0:00:00.590,0:00:03.610 我認爲現在是一個好時候 0:00:03.610,0:00:06.610 來倒弄一下方差的公式 0:00:06.610,0:00:10.820 這樣做同時可以更好地幫助理解Σ符號及其意義 0:00:10.820,0:00:13.570 這樣做同時可以更好地幫助理解Σ符號及其意義 0:00:13.570,0:00:16.580 方差公式我講過很多次 這次用總體方差 0:00:16.580,0:00:20.580 方差公式我講過很多次 這次用總體方差 0:00:20.580,0:00:22.560 幾乎和樣本變異數一樣 只是除以n而非n-1 0:00:22.560,0:00:25.530 幾乎和樣本變異數一樣 只是除以n而非n-1 0:00:25.530,0:00:28.560 總體方差等於… 0:00:28.560,0:00:34.610 取每個樣本點xi 減去均值 0:00:34.610,0:00:38.520 平方 然後取平均值 0:00:38.520,0:00:43.610 也就是把每點到均值的距離的平方 0:00:43.610,0:00:49.590 從i=1到N加起來 然後除以N 0:00:49.590,0:00:52.570 下面把平方項乘出來 看得到什麽 0:00:52.570,0:00:55.560 下面把平方項乘出來 看得到什麽 0:00:55.560,0:00:58.560 結果應該會比較有趣 0:00:58.560,0:01:08.570 這等價於Σ i=1到N… 我看看 0:01:08.570,0:01:09.590 乘出來就是xi2減去… 這就需要一些運算了 0:01:09.590,0:01:17.560 乘出來就是xi2減去… 這就需要一些運算了 0:01:17.560,0:01:19.540 乘出來就是xi2減去… 這就需要一些運算了 0:01:19.540,0:01:21.540 平方項也就是(xi-μ)乘以(xi-μ) 0:01:21.540,0:01:29.610 平方項也就是(xi-μ)乘以(xi-μ) 0:01:29.610,0:01:33.570 乘出來有xi乘以xi 即xi2 0:01:33.570,0:01:38.530 然後是xi乘以-μ 0:01:38.530,0:01:40.580 然後是-μmi 0:01:40.580,0:01:47.560 合並 得到-2xiμ 0:01:47.560,0:01:49.610 因爲-xiμ 出現了兩次 0:01:49.610,0:01:54.560 這裡是一個-xiμ 這是另一個-μxi 0:01:54.560,0:01:57.550 兩者相加 得到-2xiμ 0:01:57.550,0:01:59.590 這個下標i估計讓人有些迷糊 0:01:59.590,0:02:03.560 總的來講 這和計算(a-b)2沒有區別 0:02:03.560,0:02:05.570 只是變量複雜點 0:02:05.570,0:02:14.560 最後一項是-μ乘以-μ 得到正μ2 0:02:14.560,0:02:15.570 好 0:02:15.570,0:02:19.530 下面換個顏色 免得視覺疲勞 0:02:19.530,0:02:22.560 把這個圈出去 0:02:22.560,0:02:25.720 這個的和相當於… 0:02:25.720,0:02:28.610 想想 我們要取的是每個xi 0:02:28.610,0:02:31.530 總體中每個數字都要進行這樣的操作 然後相加 0:02:31.530,0:02:33.540 總體中每個數字都要進行這樣的操作 然後相加 0:02:33.540,0:02:36.530 想想 這相當於… 0:02:36.530,0:02:37.610 不熟悉Σ符號的人 通過這些可能會更理解一些 0:02:37.610,0:02:40.580 不熟悉Σ符號的人 通過這些可能會更理解一些 0:02:40.580,0:02:43.610 這相當於… 寫到這裡吧 0:02:43.610,0:02:53.560 i從1到N的第一項xi2的和 0:02:53.560,0:03:01.600 減去… 其實我們可以提出常數因子 0:03:01.600,0:03:04.570 同求和相關的只有包含i的因子 0:03:04.570,0:03:07.530 同求和相關的只有包含i的因子 0:03:07.530,0:03:10.520 這裡xi 也就是x? x?