< Return to Video

Модулни уравнения

  • 0:01 - 0:04
    Нека решим няколко модулни уравнения.
  • 0:04 - 0:05
    Нека първо си припомним
  • 0:05 - 0:08
    какво означава модул или абсолютна стойност.
  • 0:08 - 0:11
    Да вземем абсолютната стойност на –1.
  • 0:11 - 0:12
    Абсолютната стойност означава
  • 0:12 - 0:16
    на какво разстояние е числото от 0.
  • 0:16 - 0:21
    В случая с –1, ако го отбележим на числовата ос...
  • 0:21 - 0:23
    Това е една много грозна числова ос.
  • 0:23 - 0:26
    На числовата ос нула е ето тук.
  • 0:26 - 0:28
    Тук е –1.
  • 0:28 - 0:30
    –1 и 0 са на разстояние 1.
  • 0:30 - 0:33
    Значи абсолютната стойност на –1 е 1.
  • 0:33 - 0:39
    Абсолютната стойност на 1 е също на разстояние 1 от 0.
  • 0:39 - 0:41
    Тя също е 1.
  • 0:41 - 0:44
    От една страна, абсолютната стойност е
    разстоянието на числото от 0.
  • 0:44 - 0:46
    От друга, по-лесен начин да мислим за нея,
  • 0:46 - 0:49
    е, че модулът е винаги същото число,
    но с положителен знак.
  • 0:49 - 0:59
    Абсолютната стойност на –7346 е 7346.
  • 0:59 - 1:01
    Предвид това, нека се опитаме
  • 1:01 - 1:05
    да решим няколко модулни уравнения.
  • 1:05 - 1:07
    Имаме следното уравнение:
  • 1:07 - 1:14
    абсолютната стойност на (х – 5) е 10.
  • 1:14 - 1:16
    Един начин да го разглеждаш, е...
  • 1:16 - 1:18
    обърни внимание, това всъщност значи,
  • 1:18 - 1:23
    че разстоянието между х и – 5 е 10.
  • 1:23 - 1:27
    Колко числа има, които са на разстояние
    точно 10 единици от 5?
  • 1:27 - 1:29
    Сигурно се досещаш какво е
    решението на уравнението,
  • 1:29 - 1:32
    но нека го решим стъпка по стъпка.
  • 1:32 - 1:37
    Това твърдение е вярно в два случая.
  • 1:37 - 1:42
    Първи случай, х – 5 е равно на +10.
  • 1:42 - 1:45
    В този случай,
  • 1:45 - 1:47
    когато вземем абсолютната му стойност,
  • 1:47 - 1:48
    ще получим +10.
  • 1:48 - 1:53
    Втори случай, х – 5 е равно на –10.
  • 1:53 - 1:59
    Ако х – 5 е равно на –10, ако вземем
    абсолютната му стойност,
  • 1:59 - 2:00
    ще получим отново 10.
  • 2:00 - 2:04
    Така че х – 5 може да е равно също така и на –10.
  • 2:04 - 2:08
    И двете удовлетворяват уравнението.
  • 2:08 - 2:09
    За да решим това,
  • 2:09 - 2:12
    нека прибавим 5 към двете страни
    на уравнението.
  • 2:12 - 2:14
    Получаваме х равно на 15.
  • 2:14 - 2:18
    За да решим това, нека добавим 5
    към двете страни на това уравнение.
  • 2:18 - 2:21
    х е равно на –5.
  • 2:21 - 2:22
    Решението е,
  • 2:22 - 2:25
    има две х, които удовлетворяват уравнението,
  • 2:25 - 2:27
    х може да е 15.
  • 2:27 - 2:30
    15 – 5 е 10; по абсолютна стойност
  • 2:30 - 2:33
    получаваме 10, или х е равно на –5.
  • 2:33 - 2:36
    –5 минус 5 е –10.
  • 2:36 - 2:39
    Взимаме модул от –10 и получаваме 10.
  • 2:39 - 2:42
    Забележи, че и двете числа
  • 2:42 - 2:46
    са на точно 10 единици разстояние от 5.
