WEBVTT 00:00:00.720 --> 00:00:03.130 Ve videu o doplňování na čtverec jsem opakoval, 00:00:03.130 --> 00:00:07.490 že kvadratická rovnice je zkrácený tvar doplnění na čtverec. 00:00:07.490 --> 00:00:10.220 A měl jsem dojem, že už jsem tento důkaz udělal, 00:00:10.220 --> 00:00:12.120 ale teď jsem si uvědomil, že ne. 00:00:12.120 --> 00:00:15.750 Dovolte mi tedy dokázat kvadratickou rovnici 00:00:15.750 --> 00:00:17.990 doplněním na čtverec. 00:00:19.820 --> 00:00:22.750 Řekněme, že mám kvadratickou rovnici. 00:00:22.750 --> 00:00:25.730 Myslím, že kvadratická rovnice je to, co se snažíte vyřešit, 00:00:25.730 --> 00:00:28.280 a to, co mnoho lidí nazývá kvadraticko rovnicí, 00:00:28.280 --> 00:00:30.690 je vlastně vzorec pro výpočet kořenů kvadratické rovnice. 00:00:30.690 --> 00:00:33.100 Ale nechci se teď zabývat terminologií. 00:00:33.100 --> 00:00:36.030 Řekněme, že mám kvadratickou rovnici 00:00:36.030 --> 00:00:46.450 'ax na druhou' plus 'bx' plus 'c' rovná se 0. 00:00:46.450 --> 00:00:48.280 A doplňme to nyní na čtverec. 00:00:48.280 --> 00:00:49.480 Jak to tedy uděláme? 00:00:49.480 --> 00:00:56.940 Od obou stran rovnice odečteme 'c' 00:00:56.940 --> 00:01:00.740 a dostaneme 'ax na druhou' plus 'bx' se rovná '-c'. 00:01:00.740 --> 00:01:03.040 A jak už jsem řekl ve videu o doplňování na čtverec, 00:01:03.040 --> 00:01:06.200 nelíbí se mi tady koeficient 'a'. 00:01:06.200 --> 00:01:08.355 Chci mít u 'x na druhou' koeficient 1, 00:01:08.355 --> 00:01:10.980 takže celou rovnici vydělím 'a'. 00:01:10.980 --> 00:01:21.440 Dostanu 'x na druhou' plus 'b lomeno a, x' se rovná... 00:01:21.440 --> 00:01:27.515 obě strany jsem vydělil 'a'... mínus 'c lomeno a'. 00:01:27.940 --> 00:01:29.600 Teď už jsme připraveni doplňovat na čtverec. 00:01:29.600 --> 00:01:30.890 Jak se to dělá? 00:01:30.890 --> 00:01:34.790 Je to přičtení něčeho k této rovnici tak, 00:01:34.790 --> 00:01:39.500 abychom dostali tvar druhé mocniny dvojčlenu. 00:01:39.940 --> 00:01:43.400 Napíšu to stranou. 00:01:43.400 --> 00:01:51.950 Když budete mít zadáno (x + a) na druhou, 00:01:51.950 --> 00:01:57.500 rovná se to 'x na druhou' plus '2ax' plus 'a na druhou', že? 00:01:57.500 --> 00:02:01.330 Pokud bych tady mohl něco přičíst, tak aby se tato levá strana... 00:02:01.330 --> 00:02:04.300 tento výraz vypadal jako tohle, 00:02:04.300 --> 00:02:06.330 mohl bych to napsat obráceně. 00:02:06.330 --> 00:02:09.690 Můžu říct, že to bude 'x' plus něco na druhou. 00:02:09.690 --> 00:02:11.590 Takže co musím přičíst k oběma stranám? 00:02:11.590 --> 00:02:15.140 Pokud jste viděli video o doplňování na čtverec, 00:02:15.140 --> 00:02:17.730 mělo by to pro vás být intuitivní. 00:02:17.730 --> 00:02:21.510 Uvědomíme si, že člen 'b/a' odpovídá výrazu '2a', 00:02:21.510 --> 00:02:26.183 tedy 'a' bude polovina tohoto, 00:02:26.183 --> 00:02:28.010 bude to polovina tohoto členu. 00:02:28.010 --> 00:02:29.100 To bude 'a'. 00:02:29.100 --> 00:02:31.620 A to, co potřebuji přidat, je umocněno na druhou. 00:02:31.620 --> 00:02:34.930 Potřebuji z tohoto polovinu a umocnit to na druhou, 00:02:34.930 --> 00:02:36.110 a pak to přičíst k oběma stranám. 