Модулни уравнения

Модулни уравнения

Нека решим няколко модулни уравнения.

Нека първо си припомним

какво означава модул или абсолютна стойност.

Да вземем абсолютната стойност на –1.

Абсолютната стойност означава

на какво разстояние е числото от 0.

В случая с –1, ако го отбележим на числовата ос...

Това е една много грозна числова ос.

На числовата ос нула е ето тук.

Тук е –1.

–1 и 0 са на разстояние 1.

Значи абсолютната стойност на –1 е 1.

Абсолютната стойност на 1 е също на разстояние 1 от 0.

Тя също е 1.

От една страна, абсолютната стойност е
разстоянието на числото от 0.

От друга, по-лесен начин да мислим за нея,

е, че модулът е винаги същото число,
но с положителен знак.

Абсолютната стойност на –7346 е 7346.

Предвид това, нека се опитаме

да решим няколко модулни уравнения.

Имаме следното уравнение:

абсолютната стойност на (х – 5) е 10.

Един начин да го разглеждаш, е...

обърни внимание, това всъщност значи,

че разстоянието между х и – 5 е 10.

Колко числа има, които са на разстояние
точно 10 единици от 5?

Сигурно се досещаш какво е
решението на уравнението,

но нека го решим стъпка по стъпка.

Това твърдение е вярно в два случая.

Първи случай, х – 5 е равно на +10.

В този случай,

когато вземем абсолютната му стойност,

ще получим +10.

Втори случай, х – 5 е равно на –10.

Ако х – 5 е равно на –10, ако вземем
абсолютната му стойност,

ще получим отново 10.

Така че х – 5 може да е равно също така и на –10.

И двете удовлетворяват уравнението.

За да решим това,

нека прибавим 5 към двете страни
на уравнението.

Получаваме х равно на 15.

За да решим това, нека добавим 5
към двете страни на това уравнение.

х е равно на –5.

Решението е,

има две х, които удовлетворяват уравнението,

х може да е 15.

15 – 5 е 10; по абсолютна стойност

получаваме 10, или х е равно на –5.

–5 минус 5 е –10.

Взимаме модул от –10 и получаваме 10.

Забележи, че и двете числа

са на точно 10 единици разстояние от 5.

Нека решим още един пример.

Нека решим още едно уравнение.

Нека имаме следното:

модул от х + 2 е равно на 6.

Какво означава това?

Означава, че х + 2,

изразът вътре в модула, е равен на 6.

Или изразът в модула,

х + 2, може да е –6.

Ако х + 2 е равно на –6,

взимаме абсолютната му стойност и получаваме 6.

Или х + 2 е равно на –6.

Ако извадим 2 от двете страни на уравнението,

получавме х равно на 4.

Ако извадим 2 от двете страни на другото уравнение,

получаваме х равно на –8.

Това са двете решения на уравнението.

И за да затвърдим,

можем да приемем абсолютната стойност като разстояние.

Можем да запишем уравнението

като модул от х минус –2 е равно на 6.

В този случай търсим

какви са стойностите на х,
които са на разстояние 6 от –2?

Ето тук попитахме:

какви са х, които са на разстояние 10 от +5?

Каквото и число да вадим от +5,

и двете са на разстояние 10 от +5.

В този случай питаме

кое число е на разстояние 6 от –2?

Отговорът е или 4, или –8.

Можеш да направиш проверка с тези числа.

Нека решим още едно уравнение.

Нека решим още едно, този път в лилаво.

Имаме модул от 4х.

Ще променя малко условието.

4х – 1.

Абсолютната стойност на 4х – 1 е равна на...

всъщност, нека е равна на 19.

Както при последните няколко задачи,

4х – 1 може да бъде равно на 19.

Или 4х – 1 може да е –19.

Когато вземем абсолютната стойност,

ще получим отново 19.

Или 4х – 1 може да е равно на –19.

Остава само да решим тези две уравнения.

Прибавяме 1 към двете страни на уравнението,

дори може да го направим едновременно и за двете.

Прибавяме 1 към двете страни на това,
получаваме 4х равно на 20.

Прибавяме 1 към двете страни на другото уравнение,

получаваме 4х равно на –18.

Делим двете страни на уравнението на 4
и получаваме х равно на 5.