  • 2:46 - 2:48
    Нека решим още един пример.
  • 2:48 - 2:51
    Нека решим още едно уравнение.
  • 2:51 - 2:52
    Нека имаме следното:
  • 2:52 - 2:59
    модул от х + 2 е равно на 6.
  • 2:59 - 3:00
    Какво означава това?
  • 3:00 - 3:03
    Означава, че х + 2,
  • 3:03 - 3:07
    изразът вътре в модула, е равен на 6.
  • 3:07 - 3:10
    Или изразът в модула,
  • 3:10 - 3:12
    х + 2, може да е –6.
  • 3:12 - 3:14
    Ако х + 2 е равно на –6,
  • 3:14 - 3:16
    взимаме абсолютната му стойност и получаваме 6.
  • 3:16 - 3:20
    Или х + 2 е равно на –6.
  • 3:20 - 3:23
    Ако извадим 2 от двете страни на уравнението,
  • 3:23 - 3:26
    получавме х равно на 4.
  • 3:26 - 3:30
    Ако извадим 2 от двете страни на другото уравнение,
  • 3:30 - 3:34
    получаваме х равно на –8.
  • 3:34 - 3:37
    Това са двете решения на уравнението.
  • 3:37 - 3:40
    И за да затвърдим,
  • 3:40 - 3:42
    можем да приемем абсолютната стойност като разстояние.
  • 3:42 - 3:44
    Можем да запишем уравнението
  • 3:44 - 3:50
    като модул от х минус –2 е равно на 6.
  • 3:50 - 3:53
    В този случай търсим
  • 3:53 - 3:58
    какви са стойностите на х,
    които са на разстояние 6 от –2?
  • 3:58 - 3:59
    Ето тук попитахме:
  • 3:59 - 4:04
    какви са х, които са на разстояние 10 от +5?
  • 4:04 - 4:06
    Каквото и число да вадим от +5,
  • 4:06 - 4:09
    и двете са на разстояние 10 от +5.
  • 4:09 - 4:10
    В този случай питаме
  • 4:10 - 4:13
    кое число е на разстояние 6 от –2?
  • 4:13 - 4:16
    Отговорът е или 4, или –8.
  • 4:16 - 4:18
    Можеш да направиш проверка с тези числа.
  • 4:18 - 4:20
    Нека решим още едно уравнение.
  • 4:20 - 4:25
    Нека решим още едно, този път в лилаво.
  • 4:25 - 4:30
    Имаме модул от 4х.
  • 4:30 - 4:31
    Ще променя малко условието.
  • 4:31 - 4:33
    4х – 1.
  • 4:33 - 4:37
    Абсолютната стойност на 4х – 1 е равна на...
  • 4:37 - 4:40
    всъщност, нека е равна на 19.
  • 4:40 - 4:42
    Както при последните няколко задачи,
  • 4:42 - 4:48
    4х – 1 може да бъде равно на 19.
  • 4:48 - 4:52
    Или 4х – 1 може да е –19.
  • 4:52 - 4:53
    Когато вземем абсолютната стойност,
  • 4:53 - 4:55
    ще получим отново 19.
  • 4:55 - 4:59
    Или 4х – 1 може да е равно на –19.
  • 4:59 - 5:01
    Остава само да решим тези две уравнения.
  • 5:01 - 5:03
    Прибавяме 1 към двете страни на уравнението,
  • 5:03 - 5:04
    дори може да го направим едновременно и за двете.
  • 5:04 - 5:09
    Прибавяме 1 към двете страни на това,
    получаваме 4х равно на 20.
  • 5:09 - 5:11
    Прибавяме 1 към двете страни на другото уравнение,
  • 5:11 - 5:15
    получаваме 4х равно на –18.
  • 5:15 - 5:20
    Делим двете страни на уравнението на 4
    и получаваме х равно на 5.
  • 5:20 - 5:24
    Делим двете страни на другото уравнение на 4
    и получаваме х равно на –18/4,
  • 5:24 - 5:32
    което е равно на –9/2.
  • 5:32 - 5:36
    И двете стойности на х удовлетворяват уравнението.
