Statistics: Alternate Variance Formulas
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0:01 - 0:04我認爲現在是一個好時候
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0:01 - 0:15本字幕由網易公開課提供，更多課程請到http//open.163.com
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0:04 - 0:07來倒弄一下方差的公式
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0:07 - 0:11這樣做同時可以更好地幫助理解Σ符號及其意義
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0:11 - 0:14這樣做同時可以更好地幫助理解Σ符號及其意義
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0:14 - 0:17方差公式我講過很多次 這次用總體方差
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0:17 - 0:21方差公式我講過很多次 這次用總體方差
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0:17 - 0:25網易公開課官方微博 http://t.163.com/163open
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0:21 - 0:23幾乎和樣本變異數一樣 只是除以n而非n-1
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0:23 - 0:26幾乎和樣本變異數一樣 只是除以n而非n-1
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0:26 - 0:29總體方差等於…
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0:29 - 0:35取每個樣本點xi 減去均值
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0:30 - 0:45oCourse字幕組翻譯：只做公開課的字幕組 http://ocourse.org
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0:35 - 0:39平方 然後取平均值
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0:39 - 0:44也就是把每點到均值的距離的平方
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0:44 - 0:50從i=1到N加起來 然後除以N
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0:50 - 0:53下面把平方項乘出來 看得到什麽
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0:53 - 0:56下面把平方項乘出來 看得到什麽
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0:56 - 0:59結果應該會比較有趣
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0:59 - 1:09這等價於Σ i=1到N… 我看看
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1:09 - 1:10乘出來就是xi2減去… 這就需要一些運算了
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1:10 - 1:18乘出來就是xi2減去… 這就需要一些運算了
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1:18 - 1:20乘出來就是xi2減去… 這就需要一些運算了
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1:20 - 1:22平方項也就是(xi-μ)乘以(xi-μ)
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1:22 - 1:30平方項也就是(xi-μ)乘以(xi-μ)
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1:30 - 1:34乘出來有xi乘以xi 即xi2
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1:34 - 1:39然後是xi乘以-μ
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1:39 - 1:41然後是-μmi
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1:41 - 1:48合並 得到-2xiμ
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1:48 - 1:50因爲-xiμ 出現了兩次
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1:50 - 1:55這裡是一個-xiμ 這是另一個-μxi
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1:55 - 1:58兩者相加 得到-2xiμ
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1:58 - 2:00這個下標i估計讓人有些迷糊
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2:00 - 2:04總的來講 這和計算(a-b)2沒有區別
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2:04 - 2:06只是變量複雜點
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2:06 - 2:15最後一項是-μ乘以-μ 得到正μ2
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2:15 - 2:16好
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2:16 - 2:20下面換個顏色 免得視覺疲勞
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2:20 - 2:23把這個圈出去
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2:23 - 2:26這個的和相當於…
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2:26 - 2:29想想 我們要取的是每個xi
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2:29 - 2:32總體中每個數字都要進行這樣的操作 然後相加
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2:32 - 2:34總體中每個數字都要進行這樣的操作 然後相加
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2:34 - 2:37想想 這相當於…
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2:37 - 2:38不熟悉Σ符號的人 通過這些可能會更理解一些
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2:38 - 2:41不熟悉Σ符號的人 通過這些可能會更理解一些
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2:41 - 2:44這相當於… 寫到這裡吧
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2:44 - 2:54i從1到N的第一項xi2的和
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2:54 - 3:02減去… 其實我們可以提出常數因子
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3:02 - 3:05同求和相關的只有包含i的因子
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3:05 - 3:08同求和相關的只有包含i的因子
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3:08 - 3:11這裡xi 也就是x? x?這些
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3:11 - 3:13這些需要留在Σ記號右側
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3:13 - 3:15這些需要留在Σ記號右側
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3:15 - 3:19看過微積分係列的同學應該知道
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3:19 - 3:23Σ符號只是積分符號的離散版
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3:23 - 3:26積分是對連續函數進行的
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3:26 - 3:29乘以的dx是很小的區間
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3:29 - 3:30而這裡 只是求和 微積分中我講過
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3:30 - 3:33而這裡 只是求和 微積分中我講過
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3:33 - 3:35積分是無限小的項的無限求和 我就不離題太遠
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3:35 - 3:39積分是無限小的項的無限求和 我就不離題太遠
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3:39 - 3:41回到這裡 然後看求和第二項
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3:41 - 3:44回到這裡 然後看求和第二項
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3:44 - 4:06它等於-2μΣxi i從1到N
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4:06 - 4:13最後加上… 這不過是個常數項
