0:00:00.590,0:00:03.880 Нека решим няколко модулни уравнения. 0:00:03.880,0:00:05.119 Нека първо си припомним 0:00:05.119,0:00:07.650 какво означава модул или абсолютна стойност. 0:00:07.650,0:00:10.680 Да вземем абсолютната стойност на –1. 0:00:10.680,0:00:12.263 Абсолютната стойност означава 0:00:12.263,0:00:16.090 на какво разстояние е числото от 0. 0:00:16.090,0:00:20.620 В случая с –1, ако го отбележим на числовата ос... 0:00:20.620,0:00:23.310 Това е една много грозна числова ос. 0:00:23.310,0:00:26.230 На числовата ос нула е ето тук. 0:00:26.230,0:00:28.470 Тук е –1. 0:00:28.470,0:00:30.230 –1 и 0 са на разстояние 1. 0:00:30.230,0:00:33.250 Значи абсолютната стойност на –1 е 1. 0:00:33.250,0:00:38.850 Абсолютната стойност на 1 е също на разстояние 1 от 0. 0:00:38.850,0:00:40.610 Тя също е 1. 0:00:40.610,0:00:43.500 От една страна, абсолютната стойност е [br]разстоянието на числото от 0. 0:00:43.500,0:00:45.587 От друга, по-лесен начин да мислим за нея, 0:00:45.587,0:00:48.600 е, че модулът е винаги същото число, [br]но с положителен знак. 0:00:48.600,0:00:59.360 Абсолютната стойност на –7346 е 7346. 0:00:59.360,0:01:00.779 Предвид това, нека се опитаме 0:01:00.779,0:01:05.050 да решим няколко модулни уравнения. 0:01:05.050,0:01:06.675 Имаме следното уравнение: 0:01:06.675,0:01:14.500 абсолютната стойност на (х – 5) е 10. 0:01:14.500,0:01:15.895 Един начин да го разглеждаш, е... 0:01:15.895,0:01:18.161 обърни внимание, това всъщност значи, 0:01:18.161,0:01:23.120 че разстоянието между х и – 5 е 10. 0:01:23.120,0:01:26.750 Колко числа има, които са на разстояние [br]точно 10 единици от 5? 0:01:26.750,0:01:29.430 Сигурно се досещаш какво е [br]решението на уравнението, 0:01:29.430,0:01:31.960 но нека го решим стъпка по стъпка. 0:01:31.960,0:01:36.510 Това твърдение е вярно в два случая. 0:01:36.510,0:01:41.800 Първи случай, х – 5 е равно на +10. 0:01:41.800,0:01:44.630 В този случай, 0:01:44.630,0:01:46.610 когато вземем абсолютната му стойност, 0:01:46.610,0:01:48.380 ще получим +10. 0:01:48.380,0:01:53.130 Втори случай, х – 5 е равно на –10. 0:01:53.130,0:01:58.700 Ако х – 5 е равно на –10, ако вземем[br]абсолютната му стойност, 0:01:58.700,0:01:59.950 ще получим отново 10. 0:01:59.950,0:02:04.280 Така че х – 5 може да е равно също така и на –10. 0:02:04.280,0:02:07.730 И двете удовлетворяват уравнението. 0:02:07.730,0:02:08.958 За да решим това, 0:02:08.958,0:02:11.500 нека прибавим 5 към двете страни[br]на уравнението. 0:02:11.500,0:02:14.160 Получаваме х равно на 15. 0:02:14.160,0:02:17.830 За да решим това, нека добавим 5 [br]към двете страни на това уравнение. 0:02:17.830,0:02:20.900 х е равно на –5. 0:02:20.900,0:02:21.963 Решението е, 0:02:21.963,0:02:24.910 има две х, които удовлетворяват уравнението, 0:02:24.910,0:02:26.890 х може да е 15. 0:02:26.890,0:02:29.502 15 – 5 е 10; по абсолютна стойност 0:02:29.502,0:02:32.690 получаваме 10, или х е равно на –5. 0:02:32.690,0:02:36.060 –5 минус 5 е –10. 0:02:36.060,0:02:39.020 Взимаме модул от –10 и получаваме 10. 