WEBVTT

00:00:00.590 --> 00:00:03.610
我認爲現在是一個好時候

00:00:03.610 --> 00:00:06.610
來倒弄一下方差的公式

00:00:06.610 --> 00:00:10.820
這樣做同時可以更好地幫助理解Σ符號及其意義

00:00:10.820 --> 00:00:13.570
這樣做同時可以更好地幫助理解Σ符號及其意義

00:00:13.570 --> 00:00:16.580
方差公式我講過很多次 這次用總體方差

00:00:16.580 --> 00:00:20.580
方差公式我講過很多次 這次用總體方差

00:00:20.580 --> 00:00:22.560
幾乎和樣本變異數一樣 只是除以n而非n-1

00:00:22.560 --> 00:00:25.530
幾乎和樣本變異數一樣 只是除以n而非n-1

00:00:25.530 --> 00:00:28.560
總體方差等於…

00:00:28.560 --> 00:00:34.610
取每個樣本點xi 減去均值

00:00:34.610 --> 00:00:38.520
平方 然後取平均值

00:00:38.520 --> 00:00:43.610
也就是把每點到均值的距離的平方

00:00:43.610 --> 00:00:49.590
從i=1到N加起來 然後除以N

00:00:49.590 --> 00:00:52.570
下面把平方項乘出來 看得到什麽

00:00:52.570 --> 00:00:55.560
下面把平方項乘出來 看得到什麽

00:00:55.560 --> 00:00:58.560
結果應該會比較有趣

00:00:58.560 --> 00:01:08.570
這等價於Σ i=1到N… 我看看

00:01:08.570 --> 00:01:09.590
乘出來就是xi2減去… 這就需要一些運算了

00:01:09.590 --> 00:01:17.560
乘出來就是xi2減去… 這就需要一些運算了

00:01:17.560 --> 00:01:19.540
乘出來就是xi2減去… 這就需要一些運算了

00:01:19.540 --> 00:01:21.540
平方項也就是(xi-μ)乘以(xi-μ)

00:01:21.540 --> 00:01:29.610
平方項也就是(xi-μ)乘以(xi-μ)