這些 0:03:10.520,0:03:12.520 這些需要留在Σ記號右側 0:03:12.520,0:03:14.520 這些需要留在Σ記號右側 0:03:14.520,0:03:18.520 看過微積分係列的同學應該知道 0:03:18.520,0:03:22.530 Σ符號只是積分符號的離散版 0:03:22.530,0:03:25.550 積分是對連續函數進行的 0:03:25.550,0:03:28.560 乘以的dx是很小的區間 0:03:28.560,0:03:29.570 而這裡 只是求和 微積分中我講過 0:03:29.570,0:03:32.610 而這裡 只是求和 微積分中我講過 0:03:32.610,0:03:35.030 積分是無限小的項的無限求和 我就不離題太遠 0:03:35.030,0:03:38.550 積分是無限小的項的無限求和 我就不離題太遠 0:03:38.550,0:03:40.610 回到這裡 然後看求和第二項 0:03:40.610,0:03:43.590 回到這裡 然後看求和第二項 0:03:43.590,0:04:05.540 它等於-2μΣxi i從1到N 0:04:05.540,0:04:12.540 最後加上… 這不過是個常數項 0:04:12.540,0:04:16.610 常數可以提出 0:04:16.610,0:04:23.600 μ2乘以Σ… i從1到N 0:04:23.600,0:04:26.520 裏面是什麽 0:04:26.520,0:04:29.540 是1 對吧 除以μ2後剩下1 提出後就是μ2Σ1 0:04:29.540,0:04:32.590 是1 對吧 除以μ2後剩下1 提出後就是μ2Σ1 0:04:32.590,0:04:36.560 是1 對吧 除以μ2後剩下1 提出後就是μ2Σ1 0:04:36.560,0:04:38.590 其實μ2可以不動 沒關係 就這樣化簡下 0:04:38.590,0:04:41.530 其實μ2可以不動 沒關係 就這樣化簡下 0:04:41.530,0:04:45.530 這個還算不出來 因爲xi是什麽還不知道 0:04:45.530,0:04:47.550 這個還算不出來 因爲xi是什麽還不知道 0:04:47.550,0:04:51.530 因此這個的和保持不變… 抱歉 0:04:51.530,0:04:53.530 這個只是分子 以上做的只是分子部分 0:04:53.530,0:04:55.600 這個只是分子 以上做的只是分子部分 0:04:55.600,0:04:57.600 之後還要除以N 0:04:57.600,0:05:00.580 這個除以N 0:05:00.580,0:05:03.520 等於這個除以N 0:05:03.520,0:05:04.520 最後再除以N吧 因爲分子才是最複雜的 0:05:04.520,0:05:06.530 最後再除以N吧 因爲分子才是最複雜的 0:05:06.530,0:05:10.610 還是來化簡這個 0:05:10.610,0:05:19.590 它等於Σxi2 i從1到N 0:05:19.590,0:05:25.580 減去2μ… 抱歉μ沒寫好 重寫一下 0:05:25.580,0:05:27.610 減去2μ… 抱歉μ沒寫好 重寫一下 0:05:27.610,0:05:42.520 減去2μΣxi i從1到N 0:05:42.520,0:05:45.540 然後這個怎麽化簡 0:05:45.540,0:05:48.600 這相當於1本身相加N次 0:05:48.600,0:05:51.590 對常數項求和 不過是本身相加N次 0:05:51.590,0:05:53.580 對常數項求和 不過是本身相加N次 0:05:53.580,0:05:57.030 裏面含有i項時 每一項隨i變化 0:05:57.030,0:05:57.600 裏面含有i項時 每一項隨i變化 0:05:57.600,0:06:00.550 但只有1時 相當於1本身相加N次 也就是N 0:06:00.550,0:06:04.590 但只有1時 相當於1本身相加N次 也就是N 0:06:04.590,0:06:15.560 因此第三項是+μ2N 0:06:15.560,0:06:21.610 再看看還能做些什麽 0:06:21.610,0:06:25.560 記住這只是分子部分 這一項很好 0:06:25.560,0:06:27.560 每一項相加就行了 0:06:27.560,0:06:30.610 這裡是-2μ 0:06:30.610,0:06:33.600 