0:02:39.020,0:02:41.632 Забележи, че и двете числа 0:02:41.632,0:02:45.750 са на точно 10 единици разстояние от 5. 0:02:45.750,0:02:48.050 Нека решим още един пример. 0:02:48.050,0:02:51.130 Нека решим още едно уравнение. 0:02:51.130,0:02:52.182 Нека имаме следното: 0:02:52.182,0:02:58.580 модул от х + 2 е равно на 6. 0:02:58.580,0:02:59.610 Какво означава това? 0:02:59.610,0:03:03.132 Означава, че х + 2, 0:03:03.132,0:03:07.030 изразът вътре в модула, е равен на 6. 0:03:07.030,0:03:10.380 Или изразът в модула, 0:03:10.380,0:03:12.050 х + 2, може да е –6. 0:03:12.050,0:03:13.910 Ако х + 2 е равно на –6, 0:03:13.910,0:03:16.210 взимаме абсолютната му стойност и получаваме 6. 0:03:16.210,0:03:20.340 Или х + 2 е равно на –6. 0:03:20.340,0:03:22.880 Ако извадим 2 от двете страни на уравнението, 0:03:22.880,0:03:25.850 получавме х равно на 4. 0:03:25.850,0:03:29.780 Ако извадим 2 от двете страни на другото уравнение, 0:03:29.780,0:03:33.690 получаваме х равно на –8. 0:03:33.690,0:03:37.240 Това са двете решения на уравнението. 0:03:37.240,0:03:39.740 И за да затвърдим, 0:03:39.740,0:03:42.500 можем да приемем абсолютната стойност като разстояние. 0:03:42.500,0:03:43.940 Можем да запишем уравнението 0:03:43.940,0:03:50.410 като модул от х минус –2 е равно на 6. 0:03:50.410,0:03:52.759 В този случай търсим 0:03:52.759,0:03:57.590 какви са стойностите на х, [br]които са на разстояние 6 от –2? 0:03:57.590,0:03:59.168 Ето тук попитахме: 0:03:59.168,0:04:03.560 какви са х, които са на разстояние 10 от +5? 0:04:03.560,0:04:05.990 Каквото и число да вадим от +5, 0:04:05.990,0:04:08.560 и двете са на разстояние 10 от +5. 0:04:08.560,0:04:09.515 В този случай питаме 0:04:09.515,0:04:13.080 кое число е на разстояние 6 от –2? 0:04:13.080,0:04:15.510 Отговорът е или 4, или –8. 0:04:15.510,0:04:17.959 Можеш да направиш проверка с тези числа. 0:04:17.959,0:04:20.459 Нека решим още едно уравнение. 0:04:20.459,0:04:25.330 Нека решим още едно, този път в лилаво. 0:04:25.330,0:04:30.190 Имаме модул от 4х. 0:04:30.190,0:04:31.430 Ще променя малко условието. 0:04:31.430,0:04:33.390 4х – 1. 0:04:33.390,0:04:36.583 Абсолютната стойност на 4х – 1 е равна на... 0:04:36.583,0:04:40.200 всъщност, нека е равна на 19. 0:04:40.200,0:04:41.769 Както при последните няколко задачи, 0:04:41.769,0:04:47.640 4х – 1 може да бъде равно на 19. 0:04:47.640,0:04:51.670 Или 4х – 1 може да е –19. 0:04:51.670,0:04:53.130 Когато вземем абсолютната стойност, 0:04:53.130,0:04:54.800 ще получим отново 19. 0:04:54.800,0:04:59.100 Или 4х – 1 може да е равно на –19. 0:04:59.100,0:05:00.970 Остава само да решим тези две уравнения. 0:05:00.970,0:05:02.945 Прибавяме 1 към двете страни на уравнението, 0:05:02.945,0:05:04.274 дори може да го направим едновременно и за двете. 0:05:04.274,0:05:08.510 Прибавяме 1 към двете страни на това, [br]получаваме 4х равно на 20. 0:05:08.510,0:05:11.005 Прибавяме 1 към двете страни на другото уравнение, 0:05:11.005,0:05:15.340 получаваме 4х равно на –18. 0:05:15.340,0:05:20.210 Делим двете страни на уравнението на 4 [br]и получаваме х равно на 5. 