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4:13 - 4:17常數可以提出
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4:17 - 4:24μ2乘以Σ… i從1到N
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4:24 - 4:27裏面是什麽
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4:27 - 4:30是1 對吧 除以μ2後剩下1 提出後就是μ2Σ1
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4:30 - 4:33是1 對吧 除以μ2後剩下1 提出後就是μ2Σ1
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4:33 - 4:37是1 對吧 除以μ2後剩下1 提出後就是μ2Σ1
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4:37 - 4:39其實μ2可以不動 沒關係 就這樣化簡下
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4:39 - 4:42其實μ2可以不動 沒關係 就這樣化簡下
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4:42 - 4:46這個還算不出來 因爲xi是什麽還不知道
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4:46 - 4:48這個還算不出來 因爲xi是什麽還不知道
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4:48 - 4:52因此這個的和保持不變… 抱歉
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4:52 - 4:54這個只是分子 以上做的只是分子部分
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4:54 - 4:56這個只是分子 以上做的只是分子部分
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4:56 - 4:58之後還要除以N
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4:58 - 5:01這個除以N
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5:01 - 5:04等於這個除以N
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5:04 - 5:05最後再除以N吧 因爲分子才是最複雜的
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5:05 - 5:07最後再除以N吧 因爲分子才是最複雜的
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5:07 - 5:11還是來化簡這個
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5:11 - 5:20它等於Σxi2 i從1到N
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5:20 - 5:26減去2μ… 抱歉μ沒寫好 重寫一下
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5:26 - 5:28減去2μ… 抱歉μ沒寫好 重寫一下
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5:28 - 5:43減去2μΣxi i從1到N
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5:43 - 5:46然後這個怎麽化簡
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5:46 - 5:49這相當於1本身相加N次
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5:49 - 5:52對常數項求和 不過是本身相加N次
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5:52 - 5:54對常數項求和 不過是本身相加N次
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5:54 - 5:57裏面含有i項時 每一項隨i變化
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5:57 - 5:58裏面含有i項時 每一項隨i變化
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5:58 - 6:01但只有1時 相當於1本身相加N次 也就是N
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6:01 - 6:05但只有1時 相當於1本身相加N次 也就是N
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6:05 - 6:16因此第三項是+μ2N
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6:16 - 6:22再看看還能做些什麽
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6:22 - 6:26記住這只是分子部分 這一項很好
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6:26 - 6:28每一項相加就行了
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6:28 - 6:31這裡是-2μ
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6:31 - 6:34i從1到N 哦
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6:34 - 6:41想想這個 這是什麽
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6:41 - 6:45把分母的N寫出來
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6:45 - 6:48最後這個還要除以N
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6:48 - 6:51最後這個還要除以N
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6:51 - 6:56化簡結果這裡還要除以N
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6:56 - 6:58化簡結果這裡還要除以N
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7:01 - 7:03也就是每一項除以N
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7:03 - 7:08也就是這個
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7:08 - 7:11也就是這個
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7:11 - 7:14這個再怎麽化簡呢 這很有趣
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7:14 - 7:16第一項沒辦法 只能化簡到Σxi2/N i從1到N
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7:16 - 7:25第一項沒辦法 只能化簡到Σxi2/N i從1到N
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7:25 - 7:30有趣的是第二項
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7:30 - 7:35總體中所有項加起來 然後除以N 這是什麽
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7:35 - 7:38總體中所有項加起來 然後除以N 這是什麽
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7:38 - 7:42這個
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7:42 - 7:45總體中所有項加起來除以項數 也就是均值 對吧
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7:45 - 7:47總體中所有項加起來除以項數 也就是均值 對吧
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7:47 - 7:51這是總體均值 所以這個也是μ
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7:51 - 7:59這個化簡得什麽 -2乘以什麽
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7:59 - 8:01μ後面仍然是μ
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8:01 - 8:04所以是乘以μ2
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8:04 - 8:07μ是總體均值
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8:07 - 8:12這個化簡很妙 然後呢
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8:12 - 8:15這裡是μ2 然後N和N約去了
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8:15 - 8:17所以只剩下+μ2
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8:17 - 8:19化簡很妙
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8:19 - 8:22然後化簡爲… 這一項沒辦法
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8:22 - 8:37i從1到N Σxi2/N
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8:37 - 8:40然後是-2μ2+μ2
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8:40 - 8:48也就是-μ2 即減均值的平方
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8:48 - 8:50也就是-μ2 即減均值的平方
