1
00:00:00,590 --> 00:00:03,610
我認爲現在是一個好時候

2
00:00:03,610 --> 00:00:06,610
來倒弄一下方差的公式

3
00:00:06,610 --> 00:00:10,820
這樣做同時可以更好地幫助理解Σ符號及其意義

4
00:00:10,820 --> 00:00:13,570
這樣做同時可以更好地幫助理解Σ符號及其意義

5
00:00:13,570 --> 00:00:16,580
方差公式我講過很多次 這次用總體方差

6
00:00:16,580 --> 00:00:20,580
方差公式我講過很多次 這次用總體方差

7
00:00:20,580 --> 00:00:22,560
幾乎和樣本變異數一樣 只是除以n而非n-1

8
00:00:22,560 --> 00:00:25,530
幾乎和樣本變異數一樣 只是除以n而非n-1

9
00:00:25,530 --> 00:00:28,560
總體方差等於…

10
00:00:28,560 --> 00:00:34,610
取每個樣本點xi 減去均值

11
00:00:34,610 --> 00:00:38,520
平方 然後取平均值

12
00:00:38,520 --> 00:00:43,610
也就是把每點到均值的距離的平方

13
00:00:43,610 --> 00:00:49,590
從i=1到N加起來 然後除以N

14
00:00:49,590 --> 00:00:52,570
下面把平方項乘出來 看得到什麽

15
00:00:52,570 --> 00:00:55,560
下面把平方項乘出來 看得到什麽

16
00:00:55,560 --> 00:00:58,560
結果應該會比較有趣

17
00:00:58,560 --> 00:01:08,570
這等價於Σ i=1到N… 我看看

18
00:01:08,570 --> 00:01:09,590
乘出來就是xi2減去… 這就需要一些運算了

19
00:01:09,590 --> 00:01:17,560
乘出來就是xi2減去… 這就需要一些運算了

20
00:01:17,560 --> 00:01:19,540
乘出來就是xi2減去… 這就需要一些運算了

21
00:01:19,540 --> 00:01:21,540
平方項也就是(xi-μ)乘以(xi-μ)

22
00:01:21,540 --> 00:01:29,610
平方項也就是(xi-μ)乘以(xi-μ)