00:02:36.110 --> 00:02:40.040 Udělám to jinou barvou, třeba červenou. 00:02:40.040 --> 00:02:42.650 Vezmu polovinu tohoto... jen doplňuji na čtverec, 00:02:42.650 --> 00:02:45.100 nic víc nedělám, žádná kouzla... 00:02:45.100 --> 00:02:47.450 tedy plus polovina z toho. 00:02:47.450 --> 00:02:50.230 Polovina je 'b/2a', že? 00:02:50.230 --> 00:02:52.130 Takže jen vynásobíte 1/2. 00:02:52.130 --> 00:02:54.240 A musím to umocnit. 00:02:54.240 --> 00:02:55.893 Pokud jsem to udělal na levé straně rovnice, 00:02:55.893 --> 00:02:57.660 musím to stejné udělat i na pravé straně. 00:02:57.660 --> 00:03:07.010 Tedy plus 'b/2a na druhou'. 00:03:07.010 --> 00:03:10.670 A teď mám levou stranu rovnice 00:03:10.670 --> 00:03:14.740 ve tvaru druhé mocniny výrazu 'x' plus něco. 00:03:14.740 --> 00:03:15.880 A co je to? 00:03:15.880 --> 00:03:19.970 Rovná se to... zase změním barvu... 00:03:19.970 --> 00:03:21.730 čemu se rovná levá strana rovnice? 00:03:21.730 --> 00:03:24.520 Můžete použít tento vzor ve směru doleva. 00:03:24.520 --> 00:03:28.730 Je to 'x' plus co? 00:03:28.730 --> 00:03:32.960 Řekli jsme 'a', můžete použít jeden ze dvou způsobů. 00:03:32.960 --> 00:03:36.390 'a' je 1/2 tohoto členu nebo 'a' je druhá mocnina tohoto koeficientu 00:03:36.390 --> 00:03:38.310 nebo jelikož jsme to ani neumocnili, víme, že toto je 'a'. 00:03:38.310 --> 00:03:40.970 'b/2a' je 'a'. 00:03:40.970 --> 00:03:49.060 Tedy tohle je stejné jako 'x' plus 'b/2a' a to celé umocněno na druhou, 00:03:49.060 --> 00:03:55.980 a pak se to rovná... podívejme se, jestli to lze zjednodušit 00:03:55.980 --> 00:04:00.230 nebo trochu upravit.... to se rovná.... 00:04:00.230 --> 00:04:04.760 Kdybychom měli společný jmenovatel... 00:04:04.760 --> 00:04:07.600 ...je to jen trocha algebry... 00:04:07.600 --> 00:04:10.780 když to umocním, bude to '4a na druhou'... 00:04:10.780 --> 00:04:15.740 A to se rovná 'b na druhou' lomeno '4a na druhou'. 00:04:15.740 --> 00:04:16.710 Správně? 00:04:16.710 --> 00:04:19.860 Musím ještě sečíst tyto dva zlomky, 00:04:19.860 --> 00:04:29.550 a dám to rovno '4a na druhou'. 00:04:29.550 --> 00:04:30.330 Správně? 00:04:30.330 --> 00:04:31.750 A je-li jmenovatel '4a na druhou', 00:04:31.750 --> 00:04:34.360 co se stane z '-c/a'? 00:04:34.360 --> 00:04:40.280 Když vynásobím jmenovatele '4a', 00:04:40.280 --> 00:04:41.810 musím vynásobit i čitatele '4a'. 00:04:41.810 --> 00:04:50.090 Z tohoto se stane '-4ac', že? 00:04:50.090 --> 00:04:53.030 A potom 'b na druhou' lomeno '4a na druhou', 00:04:53.030 --> 00:04:54.810 to je stále 'b na druhou'. 00:04:54.810 --> 00:04:56.380 Jen využívám trochu algebru. 00:04:56.380 --> 00:04:57.690 Doufám, že vás tím nematu. 00:04:57.690 --> 00:04:59.470 Jen jsem to roznásobil. 00:04:59.470 --> 00:05:02.330 Toto jsem umocnil na druhou, 'b na druhou' lomeno '4a na druhou'. 00:05:02.330 --> 00:05:04.790 A sečetl jsem toto s tímhle, dostal jsem společný jmenovatel. 00:05:04.790 --> 00:05:09.710 Mínus 'c/a' je to stejné jako mínus '4ac/4a na druhou'. 