
Pokud bych tady mohl něco přičíst,
tak aby se tato levá strana...
-
tento výraz vypadal jako tohle,
-
mohl bych to napsat obráceně.
-
Můžu říct, že to bude 'x' plus něco na druhou.
-
Takže co musím přičíst k oběma stranám?
-
Pokud jste viděli video o doplňování na čtverec,
-
mělo by to pro vás být intuitivní.
-
Uvědomíme si, že člen 'b/a' odpovídá výrazu '2a',
-
tedy 'a' bude polovina tohoto,
-
bude to polovina tohoto členu.
-
To bude 'a'.
-
A to, co potřebuji přidat, je umocněno na druhou.
-
Potřebuji z tohoto polovinu a umocnit to na druhou,
-
a pak to přičíst k oběma stranám.
-
Udělám to jinou barvou, třeba červenou.
-
Vezmu polovinu tohoto... jen doplňuji na čtverec,
-
nic víc nedělám, žádná kouzla...
-
tedy plus polovina z toho.
-
Polovina je 'b/2a', že?
-
Takže jen vynásobíte 1/2.
-
A musím to umocnit.
-
Pokud jsem to udělal na levé straně rovnice,
-
musím to stejné udělat i na pravé straně.
-
Tedy plus 'b/2a na druhou'.
-
A teď mám levou stranu rovnice
-
ve tvaru druhé mocniny výrazu 'x' plus něco.
-
A co je to?
-
Rovná se to... zase změním barvu...
-
čemu se rovná levá strana rovnice?
-
Můžete použít tento vzor ve směru doleva.
-
Je to 'x' plus co?
-
Řekli jsme 'a', můžete použít jeden ze dvou způsobů.
-
'a' je 1/2 tohoto členu nebo
'a' je druhá mocnina tohoto koeficientu
-
nebo jelikož jsme to ani neumocnili, víme, že toto je 'a'.
-
'b/2a' je 'a'.
-
Tedy tohle je stejné jako 'x' plus 'b/2a'
a to celé umocněno na druhou,
-
a pak se to rovná... podívejme se, jestli to lze zjednodušit
-
nebo trochu upravit.... to se rovná....
-
Kdybychom měli společný jmenovatel...
-
...je to jen trocha algebry...
-
když to umocním, bude to '4a na druhou'...
-
A to se rovná 'b na druhou' lomeno '4a na druhou'.
-
Správně?
-
Musím ještě sečíst tyto dva zlomky,
-
a dám to rovno '4a na druhou'.
-
Správně?
-
A je-li jmenovatel '4a na druhou',
-
co se stane z '-c/a'?
-
Když vynásobím jmenovatele '4a',
-
musím vynásobit i čitatele '4a'.
-
Z tohoto se stane '-4ac', že?
-
A potom 'b na druhou' lomeno '4a na druhou',
-
to je stále 'b na druhou'.
-
Jen využívám trochu algebru.
-
Doufám, že vás tím nematu.
-
Jen jsem to roznásobil.
-
Toto jsem umocnil na druhou,
'b na druhou' lomeno '4a na druhou'.
-
A sečetl jsem toto s tímhle,
dostal jsem společný jmenovatel.
-
Mínus 'c/a' je to stejné jako mínus '4ac/4a na druhou'.
-
A teď můžeme odmocnit obě strany rovnice.
-
Nyní už by vám to mělo být trochu povědomé.
-
A vidíte, dostali jsme 'x'.
-
Odmocníme-li obě strany rovnice,
-
dostaneme (x plus b/2a) se rovná druhé odmocnině z tohoto...
-
odmocněme čitatele i jmenovatele.
-
Čitatel je... zapíšu 'b na druhou' jako první,
-
jen změním pořadí, ničemu to nevadí...
-
druhá odmocnina z (b na druhou mínus 4ac), že?
-
To je jen čitatel.
-
A teď ještě musíme odmocnit jmenovatele.
-
Co je druhá odmocnina z '4a na druhou'?
-
No, to je jen '2a', že?
-
2a.
-
A co uděláme teď?
-
Oh, a toto je důležité!
-
Když uvažujeme o druhé odmocnině,
-
nejde pouze o kladnou odmocninu.
-
Je to kladná i záporná odmocnina.
-
Už jsem to několikrát viděl, když jsme...
-
a můžete říct, že je to plus nebo mínus také tady,
-
ale když se podíváte na plus nebo mínus nahoře,
-
a plus nebo mínus dole,
-
můžete to zapsat pouze jednou nahoru.
-
Nechám vás zamyslet se nad tím,
proč to máte zapsat pouze jednou.
-
Pokud máte mínus a nebo plus,
nebo mínus nebo plus,
-
to se někdy vyruší,
a nebo mínus a mínus,
-
to je to stejné, jako když máme jen plus nahoře.
-
Nicméně, myslím, že jste to pochopili.
-
A teď od obou stran odečteme 'b/2a'.
-
Dostaneme... a to je ta vzrušující část...
-
dostaneme 'x' rovná se (-b lomeno 2a) plus nebo mínus toto...
-
tedy (-b na druhou) mínus 4ac, to vše lomeno 2a.
-
Máme už společný jmenovatel,
-
takže můžeme zlomky sečíst.
-
Máme... a napíšu to tučně...
-
nebo raději ne tučně, zeleně...
-
dostaneme 'x' rovná se,
-
čitatel, -b plus nebo mínus odmocnina z (b na druhou mínus 4ac),
-
celé lomeno 2a.
-
A to je ten slavný vzorec pro výpočet kořenů kvadratické rovnice.
-
Jsme hotovi, dokázali jsme ho.
-
Dokázali jsme ho pouze doplněním na čtverec.
-
Doufám, že vám to přišlo aspoň trochu zajímavé.
-
Uvidíme se u dalšího videa.
Khan Academy
