0:00:00.720,0:00:03.130 Ve videu o doplňování na čtverec jsem opakoval, 0:00:03.130,0:00:07.490 že kvadratická rovnice je zkrácený tvar doplnění na čtverec. 0:00:07.490,0:00:10.220 A měl jsem dojem, že už jsem tento důkaz udělal, 0:00:10.220,0:00:12.120 ale teď jsem si uvědomil, že ne. 0:00:12.120,0:00:15.750 Dovolte mi tedy dokázat kvadratickou rovnici 0:00:15.750,0:00:17.990 doplněním na čtverec. 0:00:19.820,0:00:22.750 Řekněme, že mám kvadratickou rovnici. 0:00:22.750,0:00:25.730 Myslím, že kvadratická rovnice je to,[br]co se snažíte vyřešit, 0:00:25.730,0:00:28.280 a to, co mnoho lidí nazývá kvadraticko rovnicí, 0:00:28.280,0:00:30.690 je vlastně vzorec pro výpočet kořenů kvadratické rovnice. 0:00:30.690,0:00:33.100 Ale nechci se teď zabývat terminologií. 0:00:33.100,0:00:36.030 Řekněme, že mám kvadratickou rovnici 0:00:36.030,0:00:46.450 'ax na druhou' plus 'bx' plus 'c' rovná se 0. 0:00:46.450,0:00:48.280 A doplňme to nyní na čtverec. 0:00:48.280,0:00:49.480 Jak to tedy uděláme? 0:00:49.480,0:00:56.940 Od obou stran rovnice odečteme 'c' 0:00:56.940,0:01:00.740 a dostaneme 'ax na druhou' plus 'bx' se rovná '-c'. 0:01:00.740,0:01:03.040 A jak už jsem řekl ve videu o doplňování na čtverec, 0:01:03.040,0:01:06.200 nelíbí se mi tady koeficient 'a'. 0:01:06.200,0:01:08.355 Chci mít u 'x na druhou' koeficient 1, 0:01:08.355,0:01:10.980 takže celou rovnici vydělím 'a'. 0:01:10.980,0:01:21.440 Dostanu 'x na druhou' plus 'b lomeno a, x' se rovná... 0:01:21.440,0:01:27.515 obě strany jsem vydělil 'a'... mínus 'c lomeno a'. 0:01:27.940,0:01:29.600 Teď už jsme připraveni doplňovat na čtverec. 0:01:29.600,0:01:30.890 Jak se to dělá? 0:01:30.890,0:01:34.790 Je to přičtení něčeho k této rovnici tak, 0:01:34.790,0:01:39.500 abychom dostali tvar druhé mocniny dvojčlenu. 0:01:39.940,0:01:43.400 Napíšu to stranou. 0:01:43.400,0:01:51.950 Když budete mít zadáno (x + a) na druhou, 0:01:51.950,0:01:57.500 rovná se to 'x na druhou' plus '2ax' plus 'a na druhou', že? 0:01:57.500,0:02:01.330 Pokud bych tady mohl něco přičíst, [br]tak aby se tato levá strana... 0:02:01.330,0:02:04.300 tento výraz vypadal jako tohle, 0:02:04.300,0:02:06.330 mohl bych to napsat obráceně. 0:02:06.330,0:02:09.690 Můžu říct, že to bude 'x' plus něco na druhou. 0:02:09.690,0:02:11.590 Takže co musím přičíst k oběma stranám? 0:02:11.590,0:02:15.140 Pokud jste viděli video o doplňování na čtverec, 0:02:15.140,0:02:17.730 mělo by to pro vás být intuitivní. 0:02:17.730,0:02:21.510 Uvědomíme si, že člen 'b/a' odpovídá výrazu '2a', 0:02:21.510,0:02:26.183 tedy 'a' bude polovina tohoto, 0:02:26.183,0:02:28.010 bude to polovina tohoto členu. 0:02:28.010,0:02:29.100 To bude 'a'. 0:02:29.100,0:02:31.620 A to, co potřebuji přidat, je umocněno na druhou. 0:02:31.620,0:02:34.930 Potřebuji z tohoto polovinu a umocnit to na druhou, 0:02:34.930,0:02:36.110 a pak to přičíst k oběma stranám. 