< Return to Video

Matematičke tajne Pascalovog trokuta - Wajdi Mohamed Ratemi

  • 0:08 - 0:11
    Ovo možda izgleda
    samo kao uredno složen stog brojeva,
  • 0:11 - 0:15
    ali zapravo je
    matematičko skriveno blago.
  • 0:15 - 0:19
    Indijski matematičari zvali su ga
    Stepenice planine Meru.
  • 0:19 - 0:21
    U Iranu, to je Khayyamov trokut,
  • 0:21 - 0:24
    a u Kini, Yang Huijev trokut.
  • 0:24 - 0:28
    Većini zapadnog svijeta
    poznat je kao Pascalov trokut
  • 0:28 - 0:31
    po francukom matematičaru Blaiseu Pascalu,
  • 0:31 - 0:35
    što je ipak malo nepravedno,
    jer očito nije izmislio ništa novo,
  • 0:35 - 0:37
    ali ipak je i on dao svoj doprinos.
  • 0:37 - 0:42
    Ali zašto je toliko zaokupljao
    matematičare diljem svijeta?
  • 0:42 - 0:46
    Ukratko,
    pun je obrazaca i tajni.
  • 0:46 - 0:49
    Prvo i najvažnije,
    uzorak koji ga generira.
  • 0:49 - 0:54
    Počnite s jedinicom i zamislite
    nevidljive nule s obje strane jedinice.
  • 0:54 - 0:59
    Zbrojite po dva broja,
    i generirat ćete slijedeći red.
  • 0:59 - 1:02
    Sada ponavljajte postupak.
  • 1:02 - 1:06
    Nastavite i dobit ćete
    nešto poput ovog,
  • 1:06 - 1:09
    iako se Pascalov trokut
    nastavlja u beskonačnost.
  • 1:09 - 1:15
    Svaki red odgovara nečemu naziva
    binomni koeficijenti
  • 1:15 - 1:19
    raspisa (x+y)^n,
  • 1:19 - 1:21
    gdje je n broj reda,
  • 1:21 - 1:24
    ako krećemo brojiti od nule.
  • 1:24 - 1:27
    Na primjer ako raspišemo izraz za n=2,
  • 1:27 - 1:31
    dobit ćemo (x^2)+2xy+(y^2).
  • 1:31 - 1:34
    Koeficijenti,
    ili brojevi ispred varijabli,
  • 1:34 - 1:38
    jednaki su brojevima u odgovarajućem
    redu Pascalovog trokuta.
  • 1:38 - 1:43
    Isto možete vidjeti i za n=3,
    što se raspisuje ovako.
  • 1:43 - 1:48
    Trokut je dakle brz i jednostavan način
    za pronalaženje koeficijenata.
  • 1:48 - 1:50
    Ali to nije sve.
  • 1:50 - 1:53
    Na primjer, zbrojite
    brojeve u svakom redu,
  • 1:53 - 1:56
    i dobit ćete uzastopne potencije od dva.
  • 1:56 - 2:01
    Ili u bilo kojem redu, gledajte svaki broj
    kao dio decimalnog zapisa.
  • 2:01 - 2:08
    Drugim riječima, drugi red je
    (1x1) + (2x10) + (1x100).
  • 2:08 - 2:12
    Rješenje je 121, što je 11^2.
  • 2:12 - 2:16
    Pogledajte što će se dogoditi
    kada napravite isto u šestom redu.
  • 2:16 - 2:25
    Rješenje je 1 771 561,
    što je 11^6, i tako dalje.
  • 2:25 - 2:28
    Postoje i geometrijske primjene.
  • 2:28 - 2:30
    Pogledajte dijagonale.
  • 2:30 - 2:34
    Prve dvije nisu posebno zanimljive:
    samo jedinice, a zatim pozitivni brojevi;
  • 2:34 - 2:37
    poznatiji kao prirodni brojevi.
  • 2:37 - 2:41
    Ali brojevi u slijedećoj dijagonali
    zovu se trokutasti brojevi
  • 2:41 - 2:43
    jer ako uzmete toliko točkica,
  • 2:43 - 2:46