i從1到N 哦 0:06:33.600,0:06:40.530 想想這個 這是什麽 0:06:40.530,0:06:44.540 把分母的N寫出來 0:06:44.540,0:06:47.550 最後這個還要除以N 0:06:47.550,0:06:50.570 最後這個還要除以N 0:06:50.570,0:06:55.560 化簡結果這裡還要除以N 0:06:55.560,0:06:57.600 化簡結果這裡還要除以N 0:07:00.570,0:07:02.590 也就是每一項除以N 0:07:02.590,0:07:07.540 也就是這個 0:07:07.540,0:07:10.530 也就是這個 0:07:10.530,0:07:13.590 這個再怎麽化簡呢 這很有趣 0:07:13.590,0:07:15.580 第一項沒辦法 只能化簡到Σxi2/N i從1到N 0:07:15.580,0:07:24.580 第一項沒辦法 只能化簡到Σxi2/N i從1到N 0:07:24.580,0:07:29.580 有趣的是第二項 0:07:29.580,0:07:34.530 總體中所有項加起來 然後除以N 這是什麽 0:07:34.530,0:07:37.600 總體中所有項加起來 然後除以N 這是什麽 0:07:37.600,0:07:41.530 這個 0:07:41.530,0:07:44.540 總體中所有項加起來除以項數 也就是均值 對吧 0:07:44.540,0:07:46.570 總體中所有項加起來除以項數 也就是均值 對吧 0:07:46.570,0:07:50.600 這是總體均值 所以這個也是μ 0:07:50.600,0:07:58.520 這個化簡得什麽 -2乘以什麽 0:07:58.520,0:08:00.520 μ後面仍然是μ 0:08:00.520,0:08:03.600 所以是乘以μ2 0:08:03.600,0:08:06.530 μ是總體均值 0:08:06.530,0:08:11.600 這個化簡很妙 然後呢 0:08:11.600,0:08:14.610 這裡是μ2 然後N和N約去了 0:08:14.610,0:08:16.550 所以只剩下+μ2 0:08:16.550,0:08:18.570 化簡很妙 0:08:18.570,0:08:21.590 然後化簡爲… 這一項沒辦法 0:08:21.590,0:08:36.570 i從1到N Σxi2/N 0:08:36.570,0:08:39.570 然後是-2μ2+μ2 0:08:39.570,0:08:47.550 也就是-μ2 即減均值的平方 0:08:47.550,0:08:49.590 也就是-μ2 即減均值的平方 0:08:49.590,0:08:53.590 這就得到方差的簡潔寫法 0:08:53.590,0:08:57.610 這就得到方差的簡潔寫法 0:08:57.610,0:09:00.600 你可以對總體中所有數的平方求均值 0:09:00.600,0:09:03.570 你可以對總體中所有數的平方求均值 0:09:03.570,0:09:07.560 然後減去總體均值的平方 0:09:07.560,0:09:08.610 然後減去總體均值的平方 0:09:08.610,0:09:11.540 在某些情況下 這個公式能幫助更快計算方差 0:09:11.540,0:09:14.600 在某些情況下 這個公式能幫助更快計算方差 0:09:14.600,0:09:17.540 這裡只是稍微做了點代數運算 0:09:17.540,0:09:19.560 原來需要用每一點減去均值 然後平方 0:09:19.560,0:09:22.540 原來需要用每一點減去均值 然後平方 0:09:22.540,0:09:25.570 當然 之前需要求出均值 0:09:25.570,0:09:27.520 然後取平方 求和 0:09:27.520,0:09:28.600 求平均值 也就是最後除以N 0:09:28.600,0:09:30.780 求平均值 也就是最後除以N 0:09:30.780,0:09:33.590 這裡用一些代數運算化簡了公式 0:09:33.590,0:09:36.580 我們要得到所謂的"原始分數方法" 0:09:36.580,0:09:41.530 我們希望把所有項都寫成xi的形式 0:09:41.530,0:09:43.560 我們希望把所有項都寫成xi的形式 0:09:43.560,0:09:47.550 