0:05:20.210,0:05:23.920 Делим двете страни на другото уравнение на 4 [br]и получаваме х равно на –18/4, 0:05:23.920,0:05:31.770 което е равно на –9/2. 0:05:31.770,0:05:35.730 И двете стойности на х удовлетворяват уравнението. 0:05:35.730,0:05:36.587 Да ги проверим. 0:05:36.587,0:05:39.580 –9/2 по 4. 0:05:39.580,0:05:41.570 Това е равно на –18. 0:05:41.570,0:05:44.200 –18 минус 1 е –19. 0:05:44.200,0:05:46.740 Взимаме абсолютната стойност и получаваме 19. 0:05:46.740,0:05:49.920 Заместваме х с 5, тогава 4 по 5 е 20. 0:05:49.920,0:05:51.960 Минус 1, и получаваме +19. 0:05:51.960,0:05:53.260 Взимаме абсолютната му стойност. 0:05:53.260,0:05:55.920 И получаваме отново 19. 0:05:55.920,0:05:58.580 Нека за по-забавно да представим графично [br]едно от уравненията. 0:05:58.580,0:05:59.283 Да вземем следното: 0:05:59.283,0:06:04.990 имаме у равно на абсолютната стойност на х + 3. 0:06:04.990,0:06:07.840 Това е функция, или графика, 0:06:07.840,0:06:09.410 която съдържа абсолютна стойност. 0:06:09.410,0:06:11.820 Да помислим за двата случая. 0:06:11.820,0:06:13.136 В единия случай 0:06:13.136,0:06:16.430 изразът в модула е положителен. 0:06:16.430,0:06:18.873 Това е случаят, в който имаме х +3... 0:06:18.873,0:06:23.420 Ще го запиша тук: х + 3 е по-голямо от 0. 0:06:23.420,0:06:29.370 В другия случай имаме х + 3 < 0. 0:06:29.370,0:06:32.658 Когато х + 3 > 0, 0:06:32.658,0:06:36.490 тази графика, предполагам можем да я наречем линия, 0:06:36.490,0:06:41.690 тази функция е една и съща с у = х + 3. 0:06:41.690,0:06:44.370 Ако това нещо тук е > 0, 0:06:44.370,0:06:46.750 то можем да пренебрегнем знака на модула. 0:06:46.750,0:06:48.780 Тогава това нещо 0:06:48.780,0:06:50.280 е същото като у = х + 3. 0:06:50.280,0:06:52.590 Но кога х + 3 > 0? 0:06:52.590,0:06:56.366 Ако извадим 3 от двете страни, 0:06:56.366,0:06:59.910 ще получим х > –3. 0:06:59.910,0:07:02.249 Когато х > –3, 0:07:02.249,0:07:08.460 графиката ще изглежда като тази на у = х + 3. 0:07:08.460,0:07:11.500 Да видим другия случай, х + 3 < 0. 0:07:11.500,0:07:13.328 В този случай, 0:07:13.328,0:07:16.509 изразът в модула ни е отрицателен. 0:07:16.509,0:07:20.356 Като разкрием модула, уравнението ще бъде 0:07:20.356,0:07:26.250 у равно на отрицателната стойност на х +3 0:07:26.250,0:07:27.540 Как разбираме това? 0:07:27.540,0:07:30.520 Ако това нещо е отрицателно число, 0:07:30.520,0:07:33.060 ако х плюс 3 е отрицателно число, [br]това допускаме, 0:07:33.060,0:07:36.010 ако е отрицателно число, 0:07:36.010,0:07:38.090 тогава, когато вземем абсолютната стойност[br]на отрицателното число, 0:07:38.090,0:07:40.050 ние го превръщаме в положително. 0:07:40.050,0:07:43.280 Все едно умножаваме по минус 1. 0:07:43.280,0:07:45.870 Ако взимаме абсолютната стойност [br]на отрицателно число, 0:07:45.870,0:07:48.890 това е все едно го умножаваме по минус 1, 0:07:48.890,0:07:51.010 защото го превръщаме в положително. 0:07:51.010,0:07:53.870 Това е случаят, в който 0:07:53.870,0:07:55.840 х + 3 е по-малко от 0. 0:07:55.840,0:07:59.850 Ако извадим 3 от двете страни, 0:07:59.850,0:08:01.280 получаваме х < –3. 