23
00:01:29,610 --> 00:01:33,570
乘出來有xi乘以xi 即xi2

24
00:01:33,570 --> 00:01:38,530
然後是xi乘以-μ

25
00:01:38,530 --> 00:01:40,580
然後是-μmi

26
00:01:40,580 --> 00:01:47,560
合並 得到-2xiμ

27
00:01:47,560 --> 00:01:49,610
因爲-xiμ 出現了兩次

28
00:01:49,610 --> 00:01:54,560
這裡是一個-xiμ 這是另一個-μxi

29
00:01:54,560 --> 00:01:57,550
兩者相加 得到-2xiμ

30
00:01:57,550 --> 00:01:59,590
這個下標i估計讓人有些迷糊

31
00:01:59,590 --> 00:02:03,560
總的來講 這和計算(a-b)2沒有區別

32
00:02:03,560 --> 00:02:05,570
只是變量複雜點

33
00:02:05,570 --> 00:02:14,560
最後一項是-μ乘以-μ 得到正μ2

34
00:02:14,560 --> 00:02:15,570
好

35
00:02:15,570 --> 00:02:19,530
下面換個顏色 免得視覺疲勞

36
00:02:19,530 --> 00:02:22,560
把這個圈出去

37
00:02:22,560 --> 00:02:25,720
這個的和相當於…

38
00:02:25,720 --> 00:02:28,610
想想 我們要取的是每個xi

39
00:02:28,610 --> 00:02:31,530
總體中每個數字都要進行這樣的操作 然後相加

40
00:02:31,530 --> 00:02:33,540
總體中每個數字都要進行這樣的操作 然後相加

41
00:02:33,540 --> 00:02:36,530
想想 這相當於…

42
00:02:36,530 --> 00:02:37,610
不熟悉Σ符號的人 通過這些可能會更理解一些

43
00:02:37,610 --> 00:02:40,580
不熟悉Σ符號的人 通過這些可能會更理解一些

44
00:02:40,580 --> 00:02:43,610
這相當於… 寫到這裡吧

45
00:02:43,610 --> 00:02:53,560
i從1到N的第一項xi2的和

46
00:02:53,560 --> 00:03:01,600
減去… 其實我們可以提出常數因子

47
00:03:01,600 --> 00:03:04,570
同求和相關的只有包含i的因子

48
00:03:04,570 --> 00:03:07,530
同求和相關的只有包含i的因子

49
00:03:07,530 --> 00:03:10,520
這裡xi 也就是x? x?這些

50
00:03:10,520 --> 00:03:12,520
這些需要留在Σ記號右側

51
00:03:12,520 --> 00:03:14,520
這些需要留在Σ記號右側

52
00:03:14,520 --> 00:03:18,520
看過微積分係列的同學應該知道

53
00:03:18,520 --> 00:03:22,530
Σ符號只是積分符號的離散版

54
00:03:22,530 --> 00:03:25,550
積分是對連續函數進行的

55
00:03:25,550 --> 00:03:28,560
乘以的dx是很小的區間

56
00:03:28,560 --> 00:03:29,570
而這裡 只是求和 微積分中我講過

57
00:03:29,570 --> 00:03:32,610
而這裡 只是求和 微積分中我講過

58
00:03:32,610 --> 00:03:35,030
積分是無限小的項的無限求和 我就不離題太遠

59
00:03:35,030 --> 00:03:38,550
積分是無限小的項的無限求和 我就不離題太遠

60
00:03:38,550 --> 00:03:40,610
回到這裡 然後看求和第二項

61
00:03:40,610 --> 00:03:43,590
回到這裡 然後看求和第二項

62
00:03:43,590 --> 00:04:05,540
它等於-2μΣxi i從1到N

63
00:04:05,540 --> 00:04:12,540
最後加上… 這不過是個常數項

64
00:04:12,540 --> 00:04:16,610
常數可以提出

65
00:04:16,610 --> 00:04:23,600
μ2乘以Σ… i從1到N

66
00:04:23,600 --> 00:04:26,520
裏面是什麽

67
00:04:26,520 --> 00:04:29,540
是1 對吧 除以μ2後剩下1 提出後就是μ2Σ1

68
00:04:29,540 --> 00:04:32,590
是1 對吧 除以μ2後剩下1 提出後就是μ2Σ1

69
00:04:32,590 --> 00:04:36,560
是1 對吧 除以μ2後剩下1 提出後就是μ2Σ1

70
00:04:36,560 --> 00:04:38,590
其實μ2可以不動 沒關係 就這樣化簡下

71
00:04:38,590 --> 00:04:41,530
其實μ2可以不動 沒關係 就這樣化簡下

72
00:04:41,530 --> 00:04:45,530
這個還算不出來 因爲xi是什麽還不知道

73
00:04:45,530 --> 00:04:47,550
這個還算不出來 因爲xi是什麽還不知道

74
00:04:47,550 --> 00:04:51,530
因此這個的和保持不變… 抱歉

75
00:04:51,530 --> 00:04:53,530
這個只是分子 以上做的只是分子部分

76
00:04:53,530 --> 00:04:55,600
這個只是分子 以上做的只是分子部分

77
00:04:55,600 --> 00:04:57,600
之後還要除以N

78
00:04:57,600 --> 00:05:00,580
這個除以N

79
00:05:00,580 --> 00:05:03,520
等於這個除以N

80
00:05:03,520 --> 00:05:04,520
最後再除以N吧 因爲分子才是最複雜的

81
00:05:04,520 --> 00:05:06,530
最後再除以N吧 因爲分子才是最複雜的

82
00:05:06,530 --> 00:05:10,610
還是來化簡這個

83
00:05:10,610 --> 00:05:19,590
它等於Σxi2 i從1到N

84
00:05:19,590 --> 00:05:25,580
減去2μ… 抱歉μ沒寫好 重寫一下

85
00:05:25,580 --> 00:05:27,610
減去2μ… 抱歉μ沒寫好 重寫一下

86