  • 5:36 - 5:37
    Да ги проверим.
  • 5:37 - 5:40
    –9/2 по 4.
  • 5:40 - 5:42
    Това е равно на –18.
  • 5:42 - 5:44
    –18 минус 1 е –19.
  • 5:44 - 5:47
    Взимаме абсолютната стойност и получаваме 19.
  • 5:47 - 5:50
    Заместваме х с 5, тогава 4 по 5 е 20.
  • 5:50 - 5:52
    Минус 1, и получаваме +19.
  • 5:52 - 5:53
    Взимаме абсолютната му стойност.
  • 5:53 - 5:56
    И получаваме отново 19.
  • 5:56 - 5:59
    Нека за по-забавно да представим графично
    едно от уравненията.
  • 5:59 - 5:59
    Да вземем следното:
  • 5:59 - 6:05
    имаме у равно на абсолютната стойност на х + 3.
  • 6:05 - 6:08
    Това е функция, или графика,
  • 6:08 - 6:09
    която съдържа абсолютна стойност.
  • 6:09 - 6:12
    Да помислим за двата случая.
  • 6:12 - 6:13
    В единия случай
  • 6:13 - 6:16
    изразът в модула е положителен.
  • 6:16 - 6:19
    Това е случаят, в който имаме х +3...
  • 6:19 - 6:23
    Ще го запиша тук: х + 3 е по-голямо от 0.
  • 6:23 - 6:29
    В другия случай имаме х + 3 < 0.
  • 6:29 - 6:33
    Когато х + 3 > 0,
  • 6:33 - 6:36
    тази графика, предполагам можем да я наречем линия,
  • 6:36 - 6:42
    тази функция е една и съща с у = х + 3.
  • 6:42 - 6:44
    Ако това нещо тук е > 0,
  • 6:44 - 6:47
    то можем да пренебрегнем знака на модула.
  • 6:47 - 6:49
    Тогава това нещо
  • 6:49 - 6:50
    е същото като у = х + 3.
  • 6:50 - 6:53
    Но кога х + 3 > 0?
  • 6:53 - 6:56
    Ако извадим 3 от двете страни,
  • 6:56 - 7:00
    ще получим х > –3.
  • 7:00 - 7:02
    Когато х > –3,
  • 7:02 - 7:08
    графиката ще изглежда като тази на у = х + 3.
  • 7:08 - 7:12
    Да видим другия случай, х + 3 < 0.
  • 7:12 - 7:13
    В този случай,
  • 7:13 - 7:17
    изразът в модула ни е отрицателен.
  • 7:17 - 7:20
    Като разкрием модула, уравнението ще бъде
  • 7:20 - 7:26
    у равно на отрицателната стойност на х +3
  • 7:26 - 7:28
    Как разбираме това?
  • 7:28 - 7:31
    Ако това нещо е отрицателно число,
  • 7:31 - 7:33
    ако х плюс 3 е отрицателно число,
    това допускаме,
  • 7:33 - 7:36
    ако е отрицателно число,
  • 7:36 - 7:38
    тогава, когато вземем абсолютната стойност
    на отрицателното число,
  • 7:38 - 7:40
    ние го превръщаме в положително.
  • 7:40 - 7:43
    Все едно умножаваме по минус 1.
  • 7:43 - 7:46
    Ако взимаме абсолютната стойност
    на отрицателно число,
  • 7:46 - 7:49
    това е все едно го умножаваме по минус 1,
  • 7:49 - 7:51
    защото го превръщаме в положително.
  • 7:51 - 7:54
    Това е случаят, в който
  • 7:54 - 7:56
    х + 3 е по-малко от 0.
  • 7:56 - 8:00
    Ако извадим 3 от двете страни,
  • 8:00 - 8:01
    получаваме х < –3.
  • 8:01 - 8:04
    Когато х е по-малко от минус 3,
  • 8:04 - 8:05
    графиката изглежда така.
  • 8:05 - 8:08
    Когато х е по-голямо от минус 3,
  • 8:08 - 8:10
    графиката изглежда така.