0:08:01.280,0:08:03.920 Когато х е по-малко от минус 3, 0:08:03.920,0:08:05.040 графиката изглежда така. 0:08:05.040,0:08:07.760 Когато х е по-голямо от минус 3, 0:08:07.760,0:08:09.600 графиката изглежда така. 0:08:09.600,0:08:11.300 Нека разгледаме как ще изглежда 0:08:11.300,0:08:13.670 цялата графика. 0:08:13.670,0:08:21.520 Ще начертая координатните оси. 0:08:21.520,0:08:26.070 Това е оста х, а това – оста у. 0:08:26.070,0:08:29.090 Нека разкрием скобите, за да приведем във вид 0:08:29.090,0:08:29.870 mx + b. 0:08:29.870,0:08:36.070 Това е равно на минус х минус 3. 0:08:36.070,0:08:38.659 Да видим как би изглеждала тази графика[br]принципно. 0:08:38.659,0:08:42.020 Минус х минус 3. 0:08:42.020,0:08:47.380 Пресечната точка на графиката с оста у е –3. 0:08:47.380,0:08:51.060 Отрицателно х означава, че графиката намалява, 0:08:51.060,0:08:52.290 има наклон 1. 0:08:52.290,0:08:53.540 Ще изглежда ето така. 0:08:56.840,0:09:02.830 Пресечната точка с х ще е при какво х? 0:09:02.830,0:09:07.740 Ако у е равно на 0, това ще стане при х равно на –3. 0:09:07.740,0:09:08.575 Ако у е равно на 0, това ще стане при х равно на –3. 0:09:08.575,0:09:10.380 Така че ще премине през тази линия, 0:09:10.380,0:09:11.920 през точно тази точка. 0:09:11.920,0:09:14.190 А графиката, ако нямахме това условие, 0:09:14.190,0:09:15.600 щеше да изглежда така. 0:09:19.890,0:09:22.760 Щеше да изглежда така, ако не беше ограничена 0:09:22.760,0:09:23.880 в интервал по оста х. 0:09:23.880,0:09:27.080 Как ще изглежда тази графика? 0:09:27.080,0:09:27.480 Да видим. 0:09:27.480,0:09:31.810 Пресечната точка с оста у е плюс 3. 0:09:31.810,0:09:33.230 Просто така. 0:09:33.230,0:09:35.260 Къде е пресечната точка с оста х? 0:09:35.260,0:09:37.970 Когато у е равно на 0, х е минус 3. 0:09:37.970,0:09:39.760 Значи също минава през тази точка 0:09:39.760,0:09:40.620 и има наклон 1. 0:09:40.620,0:09:43.710 Така че ще изглежда ето така. 0:09:43.710,0:09:45.330 Така изглежда графиката. 0:09:45.330,0:09:48.100 Разбрахме, че функцията на абсолютната стойност 0:09:48.100,0:09:52.030 изглежда като тази лилава графика, 0:09:52.030,0:09:53.830 когато х е по-малко от минус 3. 0:09:53.830,0:09:57.070 Когато х е по-малко от минус 3, 0:09:57.070,0:09:59.593 х е равно на –3 тук, когато х е по-малко от минус 3, 0:09:59.593,0:10:03.170 изглежда като тази лилава графика. 0:10:03.170,0:10:04.570 Точно тук. 0:10:04.570,0:10:07.390 Това е случаят, в който х е по-малко от –3. 0:10:07.390,0:10:10.830 Но когато х е по-голямо от –3, 0:10:10.830,0:10:12.160 изглежда като зелената графика. 0:10:12.160,0:10:14.640 Изглежда точно така. 0:10:14.640,0:10:17.480 Значи, графиката изглежда като странно V. 0:10:17.480,0:10:21.430 Когато х е по-голямо от –3, това е положително. 0:10:21.430,0:10:24.950 Имаме графика с положителен наклон. 0:10:24.950,0:10:28.270 Но когато х е по-малко от минус 3, 0:10:28.270,0:10:30.550 взимаме отрицателната част на функцията, 0:10:30.550,0:10:32.280 имаме отрицателен наклон. 0:10:32.280,0:10:35.060 Имаме V-образна функция, 0:10:35.060,0:10:40.190 V-образна графика, която съответства[br]на функция от абсолютно стойност.