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8:50 - 8:54這就得到方差的簡潔寫法
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8:54 - 8:58這就得到方差的簡潔寫法
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8:58 - 9:01你可以對總體中所有數的平方求均值
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9:01 - 9:04你可以對總體中所有數的平方求均值
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9:04 - 9:08然後減去總體均值的平方
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9:08 - 9:09然後減去總體均值的平方
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9:09 - 9:12在某些情況下 這個公式能幫助更快計算方差
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9:12 - 9:15在某些情況下 這個公式能幫助更快計算方差
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9:15 - 9:18這裡只是稍微做了點代數運算
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9:18 - 9:20原來需要用每一點減去均值 然後平方
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9:20 - 9:23原來需要用每一點減去均值 然後平方
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9:23 - 9:26當然 之前需要求出均值
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9:26 - 9:28然後取平方 求和
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9:28 - 9:29求平均值 也就是最後除以N
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9:29 - 9:31求平均值 也就是最後除以N
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9:31 - 9:34這裡用一些代數運算化簡了公式
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9:34 - 9:37我們要得到所謂的"原始分數方法"
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9:37 - 9:42我們希望把所有項都寫成xi的形式
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9:42 - 9:44我們希望把所有項都寫成xi的形式
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9:44 - 9:48這通常是計算方差的更快方法
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9:48 - 9:52μ等於什麽 均值是什麽
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9:52 - 9:59均值等於i從1到N每項的和
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9:59 - 10:00均值等於i從1到N每項的和
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10:00 - 10:02均值等於i從1到N每項的和
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10:02 - 10:06除以項的個數
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10:06 - 10:10這就等於… 看這個
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10:10 - 10:15這個可以寫成… 我畫一條線
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10:15 - 10:21可以寫成 i從1到N 所有xi2之和 整個除以N
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10:21 - 10:29可以寫成 i從1到N 所有xi2之和 整個除以N
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10:29 - 10:34減去μ2 也就是這個的平方
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10:34 - 10:36也就是
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10:36 - 10:47i從1到N Σxi
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10:47 - 10:49i從1到N Σxi
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10:49 - 10:52這整個的平方
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10:52 - 10:55然後除以N2
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10:55 - 10:59然後除以N2
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10:59 - 11:02這個看起來複雜一些
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11:02 - 11:05我覺得這是最簡的公式
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11:05 - 11:07這裡可以先求出樣本平均數 放到一邊
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11:07 - 11:10這裡可以先求出樣本平均數 平方後 放到一邊
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11:10 - 11:13這裡可以先求出樣本平均數 平方後 放到一邊
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11:13 - 11:15這裡可以先求出樣本平均數 平方後 放到一邊
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11:15 - 11:17這裡可以取所有的數 然後平方 求和 再除以個數
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11:17 - 11:20這裡可以取所有的數 然後平方 求和 再除以個數
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11:20 - 11:22這裡可以取所有的數 然後平方 求和 再除以個數
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11:22 - 11:25我擦掉了最後那一組數
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11:25 - 11:27不過結果求得的方差肯定相等
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11:27 - 11:29在我看來 這是最簡的公式
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11:29 - 11:32不過這個也許會更快
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11:32 - 11:35因爲無需提前計算均值
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11:35 - 11:39只需要對每個xi進行該運算
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11:39 - 11:42然後相應除以N2或N 得到方差
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11:42 - 11:43然後相應除以N2或N 得到方差
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11:43 - 11:45不需要提前計算這個來得到方差
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11:45 - 11:46不需要提前計算這個來得到方差
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11:46 - 11:49我覺得這些應該很有指導性了
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11:49 - 11:51應該能幫助更直觀地理解Σ符號
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11:51 - 11:53應該能幫助更直觀地理解Σ符號
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11:53 - 11:55這些都是方差的公式
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11:55 - 11:58有些教材會說
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11:58 - 12:01總體方差可以是這個公式
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12:01 - 12:03總體方差也可以是這樣
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12:03 - 12:06也可以是這樣
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12:06 - 12:07其實 這些公式之間可以通過簡單純代數運算相互轉換
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12:07 - 12:12其實 這些公式之間可以通過簡單純代數運算相互轉換
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12:12 - 12:16好了 超時了 下次課見
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David Chiu added a translation |