Ve videu o doplňování na čtverec jsem opakoval,
že kvadratická rovnice je zkrácený tvar doplnění na čtverec.
A měl jsem dojem, že už jsem tento důkaz udělal,
ale teď jsem si uvědomil, že ne.
Dovolte mi tedy dokázat kvadratickou rovnici
doplněním na čtverec.
Řekněme, že mám kvadratickou rovnici.
Myslím, že kvadratická rovnice je to, co se snažíte vyřešit,
a to, co mnoho lidí nazývá kvadraticko rovnicí,
je vlastně vzorec pro výpočet kořenů kvadratické rovnice.
Ale nechci se teď zabývat terminologií.
Řekněme, že mám kvadratickou rovnici
'ax na druhou' plus 'bx' plus 'c' rovná se 0.
A doplňme to nyní na čtverec.
Jak to tedy uděláme?
Od obou stran rovnice odečteme 'c'
a dostaneme 'ax na druhou' plus 'bx' se rovná '-c'.
A jak už jsem řekl ve videu o doplňování na čtverec,
nelíbí se mi tady koeficient 'a'.
Chci mít u 'x na druhou' koeficient 1,
takže celou rovnici vydělím 'a'.
Dostanu 'x na druhou' plus 'b lomeno a, x' se rovná...
obě strany jsem vydělil 'a'... mínus 'c lomeno a'.
Teď už jsme připraveni doplňovat na čtverec.
Jak se to dělá?
Je to přičtení něčeho k této rovnici tak,
abychom dostali tvar druhé mocniny dvojčlenu.
Napíšu to stranou.
Když budete mít zadáno (x + a) na druhou,
rovná se to 'x na druhou' plus '2ax' plus 'a na druhou', že?
Pokud bych tady mohl něco přičíst, tak aby se tato levá strana...
tento výraz vypadal jako tohle,
mohl bych to napsat obráceně.
Můžu říct, že to bude 'x' plus něco na druhou.
Takže co musím přičíst k oběma stranám?
Pokud jste viděli video o doplňování na čtverec,
mělo by to pro vás být intuitivní.
Uvědomíme si, že člen 'b/a' odpovídá výrazu '2a',
tedy 'a' bude polovina tohoto,
bude to polovina tohoto členu.
To bude 'a'.
A to, co potřebuji přidat, je umocněno na druhou.
Potřebuji z tohoto polovinu a umocnit to na druhou,
a pak to přičíst k oběma stranám.
Udělám to jinou barvou, třeba červenou.
Vezmu polovinu tohoto... jen doplňuji na čtverec,
nic víc nedělám, žádná kouzla...
tedy plus polovina z toho.
Polovina je 'b/2a', že?
Takže jen vynásobíte 1/2.
A musím to umocnit.
Pokud jsem to udělal na levé straně rovnice,
musím to stejné udělat i na pravé straně.
Tedy plus 'b/2a na druhou'.
A teď mám levou stranu rovnice
ve tvaru druhé mocniny výrazu 'x' plus něco.
A co je to?
Rovná se to... zase změním barvu...
čemu se rovná levá strana rovnice?
Můžete použít tento vzor ve směru doleva.
Je to 'x' plus co?
Řekli jsme 'a', můžete použít jeden ze dvou způsobů.
'a' je 1/2 tohoto členu nebo 'a' je druhá mocnina tohoto koeficientu
nebo jelikož jsme to ani neumocnili, víme, že toto je 'a'.
'b/2a' je 'a'.
Tedy tohle je stejné jako 'x' plus 'b/2a' a to celé umocněno na druhou,
a pak se to rovná... podívejme se, jestli to lze zjednodušit
nebo trochu upravit.... to se rovná....
Kdybychom měli společný jmenovatel...
...je to jen trocha algebry...
když to umocním, bude to '4a na druhou'...
A to se rovná 'b na druhou' lomeno '4a na druhou'.
Správně?
Musím ještě sečíst tyto dva zlomky,
a dám to rovno '4a na druhou'.
Správně?
A je-li jmenovatel '4a na druhou',
co se stane z '-c/a'?
Když vynásobím jmenovatele '4a',
musím vynásobit i čitatele '4a'.
Z tohoto se stane '-4ac', že?
A potom 'b na druhou' lomeno '4a na druhou',
to je stále 'b na druhou'.
Jen využívám trochu algebru.
Doufám, že vás tím nematu.
Jen jsem to roznásobil.
Toto jsem umocnil na druhou, 'b na druhou' lomeno '4a na druhou'.
A sečetl jsem toto s tímhle, dostal jsem společný jmenovatel.
Mínus 'c/a' je to stejné jako mínus '4ac/4a na druhou'.
A teď můžeme odmocnit obě strany rovnice.
Nyní už by vám to mělo být trochu povědomé.
A vidíte, dostali jsme 'x'.
Odmocníme-li obě strany rovnice,
dostaneme (x plus b/2a) se rovná druhé odmocnině z tohoto...
odmocněme čitatele i jmenovatele.
Čitatel je... zapíšu 'b na druhou' jako první,
jen změním pořadí, ničemu to nevadí...
druhá odmocnina z (b na druhou mínus 4ac), že?
To je jen čitatel.
A teď ještě musíme odmocnit jmenovatele.
Co je druhá odmocnina z '4a na druhou'?
No, to je jen '2a', že?
2a.
A co uděláme teď?
Oh, a toto je důležité!
Když uvažujeme o druhé odmocnině,
nejde pouze o kladnou odmocninu.
Je to kladná i záporná odmocnina.
Už jsem to několikrát viděl, když jsme...
a můžete říct, že je to plus nebo mínus také tady,
ale když se podíváte na plus nebo mínus nahoře,
a plus nebo mínus dole,
můžete to zapsat pouze jednou nahoru.
Nechám vás zamyslet se nad tím, proč to máte zapsat pouze jednou.
Pokud máte mínus a nebo plus, nebo mínus nebo plus,
to se někdy vyruší, a nebo mínus a mínus,
to je to stejné, jako když máme jen plus nahoře.
Nicméně, myslím, že jste to pochopili.
A teď od obou stran odečteme 'b/2a'.
Dostaneme... a to je ta vzrušující část...
dostaneme 'x' rovná se (-b lomeno 2a) plus nebo mínus toto...
tedy (-b na druhou) mínus 4ac, to vše lomeno 2a.
Máme už společný jmenovatel,
takže můžeme zlomky sečíst.
Máme... a napíšu to tučně...
nebo raději ne tučně, zeleně...
dostaneme 'x' rovná se,
čitatel, -b plus nebo mínus odmocnina z (b na druhou mínus 4ac),
celé lomeno 2a.
A to je ten slavný vzorec pro výpočet kořenů kvadratické rovnice.
Jsme hotovi, dokázali jsme ho.
Dokázali jsme ho pouze doplněním na čtverec.
Doufám, že vám to přišlo aspoň trochu zajímavé.
Uvidíme se u dalšího videa.