    možete ih naslagati
    u jednakostranične trokute.
  • 2:46 - 2:49
    Slijedeća dijagonala
    ima tetraedne brojeve
  • 2:49 - 2:55
    jer se navedeni broj sfera
    može naslagati u tetraedar.
  • 2:55 - 2:58
    Ili primjerice:
    zasjenčajte sve neparne brojeve.
  • 2:58 - 3:01
    To nije posebno zanimljivo
    kada je trokut mali,
  • 3:01 - 3:03
    ali ako se dodaje tisuće redova,
  • 3:03 - 3:07
    dobije se Sierpinskijev fraktal.
  • 3:07 - 3:11
    Ovaj trokut nije samo
    matematičko umjetničko djelo.
  • 3:11 - 3:13
    On je i koristan,
  • 3:13 - 3:15
    posebice u područjima
    vjerojatnosti i računanju
  • 3:15 - 3:19
    u području kombinatorike.
  • 3:19 - 3:20
    Ako primjerice želite imati
    petero djece
  • 3:20 - 3:22
    i želite znati koja je vjerojatnost
  • 3:22 - 3:27
    da dobijete kako ste sanjali:
    tri djevojčice i dva dječaka.
  • 3:27 - 3:28
    U zapisu pomoću potencije binoma,
  • 3:28 - 3:32
    to odgovara
    djevojčici + dječaku na petu potenciju.
  • 3:32 - 3:34
    Pa pogledajmo peti red,
  • 3:34 - 3:37
    gdje prvi broj odgovara pet djevojčica,
  • 3:37 - 3:40
    a posljednji pet dječaka.
  • 3:40 - 3:43
    Mi tražimo treći broj.
  • 3:43 - 3:47
    Deset kroz zbroj
    svih mogućnosti u tom redu.
  • 3:47 - 3:51
    pa je to, 10/32, ili 31.25%.
  • 3:51 - 3:55
    Ili, ako nasumično izabirete
    peteročlanu košarkašku momčad
  • 3:55 - 3:57
    iz skupine od 12 prijatelja,
  • 3:57 - 4:00
    koliko mogućih grupa
    od pet osoba postoji?
  • 4:00 - 4:05
    Jezikom kombinatorike, ovaj problem
    izražen je kao 12 povrh 5,
  • 4:05 - 4:07
    i računa se pomoću ove formule,
  • 4:07 - 4:12
    ili jednostavno možete pogledati
    šesti element dvanaestog reda u trokutu
  • 4:12 - 4:13
    i dobit ćete odgovor.
  • 4:13 - 4:15
    Obrasci u Pascalovom trokutu
  • 4:15 - 4:19
    dokaz su elegantnog
    ispreplitanja djelova matematike.
  • 4:19 - 4:23
    Sve njegove tajne još nisu otkrivene.
  • 4:23 - 4:27
    Na primjer, matematičari su nedavno
    otkrili način kako ga proširiti
  • 4:27 - 4:30
    na ovu vrstu polinoma.
  • 4:30 - 4:32
    Što ćemo naći slijedeće?
  • 4:32 - 4:34
    To je na vama.
Title:
Matematičke tajne Pascalovog trokuta - Wajdi Mohamed Ratemi
Speaker:
Wajdi Mohamed Ratemi
Description:

Pogledajte cijelu lekciju: http://ed.ted.com/lessons/the-mathematical-secrets-of-pascal-s-triangle-wajdi-mohamed-ratemi

Pascalov trokut, koji na prvi pogled izgleda samo kao uredno složen stog brojeva, zapravo je matematičko skriveno blago. Ali što u vezi njega je toliko intrigiralo matematičare diljem svijeta? Wajdi Mohamed Ratemi pokazat će kako je Pascalov trokut pun uzoraka i tajni.

Lekcija Wajdi Mohamed Ratemi, animacija Henrik Malmgren.

more » « less
Video Language:
English
Team:
closed TED
Project:
TED-Ed
Duration:
04:50

Croatian subtitles

Revisions