00:05:27,610 --> 00:05:42,520
減去2μΣxi i從1到N

87
00:05:42,520 --> 00:05:45,540
然後這個怎麽化簡

88
00:05:45,540 --> 00:05:48,600
這相當於1本身相加N次

89
00:05:48,600 --> 00:05:51,590
對常數項求和 不過是本身相加N次

90
00:05:51,590 --> 00:05:53,580
對常數項求和 不過是本身相加N次

91
00:05:53,580 --> 00:05:57,030
裏面含有i項時 每一項隨i變化

92
00:05:57,030 --> 00:05:57,600
裏面含有i項時 每一項隨i變化

93
00:05:57,600 --> 00:06:00,550
但只有1時 相當於1本身相加N次 也就是N

94
00:06:00,550 --> 00:06:04,590
但只有1時 相當於1本身相加N次 也就是N

95
00:06:04,590 --> 00:06:15,560
因此第三項是+μ2N

96
00:06:15,560 --> 00:06:21,610
再看看還能做些什麽

97
00:06:21,610 --> 00:06:25,560
記住這只是分子部分 這一項很好

98
00:06:25,560 --> 00:06:27,560
每一項相加就行了

99
00:06:27,560 --> 00:06:30,610
這裡是-2μ

100
00:06:30,610 --> 00:06:33,600
i從1到N 哦

101
00:06:33,600 --> 00:06:40,530
想想這個 這是什麽

102
00:06:40,530 --> 00:06:44,540
把分母的N寫出來

103
00:06:44,540 --> 00:06:47,550
最後這個還要除以N

104
00:06:47,550 --> 00:06:50,570
最後這個還要除以N

105
00:06:50,570 --> 00:06:55,560
化簡結果這裡還要除以N

106
00:06:55,560 --> 00:06:57,600
化簡結果這裡還要除以N

107
00:07:00,570 --> 00:07:02,590
也就是每一項除以N

108
00:07:02,590 --> 00:07:07,540
也就是這個

109
00:07:07,540 --> 00:07:10,530
也就是這個

110
00:07:10,530 --> 00:07:13,590
這個再怎麽化簡呢 這很有趣

111
00:07:13,590 --> 00:07:15,580
第一項沒辦法 只能化簡到Σxi2/N i從1到N

112
00:07:15,580 --> 00:07:24,580
第一項沒辦法 只能化簡到Σxi2/N i從1到N

113
00:07:24,580 --> 00:07:29,580
有趣的是第二項

114
00:07:29,580 --> 00:07:34,530
總體中所有項加起來 然後除以N 這是什麽

115
00:07:34,530 --> 00:07:37,600
總體中所有項加起來 然後除以N 這是什麽

116
00:07:37,600 --> 00:07:41,530
這個

117
00:07:41,530 --> 00:07:44,540
總體中所有項加起來除以項數 也就是均值 對吧

118
00:07:44,540 --> 00:07:46,570
總體中所有項加起來除以項數 也就是均值 對吧

119
00:07:46,570 --> 00:07:50,600
這是總體均值 所以這個也是μ

120
00:07:50,600 --> 00:07:58,520
這個化簡得什麽 -2乘以什麽

121
00:07:58,520 --> 00:08:00,520
μ後面仍然是μ

122
00:08:00,520 --> 00:08:03,600
所以是乘以μ2

123
00:08:03,600 --> 00:08:06,530
μ是總體均值

124
00:08:06,530 --> 00:08:11,600
這個化簡很妙 然後呢

125
00:08:11,600 --> 00:08:14,610
這裡是μ2 然後N和N約去了

126
00:08:14,610 --> 00:08:16,550
所以只剩下+μ2

127
00:08:16,550 --> 00:08:18,570
化簡很妙

128
00:08:18,570 --> 00:08:21,590
然後化簡爲… 這一項沒辦法

129
00:08:21,590 --> 00:08:36,570
i從1到N Σxi2/N

130
00:08:36,570 --> 00:08:39,570
然後是-2μ2+μ2

131
00:08:39,570 --> 00:08:47,550
也就是-μ2 即減均值的平方

132
00:08:47,550 --> 00:08:49,590
也就是-μ2 即減均值的平方

133
00:08:49,590 --> 00:08:53,590
這就得到方差的簡潔寫法

134
00:08:53,590 --> 00:08:57,610
這就得到方差的簡潔寫法

135
00:08:57,610 --> 00:09:00,600
你可以對總體中所有數的平方求均值

136
00:09:00,600 --> 00:09:03,570
你可以對總體中所有數的平方求均值

137
00:09:03,570 --> 00:09:07,560
然後減去總體均值的平方

138
00:09:07,560 --> 00:09:08,610
然後減去總體均值的平方

139
00:09:08,610 --> 00:09:11,540
在某些情況下 這個公式能幫助更快計算方差

140
00:09:11,540 --> 00:09:14,600
在某些情況下 這個公式能幫助更快計算方差

141
00:09:14,600 --> 00:09:17,540
這裡只是稍微做了點代數運算

142
00:09:17,540 --> 00:09:19,560
原來需要用每一點減去均值 然後平方

143
00:09:19,560 --> 00:09:22,540
原來需要用每一點減去均值 然後平方

144
00:09:22,540 --> 00:09:25,570
當然 之前需要求出均值

145
00:09:25,570 --> 00:09:27,520
然後取平方 求和

146
00:09:27,520 --> 00:09:28,600
求平均值 也就是最後除以N

147
00:09:28,600 --> 00:09:30,780
求平均值 也就是最後除以N

148
00:09:30,780 --> 00:09:33,590
這裡用一些代數運算化簡了公式

149
00:09:33,590 --> 00:09:36,580
我們要得到所謂的"原始分數方法"