00:01:29.610 --> 00:01:33.570
乘出來有xi乘以xi 即xi2

00:01:33.570 --> 00:01:38.530
然後是xi乘以-μ

00:01:38.530 --> 00:01:40.580
然後是-μmi

00:01:40.580 --> 00:01:47.560
合並 得到-2xiμ

00:01:47.560 --> 00:01:49.610
因爲-xiμ 出現了兩次

00:01:49.610 --> 00:01:54.560
這裡是一個-xiμ 這是另一個-μxi

00:01:54.560 --> 00:01:57.550
兩者相加 得到-2xiμ

00:01:57.550 --> 00:01:59.590
這個下標i估計讓人有些迷糊

00:01:59.590 --> 00:02:03.560
總的來講 這和計算(a-b)2沒有區別

00:02:03.560 --> 00:02:05.570
只是變量複雜點

00:02:05.570 --> 00:02:14.560
最後一項是-μ乘以-μ 得到正μ2

00:02:14.560 --> 00:02:15.570
好

00:02:15.570 --> 00:02:19.530
下面換個顏色 免得視覺疲勞

00:02:19.530 --> 00:02:22.560
把這個圈出去

00:02:22.560 --> 00:02:25.720
這個的和相當於…

00:02:25.720 --> 00:02:28.610
想想 我們要取的是每個xi

00:02:28.610 --> 00:02:31.530
總體中每個數字都要進行這樣的操作 然後相加

00:02:31.530 --> 00:02:33.540
總體中每個數字都要進行這樣的操作 然後相加

00:02:33.540 --> 00:02:36.530
想想 這相當於…

00:02:36.530 --> 00:02:37.610
不熟悉Σ符號的人 通過這些可能會更理解一些

00:02:37.610 --> 00:02:40.580
不熟悉Σ符號的人 通過這些可能會更理解一些

00:02:40.580 --> 00:02:43.610
這相當於… 寫到這裡吧

00:02:43.610 --> 00:02:53.560
i從1到N的第一項xi2的和

00:02:53.560 --> 00:03:01.600
減去… 其實我們可以提出常數因子

00:03:01.600 --> 00:03:04.570
同求和相關的只有包含i的因子

00:03:04.570 --> 00:03:07.530
同求和相關的只有包含i的因子

00:03:07.530 --> 00:03:10.520
這裡xi 也就是x? x?這些

00:03:10.520 --> 00:03:12.520
這些需要留在Σ記號右側

00:03:12.520 --> 00:03:14.520
這些需要留在Σ記號右側

00:03:14.520 --> 00:03:18.520
看過微積分係列的同學應該知道

00:03:18.520 --> 00:03:22.530
Σ符號只是積分符號的離散版

00:03:22.530 --> 00:03:25.550
積分是對連續函數進行的

00:03:25.550 --> 00:03:28.560
乘以的dx是很小的區間

00:03:28.560 --> 00:03:29.570
而這裡 只是求和 微積分中我講過

00:03:29.570 --> 00:03:32.610
而這裡 只是求和 微積分中我講過

00:03:32.610 --> 00:03:35.030
積分是無限小的項的無限求和 我就不離題太遠

00:03:35.030 --> 00:03:38.550
積分是無限小的項的無限求和 我就不離題太遠

00:03:38.550 --> 00:03:40.610
回到這裡 然後看求和第二項

00:03:40.610 --> 00:03:43.590
回到這裡 然後看求和第二項

00:03:43.590 --> 00:04:05.540
它等於-2μΣxi i從1到N

00:04:05.540 --> 00:04:12.540
最後加上… 這不過是個常數項

00:04:12.540 --> 00:04:16.610
常數可以提出

00:04:16.610 --> 00:04:23.600
μ2乘以Σ… i從1到N

00:04:23.600 --> 00:04:26.520
裏面是什麽

00:04:26.520 --> 00:04:29.540
是1 對吧 除以μ2後剩下1 提出後就是μ2Σ1

00:04:29.540 --> 00:04:32.590
是1 對吧 除以μ2後剩下1 提出後就是μ2Σ1

00:04:32.590 --> 00:04:36.560
是1 對吧 除以μ2後剩下1 提出後就是μ2Σ1

00:04:36.560 --> 00:04:38.590
其實μ2可以不動 沒關係 就這樣化簡下

00:04:38.590 --> 00:04:41.530
其實μ2可以不動 沒關係 就這樣化簡下

00:04:41.530 --> 00:04:45.530
這個還算不出來 因爲xi是什麽還不知道

00:04:45.530 --> 00:04:47.550
這個還算不出來 因爲xi是什麽還不知道

00:04:47.550 --> 00:04:51.530
因此這個的和保持不變… 抱歉

00:04:51.530 --> 00:04:53.530
這個只是分子 以上做的只是分子部分

00:04:53.530 --> 00:04:55.600
這個只是分子 以上做的只是分子部分

00:04:55.600 --> 00:04:57.600
之後還要除以N

00:04:57.600 --> 00:05:00.580
這個除以N

00:05:00.580 --> 00:05:03.520
等於這個除以N

00:05:03.520 --> 00:05:04.520
最後再除以N吧 因爲分子才是最複雜的

00:05:04.520 --> 00:05:06.530
最後再除以N吧 因爲分子才是最複雜的

00:05:06.530 --> 00:05:10.610
還是來化簡這個

00:05:10.610 --> 00:05:19.590
它等於Σxi2 i從1到N

00:05:19.590 --> 00:05:25.580
減去2μ… 抱歉μ沒寫好 重寫一下

00:05:25.580 --> 00:05:27.610
