我認爲現在是一個好時候
來倒弄一下方差的公式
這樣做同時可以更好地幫助理解Σ符號及其意義
方差公式我講過很多次 這次用總體方差
幾乎和樣本變異數一樣 只是除以n而非n-1
總體方差等於…
取每個樣本點xi 減去均值
平方 然後取平均值
也就是把每點到均值的距離的平方
從i=1到N加起來 然後除以N
下面把平方項乘出來 看得到什麽
結果應該會比較有趣
這等價於Σ i=1到N… 我看看
乘出來就是xi2減去… 這就需要一些運算了
平方項也就是(xi-μ)乘以(xi-μ)
乘出來有xi乘以xi 即xi2
然後是xi乘以-μ
然後是-μmi
合並 得到-2xiμ
因爲-xiμ 出現了兩次
這裡是一個-xiμ 這是另一個-μxi
兩者相加 得到-2xiμ
這個下標i估計讓人有些迷糊
總的來講 這和計算(a-b)2沒有區別
只是變量複雜點
最後一項是-μ乘以-μ 得到正μ2
好
下面換個顏色 免得視覺疲勞
把這個圈出去
這個的和相當於…
想想 我們要取的是每個xi
總體中每個數字都要進行這樣的操作 然後相加
想想 這相當於…
不熟悉Σ符號的人 通過這些可能會更理解一些
這相當於… 寫到這裡吧
i從1到N的第一項xi2的和
減去… 其實我們可以提出常數因子
同求和相關的只有包含i的因子
這裡xi 也就是x? x?這些
這些需要留在Σ記號右側
看過微積分係列的同學應該知道
Σ符號只是積分符號的離散版
積分是對連續函數進行的
乘以的dx是很小的區間
而這裡 只是求和 微積分中我講過
積分是無限小的項的無限求和 我就不離題太遠
回到這裡 然後看求和第二項
它等於-2μΣxi i從1到N
最後加上… 這不過是個常數項
常數可以提出
μ2乘以Σ… i從1到N
裏面是什麽
是1 對吧 除以μ2後剩下1 提出後就是μ2Σ1
其實μ2可以不動 沒關係 就這樣化簡下
這個還算不出來 因爲xi是什麽還不知道
因此這個的和保持不變… 抱歉
這個只是分子 以上做的只是分子部分
之後還要除以N
這個除以N
等於這個除以N
最後再除以N吧 因爲分子才是最複雜的
還是來化簡這個
它等於Σxi2 i從1到N
減去2μ… 抱歉μ沒寫好 重寫一下
減去2μΣxi i從1到N
然後這個怎麽化簡
這相當於1本身相加N次
對常數項求和 不過是本身相加N次
裏面含有i項時 每一項隨i變化
但只有1時 相當於1本身相加N次 也就是N
因此第三項是+μ2N
再看看還能做些什麽
記住這只是分子部分 這一項很好
每一項相加就行了
這裡是-2μ
i從1到N 哦
想想這個 這是什麽
把分母的N寫出來
最後這個還要除以N
化簡結果這裡還要除以N
也就是每一項除以N
也就是這個
這個再怎麽化簡呢 這很有趣
第一項沒辦法 只能化簡到Σxi2/N i從1到N
有趣的是第二項
總體中所有項加起來 然後除以N 這是什麽
這個
總體中所有項加起來除以項數 也就是均值 對吧
這是總體均值 所以這個也是μ
這個化簡得什麽 -2乘以什麽
μ後面仍然是μ
所以是乘以μ2
μ是總體均值
這個化簡很妙 然後呢
這裡是μ2 然後N和N約去了
所以只剩下+μ2
化簡很妙
然後化簡爲… 這一項沒辦法
i從1到N Σxi2/N
然後是-2μ2+μ2
也就是-μ2 即減均值的平方
這就得到方差的簡潔寫法
你可以對總體中所有數的平方求均值
然後減去總體均值的平方
在某些情況下 這個公式能幫助更快計算方差
這裡只是稍微做了點代數運算
原來需要用每一點減去均值 然後平方
當然 之前需要求出均值
然後取平方 求和
求平均值 也就是最後除以N
這裡用一些代數運算化簡了公式
我們要得到所謂的"原始分數方法"
我們希望把所有項都寫成xi的形式
這通常是計算方差的更快方法
μ等於什麽 均值是什麽
均值等於i從1到N每項的和
除以項的個數
這就等於… 看這個
這個可以寫成… 我畫一條線
可以寫成 i從1到N 所有xi2之和 整個除以N
減去μ2 也就是這個的平方
也就是
i從1到N Σxi
這整個的平方
然後除以N2
這個看起來複雜一些
我覺得這是最簡的公式
這裡可以先求出樣本平均數 放到一邊
這裡可以先求出樣本平均數 平方後 放到一邊
這裡可以取所有的數 然後平方 求和 再除以個數
我擦掉了最後那一組數
不過結果求得的方差肯定相等
在我看來 這是最簡的公式
不過這個也許會更快
因爲無需提前計算均值
只需要對每個xi進行該運算
然後相應除以N2或N 得到方差
不需要提前計算這個來得到方差
我覺得這些應該很有指導性了
應該能幫助更直觀地理解Σ符號
這些都是方差的公式
有些教材會說
總體方差可以是這個公式
總體方差也可以是這樣
也可以是這樣
其實 這些公式之間可以通過簡單純代數運算相互轉換
好了 超時了 下次課見
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