  • 8:10 - 8:11
    Нека разгледаме как ще изглежда
  • 8:11 - 8:14
    цялата графика.
  • 8:14 - 8:22
    Ще начертая координатните оси.
  • 8:22 - 8:26
    Това е оста х, а това – оста у.
  • 8:26 - 8:29
    Нека разкрием скобите, за да приведем във вид
  • 8:29 - 8:30
    mx + b.
  • 8:30 - 8:36
    Това е равно на минус х минус 3.
  • 8:36 - 8:39
    Да видим как би изглеждала тази графика
    принципно.
  • 8:39 - 8:42
    Минус х минус 3.
  • 8:42 - 8:47
    Пресечната точка на графиката с оста у е –3.
  • 8:47 - 8:51
    Отрицателно х означава, че графиката намалява,
  • 8:51 - 8:52
    има наклон 1.
  • 8:52 - 8:54
    Ще изглежда ето така.
  • 8:57 - 9:03
    Пресечната точка с х ще е при какво х?
  • 9:03 - 9:08
    Ако у е равно на 0, това ще стане при х равно на –3.
  • 9:08 - 9:09
    Ако у е равно на 0, това ще стане при х равно на –3.
  • 9:09 - 9:10
    Така че ще премине през тази линия,
  • 9:10 - 9:12
    през точно тази точка.
  • 9:12 - 9:14
    А графиката, ако нямахме това условие,
  • 9:14 - 9:16
    щеше да изглежда така.
  • 9:20 - 9:23
    Щеше да изглежда така, ако не беше ограничена
  • 9:23 - 9:24
    в интервал по оста х.
  • 9:24 - 9:27
    Как ще изглежда тази графика?
  • 9:27 - 9:27
    Да видим.
  • 9:27 - 9:32
    Пресечната точка с оста у е плюс 3.
  • 9:32 - 9:33
    Просто така.
  • 9:33 - 9:35
    Къде е пресечната точка с оста х?
  • 9:35 - 9:38
    Когато у е равно на 0, х е минус 3.
  • 9:38 - 9:40
    Значи също минава през тази точка
  • 9:40 - 9:41
    и има наклон 1.
  • 9:41 - 9:44
    Така че ще изглежда ето така.
  • 9:44 - 9:45
    Така изглежда графиката.
  • 9:45 - 9:48
    Разбрахме, че функцията на абсолютната стойност
  • 9:48 - 9:52
    изглежда като тази лилава графика,
  • 9:52 - 9:54
    когато х е по-малко от минус 3.
  • 9:54 - 9:57
    Когато х е по-малко от минус 3,
  • 9:57 - 10:00
    х е равно на –3 тук, когато х е по-малко от минус 3,
  • 10:00 - 10:03
    изглежда като тази лилава графика.
  • 10:03 - 10:05
    Точно тук.
  • 10:05 - 10:07
    Това е случаят, в който х е по-малко от –3.
  • 10:07 - 10:11
    Но когато х е по-голямо от –3,
  • 10:11 - 10:12
    изглежда като зелената графика.
  • 10:12 - 10:15
    Изглежда точно така.
  • 10:15 - 10:17
    Значи, графиката изглежда като странно V.
  • 10:17 - 10:21
    Когато х е по-голямо от –3, това е положително.
  • 10:21 - 10:25
    Имаме графика с положителен наклон.
  • 10:25 - 10:28
    Но когато х е по-малко от минус 3,
  • 10:28 - 10:31
    взимаме отрицателната част на функцията,
  • 10:31 - 10:32
    имаме отрицателен наклон.
  • 10:32 - 10:35
    Имаме V-образна функция,
  • 10:35 - 10:40
    V-образна графика, която съответства
    на функция от абсолютно стойност.
Title:
Модулни уравнения
Description:

Модулни уравнения

more » « less
Video Language:
English
Duration:
10:41
Sevdalina Peeva edited Bulgarian subtitles for Absolute Value Equations
Ivo edited Bulgarian subtitles for Absolute Value Equations
svetlik added a translation

Bulgarian subtitles

Revisions