這通常是計算方差的更快方法 0:09:47.550,0:09:51.540 μ等於什麽 均值是什麽 0:09:51.540,0:09:58.530 均值等於i從1到N每項的和 0:09:58.530,0:09:59.580 均值等於i從1到N每項的和 0:09:59.580,0:10:01.590 均值等於i從1到N每項的和 0:10:01.590,0:10:05.600 除以項的個數 0:10:05.600,0:10:09.560 這就等於… 看這個 0:10:09.560,0:10:14.580 這個可以寫成… 我畫一條線 0:10:14.580,0:10:20.580 可以寫成 i從1到N 所有xi2之和 整個除以N 0:10:20.580,0:10:28.580 可以寫成 i從1到N 所有xi2之和 整個除以N 0:10:28.580,0:10:33.570 減去μ2 也就是這個的平方 0:10:33.570,0:10:35.570 也就是 0:10:35.570,0:10:46.560 i從1到N Σxi 0:10:46.560,0:10:48.540 i從1到N Σxi 0:10:48.540,0:10:51.590 這整個的平方 0:10:51.590,0:10:54.580 然後除以N2 0:10:54.580,0:10:58.560 然後除以N2 0:10:58.560,0:11:01.540 這個看起來複雜一些 0:11:01.540,0:11:04.580 我覺得這是最簡的公式 0:11:04.580,0:11:06.590 這裡可以先求出樣本平均數 放到一邊 0:11:06.590,0:11:09.600 這裡可以先求出樣本平均數 平方後 放到一邊 0:11:09.600,0:11:12.590 這裡可以先求出樣本平均數 平方後 放到一邊 0:11:12.590,0:11:14.520 這裡可以先求出樣本平均數 平方後 放到一邊 0:11:14.520,0:11:16.590 這裡可以取所有的數 然後平方 求和 再除以個數 0:11:16.590,0:11:19.530 這裡可以取所有的數 然後平方 求和 再除以個數 0:11:19.530,0:11:21.600 這裡可以取所有的數 然後平方 求和 再除以個數 0:11:21.600,0:11:24.520 我擦掉了最後那一組數 0:11:24.520,0:11:26.550 不過結果求得的方差肯定相等 0:11:26.550,0:11:28.560 在我看來 這是最簡的公式 0:11:28.560,0:11:31.540 不過這個也許會更快 0:11:31.540,0:11:34.540 因爲無需提前計算均值 0:11:34.540,0:11:38.590 只需要對每個xi進行該運算 0:11:38.590,0:11:41.540 然後相應除以N2或N 得到方差 0:11:41.540,0:11:42.550 然後相應除以N2或N 得到方差 0:11:42.550,0:11:44.610 不需要提前計算這個來得到方差 0:11:44.610,0:11:45.580 不需要提前計算這個來得到方差 0:11:45.580,0:11:48.520 我覺得這些應該很有指導性了 0:11:48.520,0:11:50.590 應該能幫助更直觀地理解Σ符號 0:11:50.590,0:11:52.550 應該能幫助更直觀地理解Σ符號 0:11:52.550,0:11:54.610 這些都是方差的公式 0:11:54.610,0:11:57.560 有些教材會說 0:11:57.560,0:12:00.730 總體方差可以是這個公式 0:12:00.730,0:12:02.600 總體方差也可以是這樣 0:12:02.600,0:12:05.530 也可以是這樣 0:12:05.530,0:12:06.590 其實 這些公式之間可以通過簡單純代數運算相互轉換 0:12:06.590,0:12:11.600 其實 這些公式之間可以通過簡單純代數運算相互轉換 0:12:11.600,0:12:15.590 好了 超時了 下次課見 0:00:01.000,0:00:15.000 本字幕由網易公開課提供,更多課程請到http//open.163.com 0:00:17.070,0:00:25.070 網易公開課官方微博 http://t.163.com/163open 0:00:30.070,0:00:45.070 oCourse字幕組翻譯:只做公開課的字幕組 http://ocourse.org