Нека решим няколко модулни уравнения.
Нека първо си припомним
какво означава модул или абсолютна стойност.
Да вземем абсолютната стойност на –1.
Абсолютната стойност означава
на какво разстояние е числото от 0.
В случая с –1, ако го отбележим на числовата ос...
Това е една много грозна числова ос.
На числовата ос нула е ето тук.
Тук е –1.
–1 и 0 са на разстояние 1.
Значи абсолютната стойност на –1 е 1.
Абсолютната стойност на 1 е също на разстояние 1 от 0.
Тя също е 1.
От една страна, абсолютната стойност е разстоянието на числото от 0.
От друга, по-лесен начин да мислим за нея,
е, че модулът е винаги същото число, но с положителен знак.
Абсолютната стойност на –7346 е 7346.
Предвид това, нека се опитаме
да решим няколко модулни уравнения.
Имаме следното уравнение:
абсолютната стойност на (х – 5) е 10.
Един начин да го разглеждаш, е...
обърни внимание, това всъщност значи,
че разстоянието между х и – 5 е 10.
Колко числа има, които са на разстояние точно 10 единици от 5?
Сигурно се досещаш какво е решението на уравнението,
но нека го решим стъпка по стъпка.
Това твърдение е вярно в два случая.
Първи случай, х – 5 е равно на +10.
В този случай,
когато вземем абсолютната му стойност,
ще получим +10.
Втори случай, х – 5 е равно на –10.
Ако х – 5 е равно на –10, ако вземем абсолютната му стойност,
ще получим отново 10.
Така че х – 5 може да е равно също така и на –10.
И двете удовлетворяват уравнението.
За да решим това,
нека прибавим 5 към двете страни на уравнението.
Получаваме х равно на 15.
За да решим това, нека добавим 5 към двете страни на това уравнение.
х е равно на –5.
Решението е,
има две х, които удовлетворяват уравнението,
х може да е 15.
15 – 5 е 10; по абсолютна стойност
получаваме 10, или х е равно на –5.
–5 минус 5 е –10.
Взимаме модул от –10 и получаваме 10.
Забележи, че и двете числа
са на точно 10 единици разстояние от 5.
Нека решим още един пример.
Нека решим още едно уравнение.
Нека имаме следното:
модул от х + 2 е равно на 6.
Какво означава това?
Означава, че х + 2,
изразът вътре в модула, е равен на 6.
Или изразът в модула,
х + 2, може да е –6.
Ако х + 2 е равно на –6,
взимаме абсолютната му стойност и получаваме 6.
Или х + 2 е равно на –6.
Ако извадим 2 от двете страни на уравнението,
получавме х равно на 4.
Ако извадим 2 от двете страни на другото уравнение,
получаваме х равно на –8.
Това са двете решения на уравнението.
И за да затвърдим,
можем да приемем абсолютната стойност като разстояние.
Можем да запишем уравнението
като модул от х минус –2 е равно на 6.
В този случай търсим
какви са стойностите на х, които са на разстояние 6 от –2?
Ето тук попитахме:
какви са х, които са на разстояние 10 от +5?
Каквото и число да вадим от +5,
и двете са на разстояние 10 от +5.
В този случай питаме
кое число е на разстояние 6 от –2?
Отговорът е или 4, или –8.
Можеш да направиш проверка с тези числа.
Нека решим още едно уравнение.
Нека решим още едно, този път в лилаво.
Имаме модул от 4х.
Ще променя малко условието.
4х – 1.
Абсолютната стойност на 4х – 1 е равна на...
всъщност, нека е равна на 19.
Както при последните няколко задачи,
4х – 1 може да бъде равно на 19.
Или 4х – 1 може да е –19.
Когато вземем абсолютната стойност,
ще получим отново 19.
Или 4х – 1 може да е равно на –19.
Остава само да решим тези две уравнения.
Прибавяме 1 към двете страни на уравнението,
дори може да го направим едновременно и за двете.
Прибавяме 1 към двете страни на това, получаваме 4х равно на 20.
Прибавяме 1 към двете страни на другото уравнение,
получаваме 4х равно на –18.