150
00:09:36,580 --> 00:09:41,530
我們希望把所有項都寫成xi的形式

151
00:09:41,530 --> 00:09:43,560
我們希望把所有項都寫成xi的形式

152
00:09:43,560 --> 00:09:47,550
這通常是計算方差的更快方法

153
00:09:47,550 --> 00:09:51,540
μ等於什麽 均值是什麽

154
00:09:51,540 --> 00:09:58,530
均值等於i從1到N每項的和

155
00:09:58,530 --> 00:09:59,580
均值等於i從1到N每項的和

156
00:09:59,580 --> 00:10:01,590
均值等於i從1到N每項的和

157
00:10:01,590 --> 00:10:05,600
除以項的個數

158
00:10:05,600 --> 00:10:09,560
這就等於… 看這個

159
00:10:09,560 --> 00:10:14,580
這個可以寫成… 我畫一條線

160
00:10:14,580 --> 00:10:20,580
可以寫成 i從1到N 所有xi2之和 整個除以N

161
00:10:20,580 --> 00:10:28,580
可以寫成 i從1到N 所有xi2之和 整個除以N

162
00:10:28,580 --> 00:10:33,570
減去μ2 也就是這個的平方

163
00:10:33,570 --> 00:10:35,570
也就是

164
00:10:35,570 --> 00:10:46,560
i從1到N Σxi

165
00:10:46,560 --> 00:10:48,540
i從1到N Σxi

166
00:10:48,540 --> 00:10:51,590
這整個的平方

167
00:10:51,590 --> 00:10:54,580
然後除以N2

168
00:10:54,580 --> 00:10:58,560
然後除以N2

169
00:10:58,560 --> 00:11:01,540
這個看起來複雜一些

170
00:11:01,540 --> 00:11:04,580
我覺得這是最簡的公式

171
00:11:04,580 --> 00:11:06,590
這裡可以先求出樣本平均數 放到一邊

172
00:11:06,590 --> 00:11:09,600
這裡可以先求出樣本平均數 平方後 放到一邊

173
00:11:09,600 --> 00:11:12,590
這裡可以先求出樣本平均數 平方後 放到一邊

174
00:11:12,590 --> 00:11:14,520
這裡可以先求出樣本平均數 平方後 放到一邊

175
00:11:14,520 --> 00:11:16,590
這裡可以取所有的數 然後平方 求和 再除以個數

176
00:11:16,590 --> 00:11:19,530
這裡可以取所有的數 然後平方 求和 再除以個數

177
00:11:19,530 --> 00:11:21,600
這裡可以取所有的數 然後平方 求和 再除以個數

178
00:11:21,600 --> 00:11:24,520
我擦掉了最後那一組數

179
00:11:24,520 --> 00:11:26,550
不過結果求得的方差肯定相等

180
00:11:26,550 --> 00:11:28,560
在我看來 這是最簡的公式

181
00:11:28,560 --> 00:11:31,540
不過這個也許會更快

182
00:11:31,540 --> 00:11:34,540
因爲無需提前計算均值

183
00:11:34,540 --> 00:11:38,590
只需要對每個xi進行該運算

184
00:11:38,590 --> 00:11:41,540
然後相應除以N2或N 得到方差

185
00:11:41,540 --> 00:11:42,550
然後相應除以N2或N 得到方差

186
00:11:42,550 --> 00:11:44,610
不需要提前計算這個來得到方差

187
00:11:44,610 --> 00:11:45,580
不需要提前計算這個來得到方差

188
00:11:45,580 --> 00:11:48,520
我覺得這些應該很有指導性了

189
00:11:48,520 --> 00:11:50,590
應該能幫助更直觀地理解Σ符號

190
00:11:50,590 --> 00:11:52,550
應該能幫助更直觀地理解Σ符號

191
00:11:52,550 --> 00:11:54,610
這些都是方差的公式

192
00:11:54,610 --> 00:11:57,560
有些教材會說

193
00:11:57,560 --> 00:12:00,730
總體方差可以是這個公式

194
00:12:00,730 --> 00:12:02,600
總體方差也可以是這樣

195
00:12:02,600 --> 00:12:05,530
也可以是這樣

196
00:12:05,530 --> 00:12:06,590
其實 這些公式之間可以通過簡單純代數運算相互轉換

197
00:12:06,590 --> 00:12:11,600
其實 這些公式之間可以通過簡單純代數運算相互轉換

198
00:12:11,600 --> 00:12:15,590
好了 超時了 下次課見

199
00:00:01,000 --> 00:00:15,000
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200
00:00:17,070 --> 00:00:25,070
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201
00:00:30,070 --> 00:00:45,070
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