減去2μ… 抱歉μ沒寫好 重寫一下

00:05:27.610 --> 00:05:42.520
減去2μΣxi i從1到N

00:05:42.520 --> 00:05:45.540
然後這個怎麽化簡

00:05:45.540 --> 00:05:48.600
這相當於1本身相加N次

00:05:48.600 --> 00:05:51.590
對常數項求和 不過是本身相加N次

00:05:51.590 --> 00:05:53.580
對常數項求和 不過是本身相加N次

00:05:53.580 --> 00:05:57.030
裏面含有i項時 每一項隨i變化

00:05:57.030 --> 00:05:57.600
裏面含有i項時 每一項隨i變化

00:05:57.600 --> 00:06:00.550
但只有1時 相當於1本身相加N次 也就是N

00:06:00.550 --> 00:06:04.590
但只有1時 相當於1本身相加N次 也就是N

00:06:04.590 --> 00:06:15.560
因此第三項是+μ2N

00:06:15.560 --> 00:06:21.610
再看看還能做些什麽

00:06:21.610 --> 00:06:25.560
記住這只是分子部分 這一項很好

00:06:25.560 --> 00:06:27.560
每一項相加就行了

00:06:27.560 --> 00:06:30.610
這裡是-2μ

00:06:30.610 --> 00:06:33.600
i從1到N 哦

00:06:33.600 --> 00:06:40.530
想想這個 這是什麽

00:06:40.530 --> 00:06:44.540
把分母的N寫出來

00:06:44.540 --> 00:06:47.550
最後這個還要除以N

00:06:47.550 --> 00:06:50.570
最後這個還要除以N

00:06:50.570 --> 00:06:55.560
化簡結果這裡還要除以N

00:06:55.560 --> 00:06:57.600
化簡結果這裡還要除以N

00:07:00.570 --> 00:07:02.590
也就是每一項除以N

00:07:02.590 --> 00:07:07.540
也就是這個

00:07:07.540 --> 00:07:10.530
也就是這個

00:07:10.530 --> 00:07:13.590
這個再怎麽化簡呢 這很有趣

00:07:13.590 --> 00:07:15.580
第一項沒辦法 只能化簡到Σxi2/N i從1到N

00:07:15.580 --> 00:07:24.580
第一項沒辦法 只能化簡到Σxi2/N i從1到N

00:07:24.580 --> 00:07:29.580
有趣的是第二項

00:07:29.580 --> 00:07:34.530
總體中所有項加起來 然後除以N 這是什麽

00:07:34.530 --> 00:07:37.600
總體中所有項加起來 然後除以N 這是什麽

00:07:37.600 --> 00:07:41.530
這個

00:07:41.530 --> 00:07:44.540
總體中所有項加起來除以項數 也就是均值 對吧

00:07:44.540 --> 00:07:46.570
總體中所有項加起來除以項數 也就是均值 對吧

00:07:46.570 --> 00:07:50.600
這是總體均值 所以這個也是μ

00:07:50.600 --> 00:07:58.520
這個化簡得什麽 -2乘以什麽

00:07:58.520 --> 00:08:00.520
μ後面仍然是μ

00:08:00.520 --> 00:08:03.600
所以是乘以μ2

00:08:03.600 --> 00:08:06.530
μ是總體均值

00:08:06.530 --> 00:08:11.600
這個化簡很妙 然後呢

00:08:11.600 --> 00:08:14.610
這裡是μ2 然後N和N約去了

00:08:14.610 --> 00:08:16.550
所以只剩下+μ2

00:08:16.550 --> 00:08:18.570
化簡很妙

00:08:18.570 --> 00:08:21.590
然後化簡爲… 這一項沒辦法

00:08:21.590 --> 00:08:36.570
i從1到N Σxi2/N

00:08:36.570 --> 00:08:39.570
然後是-2μ2+μ2

00:08:39.570 --> 00:08:47.550
也就是-μ2 即減均值的平方

00:08:47.550 --> 00:08:49.590
也就是-μ2 即減均值的平方

00:08:49.590 --> 00:08:53.590
這就得到方差的簡潔寫法

00:08:53.590 --> 00:08:57.610
這就得到方差的簡潔寫法

00:08:57.610 --> 00:09:00.600
你可以對總體中所有數的平方求均值

00:09:00.600 --> 00:09:03.570
你可以對總體中所有數的平方求均值

00:09:03.570 --> 00:09:07.560
然後減去總體均值的平方

00:09:07.560 --> 00:09:08.610
然後減去總體均值的平方

00:09:08.610 --> 00:09:11.540
在某些情況下 這個公式能幫助更快計算方差

00:09:11.540 --> 00:09:14.600
在某些情況下 這個公式能幫助更快計算方差

00:09:14.600 --> 00:09:17.540
這裡只是稍微做了點代數運算

00:09:17.540 --> 00:09:19.560
原來需要用每一點減去均值 然後平方

00:09:19.560 --> 00:09:22.540
原來需要用每一點減去均值 然後平方

00:09:22.540 --> 00:09:25.570
當然 之前需要求出均值

00:09:25.570 --> 00:09:27.520
然後取平方 求和

00:09:27.520 --> 00:09:28.600
求平均值 也就是最後除以N

00:09:28.600 --> 00:09:30.780
求平均值 也就是最後除以N

00:09:30.780 --> 00:09:33.590
這裡用一些代數運算化簡了公式

00:09:33.590 --> 00:09:36.580
我們要得到所謂的"原始分數方法"