00:05:09.710 --> 00:05:12.740 A teď můžeme odmocnit obě strany rovnice. 00:05:13.240 --> 00:05:17.270 Nyní už by vám to mělo být trochu povědomé. 00:05:17.270 --> 00:05:19.290 A vidíte, dostali jsme 'x'. 00:05:19.290 --> 00:05:21.080 Odmocníme-li obě strany rovnice, 00:05:21.080 --> 00:05:29.780 dostaneme (x plus b/2a) se rovná druhé odmocnině z tohoto... 00:05:29.780 --> 00:05:32.180 odmocněme čitatele i jmenovatele. 00:05:32.180 --> 00:05:35.950 Čitatel je... zapíšu 'b na druhou' jako první, 00:05:35.950 --> 00:05:38.110 jen změním pořadí, ničemu to nevadí... 00:05:38.110 --> 00:05:43.660 druhá odmocnina z (b na druhou mínus 4ac), že? 00:05:43.660 --> 00:05:46.440 To je jen čitatel. 00:05:46.440 --> 00:05:49.750 A teď ještě musíme odmocnit jmenovatele. 00:05:49.770 --> 00:05:51.970 Co je druhá odmocnina z '4a na druhou'? 00:05:51.970 --> 00:05:54.020 No, to je jen '2a', že? 00:05:54.020 --> 00:05:55.730 2a. 00:05:55.730 --> 00:05:57.010 A co uděláme teď? 00:05:57.010 --> 00:05:58.640 Oh, a toto je důležité! 00:05:58.640 --> 00:06:00.400 Když uvažujeme o druhé odmocnině, 00:06:00.400 --> 00:06:01.070 nejde pouze o kladnou odmocninu. 00:06:01.070 --> 00:06:03.450 Je to kladná i záporná odmocnina. 00:06:03.450 --> 00:06:06.000 Už jsem to několikrát viděl, když jsme... 00:06:06.000 --> 00:06:08.000 a můžete říct, že je to plus nebo mínus také tady, 00:06:08.000 --> 00:06:09.400 ale když se podíváte na plus nebo mínus nahoře, 00:06:09.400 --> 00:06:10.800 a plus nebo mínus dole, 00:06:10.800 --> 00:06:12.290 můžete to zapsat pouze jednou nahoru. 00:06:12.290 --> 00:06:14.930 Nechám vás zamyslet se nad tím, proč to máte zapsat pouze jednou. 00:06:14.930 --> 00:06:17.560 Pokud máte mínus a nebo plus, nebo mínus nebo plus, 00:06:17.560 --> 00:06:19.250 to se někdy vyruší, a nebo mínus a mínus, 00:06:19.250 --> 00:06:20.790 to je to stejné, jako když máme jen plus nahoře. 00:06:20.790 --> 00:06:22.210 Nicméně, myslím, že jste to pochopili. 00:06:22.210 --> 00:06:26.140 A teď od obou stran odečteme 'b/2a'. 00:06:26.140 --> 00:06:33.680 Dostaneme... a to je ta vzrušující část... 00:06:33.680 --> 00:06:42.850 dostaneme 'x' rovná se (-b lomeno 2a) plus nebo mínus toto... 00:06:42.850 --> 00:06:51.790 tedy (-b na druhou) mínus 4ac, to vše lomeno 2a. 00:06:51.790 --> 00:06:53.850 Máme už společný jmenovatel, 00:06:53.850 --> 00:06:55.130 takže můžeme zlomky sečíst. 00:06:55.130 --> 00:06:58.880 Máme... a napíšu to tučně... 00:06:58.880 --> 00:07:02.570 nebo raději ne tučně, zeleně... 00:07:02.570 --> 00:07:05.063 dostaneme 'x' rovná se, 00:07:05.063 --> 00:07:16.755 čitatel, -b plus nebo mínus odmocnina z (b na druhou mínus 4ac), 00:07:16.755 --> 00:07:19.217 celé lomeno 2a. 00:07:19.217 --> 00:07:23.010 A to je ten slavný vzorec pro výpočet kořenů kvadratické rovnice. 00:07:23.010 --> 00:07:25.480 Jsme hotovi, dokázali jsme ho. 00:07:25.480 --> 00:07:28.410 Dokázali jsme ho pouze doplněním na čtverec. 00:07:28.410 --> 00:07:31.570 Doufám, že vám to přišlo aspoň trochu zajímavé. 00:07:31.570 --> 00:07:33.450 Uvidíme se u dalšího videa.