Делим двете страни на другото уравнение на 4
и получаваме х равно на –18/4,

което е равно на –9/2.

И двете стойности на х удовлетворяват уравнението.

Да ги проверим.

–9/2 по 4.

Това е равно на –18.

–18 минус 1 е –19.

Взимаме абсолютната стойност и получаваме 19.

Заместваме х с 5, тогава 4 по 5 е 20.

Минус 1, и получаваме +19.

Взимаме абсолютната му стойност.

И получаваме отново 19.

Нека за по-забавно да представим графично
едно от уравненията.

Да вземем следното:

имаме у равно на абсолютната стойност на х + 3.

Това е функция, или графика,

която съдържа абсолютна стойност.

Да помислим за двата случая.

В единия случай

изразът в модула е положителен.

Това е случаят, в който имаме х +3...

Ще го запиша тук: х + 3 е по-голямо от 0.

В другия случай имаме х + 3 < 0.

Когато х + 3 > 0,

тази графика, предполагам можем да я наречем линия,

тази функция е една и съща с у = х + 3.

Ако това нещо тук е > 0,

то можем да пренебрегнем знака на модула.

Тогава това нещо

е същото като у = х + 3.

Но кога х + 3 > 0?

Ако извадим 3 от двете страни,

ще получим х > –3.

Когато х > –3,

графиката ще изглежда като тази на у = х + 3.

Да видим другия случай, х + 3 < 0.

В този случай,

изразът в модула ни е отрицателен.

Като разкрием модула, уравнението ще бъде

у равно на отрицателната стойност на х +3

Как разбираме това?

Ако това нещо е отрицателно число,

ако х плюс 3 е отрицателно число,
това допускаме,

ако е отрицателно число,

тогава, когато вземем абсолютната стойност
на отрицателното число,

ние го превръщаме в положително.

Все едно умножаваме по минус 1.

Ако взимаме абсолютната стойност
на отрицателно число,

това е все едно го умножаваме по минус 1,

защото го превръщаме в положително.

Това е случаят, в който

х + 3 е по-малко от 0.

Ако извадим 3 от двете страни,

получаваме х < –3.

Когато х е по-малко от минус 3,

графиката изглежда така.

Когато х е по-голямо от минус 3,

графиката изглежда така.

Нека разгледаме как ще изглежда

цялата графика.

Ще начертая координатните оси.

Това е оста х, а това – оста у.

Нека разкрием скобите, за да приведем във вид

mx + b.

Това е равно на минус х минус 3.

Да видим как би изглеждала тази графика
принципно.

Минус х минус 3.

Пресечната точка на графиката с оста у е –3.

Отрицателно х означава, че графиката намалява,

има наклон 1.

Ще изглежда ето така.

Пресечната точка с х ще е при какво х?

Ако у е равно на 0, това ще стане при х равно на –3.

Ако у е равно на 0, това ще стане при х равно на –3.

Така че ще премине през тази линия,

през точно тази точка.

А графиката, ако нямахме това условие,

щеше да изглежда така.

Щеше да изглежда така, ако не беше ограничена

в интервал по оста х.

Как ще изглежда тази графика?

Да видим.

Пресечната точка с оста у е плюс 3.

Просто така.

Къде е пресечната точка с оста х?

Когато у е равно на 0, х е минус 3.

Значи също минава през тази точка

и има наклон 1.

Така че ще изглежда ето така.

Така изглежда графиката.

Разбрахме, че функцията на абсолютната стойност

изглежда като тази лилава графика,

когато х е по-малко от минус 3.

Когато х е по-малко от минус 3,

х е равно на –3 тук, когато х е по-малко от минус 3,

изглежда като тази лилава графика.

Точно тук.

Това е случаят, в който х е по-малко от –3.

Но когато х е по-голямо от –3,

изглежда като зелената графика.

Изглежда точно така.

Значи, графиката изглежда като странно V.

Когато х е по-голямо от –3, това е положително.

Имаме графика с положителен наклон.

Но когато х е по-малко от минус 3,

взимаме отрицателната част на функцията,

имаме отрицателен наклон.

Имаме V-образна функция,

V-образна графика, която съответства
на функция от абсолютно стойност.