0:02:36.110,0:02:40.040 Udělám to jinou barvou, třeba červenou. 0:02:40.040,0:02:42.650 Vezmu polovinu tohoto... jen doplňuji na čtverec, 0:02:42.650,0:02:45.100 nic víc nedělám, žádná kouzla... 0:02:45.100,0:02:47.450 tedy plus polovina z toho. 0:02:47.450,0:02:50.230 Polovina je 'b/2a', že? 0:02:50.230,0:02:52.130 Takže jen vynásobíte 1/2. 0:02:52.130,0:02:54.240 A musím to umocnit. 0:02:54.240,0:02:55.893 Pokud jsem to udělal na levé straně rovnice, 0:02:55.893,0:02:57.660 musím to stejné udělat i na pravé straně. 0:02:57.660,0:03:07.010 Tedy plus 'b/2a na druhou'. 0:03:07.010,0:03:10.670 A teď mám levou stranu rovnice 0:03:10.670,0:03:14.740 ve tvaru druhé mocniny výrazu 'x' plus něco. 0:03:14.740,0:03:15.880 A co je to? 0:03:15.880,0:03:19.970 Rovná se to... zase změním barvu... 0:03:19.970,0:03:21.730 čemu se rovná levá strana rovnice? 0:03:21.730,0:03:24.520 Můžete použít tento vzor ve směru doleva. 0:03:24.520,0:03:28.730 Je to 'x' plus co? 0:03:28.730,0:03:32.960 Řekli jsme 'a', můžete použít jeden ze dvou způsobů. 0:03:32.960,0:03:36.390 'a' je 1/2 tohoto členu nebo [br]'a' je druhá mocnina tohoto koeficientu 0:03:36.390,0:03:38.310 nebo jelikož jsme to ani neumocnili, víme, že toto je 'a'. 0:03:38.310,0:03:40.970 'b/2a' je 'a'. 0:03:40.970,0:03:49.060 Tedy tohle je stejné jako 'x' plus 'b/2a' [br]a to celé umocněno na druhou, 0:03:49.060,0:03:55.980 a pak se to rovná... podívejme se, jestli to lze zjednodušit 0:03:55.980,0:04:00.230 nebo trochu upravit.... to se rovná.... 0:04:00.230,0:04:04.760 Kdybychom měli společný jmenovatel... 0:04:04.760,0:04:07.600 ...je to jen trocha algebry... 0:04:07.600,0:04:10.780 když to umocním, bude to '4a na druhou'... 0:04:10.780,0:04:15.740 A to se rovná 'b na druhou' lomeno '4a na druhou'. 0:04:15.740,0:04:16.710 Správně? 0:04:16.710,0:04:19.860 Musím ještě sečíst tyto dva zlomky, 0:04:19.860,0:04:29.550 a dám to rovno '4a na druhou'. 0:04:29.550,0:04:30.330 Správně? 0:04:30.330,0:04:31.750 A je-li jmenovatel '4a na druhou', 0:04:31.750,0:04:34.360 co se stane z '-c/a'? 0:04:34.360,0:04:40.280 Když vynásobím jmenovatele '4a', 0:04:40.280,0:04:41.810 musím vynásobit i čitatele '4a'. 0:04:41.810,0:04:50.090 Z tohoto se stane '-4ac', že? 0:04:50.090,0:04:53.030 A potom 'b na druhou' lomeno '4a na druhou', 0:04:53.030,0:04:54.810 to je stále 'b na druhou'. 0:04:54.810,0:04:56.380 Jen využívám trochu algebru. 0:04:56.380,0:04:57.690 Doufám, že vás tím nematu. 0:04:57.690,0:04:59.470 Jen jsem to roznásobil. 0:04:59.470,0:05:02.330 Toto jsem umocnil na druhou,[br]'b na druhou' lomeno '4a na druhou'. 0:05:02.330,0:05:04.790 A sečetl jsem toto s tímhle,[br]dostal jsem společný jmenovatel. 0:05:04.790,0:05:09.710 Mínus 'c/a' je to stejné jako mínus '4ac/4a na druhou'. 