Делим двете страни на уравнението на 4 и получаваме х равно на 5.
Делим двете страни на другото уравнение на 4 и получаваме х равно на –18/4,
което е равно на –9/2.
И двете стойности на х удовлетворяват уравнението.
Да ги проверим.
–9/2 по 4.
Това е равно на –18.
–18 минус 1 е –19.
Взимаме абсолютната стойност и получаваме 19.
Заместваме х с 5, тогава 4 по 5 е 20.
Минус 1, и получаваме +19.
Взимаме абсолютната му стойност.
И получаваме отново 19.
Нека за по-забавно да представим графично едно от уравненията.
Да вземем следното:
имаме у равно на абсолютната стойност на х + 3.
Това е функция, или графика,
която съдържа абсолютна стойност.
Да помислим за двата случая.
В единия случай
изразът в модула е положителен.
Това е случаят, в който имаме х +3...
Ще го запиша тук: х + 3 е по-голямо от 0.
В другия случай имаме х + 3 < 0.
Когато х + 3 > 0,
тази графика, предполагам можем да я наречем линия,
тази функция е една и съща с у = х + 3.
Ако това нещо тук е > 0,
то можем да пренебрегнем знака на модула.
Тогава това нещо
е същото като у = х + 3.
Но кога х + 3 > 0?
Ако извадим 3 от двете страни,
ще получим х > –3.
Когато х > –3,
графиката ще изглежда като тази на у = х + 3.
Да видим другия случай, х + 3 < 0.
В този случай,
изразът в модула ни е отрицателен.
Като разкрием модула, уравнението ще бъде
у равно на отрицателната стойност на х +3
Как разбираме това?
Ако това нещо е отрицателно число,
ако х плюс 3 е отрицателно число, това допускаме,
ако е отрицателно число,
тогава, когато вземем абсолютната стойност на отрицателното число,
ние го превръщаме в положително.
Все едно умножаваме по минус 1.
Ако взимаме абсолютната стойност на отрицателно число,
това е все едно го умножаваме по минус 1,
защото го превръщаме в положително.
Това е случаят, в който
х + 3 е по-малко от 0.
Ако извадим 3 от двете страни,
получаваме х < –3.
Когато х е по-малко от минус 3,
графиката изглежда така.
Когато х е по-голямо от минус 3,
графиката изглежда така.
Нека разгледаме как ще изглежда
цялата графика.
Ще начертая координатните оси.
Това е оста х, а това – оста у.
Нека разкрием скобите, за да приведем във вид
mx + b.
Това е равно на минус х минус 3.
Да видим как би изглеждала тази графика принципно.
Минус х минус 3.
Пресечната точка на графиката с оста у е –3.
Отрицателно х означава, че графиката намалява,
има наклон 1.
Ще изглежда ето така.
Пресечната точка с х ще е при какво х?
Ако у е равно на 0, това ще стане при х равно на –3.
Така че ще премине през тази линия,
през точно тази точка.
А графиката, ако нямахме това условие,
щеше да изглежда така.
Щеше да изглежда така, ако не беше ограничена
в интервал по оста х.
Как ще изглежда тази графика?
Да видим.
Пресечната точка с оста у е плюс 3.
Просто така.
Къде е пресечната точка с оста х?
Когато у е равно на 0, х е минус 3.
Значи също минава през тази точка
и има наклон 1.
Така че ще изглежда ето така.
Така изглежда графиката.
Разбрахме, че функцията на абсолютната стойност
изглежда като тази лилава графика,
когато х е по-малко от минус 3.
Когато х е по-малко от минус 3,
х е равно на –3 тук, когато х е по-малко от минус 3,
изглежда като тази лилава графика.
Точно тук.
Това е случаят, в който х е по-малко от –3.
Но когато х е по-голямо от –3,
изглежда като зелената графика.
Изглежда точно така.
Значи, графиката изглежда като странно V.
Когато х е по-голямо от –3, това е положително.
Имаме графика с положителен наклон.
Но когато х е по-малко от минус 3,
взимаме отрицателната част на функцията,
имаме отрицателен наклон.
Имаме V-образна функция,
V-образна графика, която съответства на функция от абсолютно стойност.