00:09:36.580 --> 00:09:41.530
我們希望把所有項都寫成xi的形式

00:09:41.530 --> 00:09:43.560
我們希望把所有項都寫成xi的形式

00:09:43.560 --> 00:09:47.550
這通常是計算方差的更快方法

00:09:47.550 --> 00:09:51.540
μ等於什麽 均值是什麽

00:09:51.540 --> 00:09:58.530
均值等於i從1到N每項的和

00:09:58.530 --> 00:09:59.580
均值等於i從1到N每項的和

00:09:59.580 --> 00:10:01.590
均值等於i從1到N每項的和

00:10:01.590 --> 00:10:05.600
除以項的個數

00:10:05.600 --> 00:10:09.560
這就等於… 看這個

00:10:09.560 --> 00:10:14.580
這個可以寫成… 我畫一條線

00:10:14.580 --> 00:10:20.580
可以寫成 i從1到N 所有xi2之和 整個除以N

00:10:20.580 --> 00:10:28.580
可以寫成 i從1到N 所有xi2之和 整個除以N

00:10:28.580 --> 00:10:33.570
減去μ2 也就是這個的平方

00:10:33.570 --> 00:10:35.570
也就是

00:10:35.570 --> 00:10:46.560
i從1到N Σxi

00:10:46.560 --> 00:10:48.540
i從1到N Σxi

00:10:48.540 --> 00:10:51.590
這整個的平方

00:10:51.590 --> 00:10:54.580
然後除以N2

00:10:54.580 --> 00:10:58.560
然後除以N2

00:10:58.560 --> 00:11:01.540
這個看起來複雜一些

00:11:01.540 --> 00:11:04.580
我覺得這是最簡的公式

00:11:04.580 --> 00:11:06.590
這裡可以先求出樣本平均數 放到一邊

00:11:06.590 --> 00:11:09.600
這裡可以先求出樣本平均數 平方後 放到一邊

00:11:09.600 --> 00:11:12.590
這裡可以先求出樣本平均數 平方後 放到一邊

00:11:12.590 --> 00:11:14.520
這裡可以先求出樣本平均數 平方後 放到一邊

00:11:14.520 --> 00:11:16.590
這裡可以取所有的數 然後平方 求和 再除以個數

00:11:16.590 --> 00:11:19.530
這裡可以取所有的數 然後平方 求和 再除以個數

00:11:19.530 --> 00:11:21.600
這裡可以取所有的數 然後平方 求和 再除以個數

00:11:21.600 --> 00:11:24.520
我擦掉了最後那一組數

00:11:24.520 --> 00:11:26.550
不過結果求得的方差肯定相等

00:11:26.550 --> 00:11:28.560
在我看來 這是最簡的公式

00:11:28.560 --> 00:11:31.540
不過這個也許會更快

00:11:31.540 --> 00:11:34.540
因爲無需提前計算均值

00:11:34.540 --> 00:11:38.590
只需要對每個xi進行該運算

00:11:38.590 --> 00:11:41.540
然後相應除以N2或N 得到方差

00:11:41.540 --> 00:11:42.550
然後相應除以N2或N 得到方差

00:11:42.550 --> 00:11:44.610
不需要提前計算這個來得到方差

00:11:44.610 --> 00:11:45.580
不需要提前計算這個來得到方差

00:11:45.580 --> 00:11:48.520
我覺得這些應該很有指導性了

00:11:48.520 --> 00:11:50.590
應該能幫助更直觀地理解Σ符號

00:11:50.590 --> 00:11:52.550
應該能幫助更直觀地理解Σ符號

00:11:52.550 --> 00:11:54.610
這些都是方差的公式

00:11:54.610 --> 00:11:57.560
有些教材會說

00:11:57.560 --> 00:12:00.730
總體方差可以是這個公式

00:12:00.730 --> 00:12:02.600
總體方差也可以是這樣

00:12:02.600 --> 00:12:05.530
也可以是這樣

00:12:05.530 --> 00:12:06.590
其實 這些公式之間可以通過簡單純代數運算相互轉換

00:12:06.590 --> 00:12:11.600
其實 這些公式之間可以通過簡單純代數運算相互轉換

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好了 超時了 下次課見

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