0:05:09.710,0:05:12.740 A teď můžeme odmocnit obě strany rovnice. 0:05:13.240,0:05:17.270 Nyní už by vám to mělo být trochu povědomé. 0:05:17.270,0:05:19.290 A vidíte, dostali jsme 'x'. 0:05:19.290,0:05:21.080 Odmocníme-li obě strany rovnice, 0:05:21.080,0:05:29.780 dostaneme (x plus b/2a) se rovná druhé odmocnině z tohoto... 0:05:29.780,0:05:32.180 odmocněme čitatele i jmenovatele. 0:05:32.180,0:05:35.950 Čitatel je... zapíšu 'b na druhou' jako první, 0:05:35.950,0:05:38.110 jen změním pořadí, ničemu to nevadí... 0:05:38.110,0:05:43.660 druhá odmocnina z (b na druhou mínus 4ac), že? 0:05:43.660,0:05:46.440 To je jen čitatel. 0:05:46.440,0:05:49.750 A teď ještě musíme odmocnit jmenovatele. 0:05:49.770,0:05:51.970 Co je druhá odmocnina z '4a na druhou'? 0:05:51.970,0:05:54.020 No, to je jen '2a', že? 0:05:54.020,0:05:55.730 2a. 0:05:55.730,0:05:57.010 A co uděláme teď? 0:05:57.010,0:05:58.640 Oh, a toto je důležité! 0:05:58.640,0:06:00.400 Když uvažujeme o druhé odmocnině, 0:06:00.400,0:06:01.070 nejde pouze o kladnou odmocninu. 0:06:01.070,0:06:03.450 Je to kladná i záporná odmocnina. 0:06:03.450,0:06:06.000 Už jsem to několikrát viděl, když jsme... 0:06:06.000,0:06:08.000 a můžete říct, že je to plus nebo mínus také tady, 0:06:08.000,0:06:09.400 ale když se podíváte na plus nebo mínus nahoře, 0:06:09.400,0:06:10.800 a plus nebo mínus dole, 0:06:10.800,0:06:12.290 můžete to zapsat pouze jednou nahoru. 0:06:12.290,0:06:14.930 Nechám vás zamyslet se nad tím, [br]proč to máte zapsat pouze jednou. 0:06:14.930,0:06:17.560 Pokud máte mínus a nebo plus,[br]nebo mínus nebo plus, 0:06:17.560,0:06:19.250 to se někdy vyruší,[br]a nebo mínus a mínus, 0:06:19.250,0:06:20.790 to je to stejné, jako když máme jen plus nahoře. 0:06:20.790,0:06:22.210 Nicméně, myslím, že jste to pochopili. 0:06:22.210,0:06:26.140 A teď od obou stran odečteme 'b/2a'. 0:06:26.140,0:06:33.680 Dostaneme... a to je ta vzrušující část... 0:06:33.680,0:06:42.850 dostaneme 'x' rovná se (-b lomeno 2a) plus nebo mínus toto... 0:06:42.850,0:06:51.790 tedy (-b na druhou) mínus 4ac, to vše lomeno 2a. 0:06:51.790,0:06:53.850 Máme už společný jmenovatel, 0:06:53.850,0:06:55.130 takže můžeme zlomky sečíst. 0:06:55.130,0:06:58.880 Máme... a napíšu to tučně... 0:06:58.880,0:07:02.570 nebo raději ne tučně, zeleně... 0:07:02.570,0:07:05.063 dostaneme 'x' rovná se, 0:07:05.063,0:07:16.755 čitatel, -b plus nebo mínus odmocnina z (b na druhou mínus 4ac), 0:07:16.755,0:07:19.217 celé lomeno 2a. 0:07:19.217,0:07:23.010 A to je ten slavný vzorec pro výpočet kořenů kvadratické rovnice. 0:07:23.010,0:07:25.480 Jsme hotovi, dokázali jsme ho. 0:07:25.480,0:07:28.410 Dokázali jsme ho pouze doplněním na čtverec. 0:07:28.410,0:07:31.570 Doufám, že vám to přišlo aspoň trochu zajímavé. 0:07:31.570,0:07:33.450 Uvidíme se u dalšího videa.